6.4. Формальное описание риска

Количественное описание риска опирается на теоретико-вероятностный подход. Путем анализа можно было бы охва­тить множество всех возможных неблагоприятных событий:

.

В общем случае в определенной, конкретной ситуация могут одновременно наступать многие из этих событий. Каждое мысли­мое сочетание таких событий обозначим К. Множество всех возможных сочетаний в математике называется булеаном (множеством всех подмножеств). Целесообразно причислить к также само множество и пустое множество 0 (пустое множе­ство соответствует отсутствию неблагоприятных событий). Определенное сочетание является, таким образом, подмножест­вом неблагоприятных событий множества :

; , .

В множестве всех сочетаний можно выполнять обычные опера­ции алгебры множеств. Если и – два сочетания небла­гоприятных событий, то их свойства, обозначаемые соответст­вующими символами, суть:

• Объединение образует сочетание, включающее все события, принадлежащие или ;

• Пересечение образует сочетание, включающее все события, одновременно принадлежащие и и ;

• Разность образует сочетание, включающее все собы­тия, принадлежащие , но не принадлежащие ;

• Дополнение образует сочетание, включающее все со­бытия , не принадлежащие .

Пусть с некоторым рискованным вариантом решения свя­заны элементарные сочетания неблагоприятных событий . Формула «элементарные сочетания неблагопри­ятных событий» означает, что никакое собственное подмножест­во сочетания не может само встречаться как сочетание не­благоприятных событий. Если еще обозначить через гарантированное отсутствие неблагоприятных событий для рискованного варианта решения , то

образует полную связанную с решением систему событий. Теперь положим, что каждому сочетанию неблагоприятных со­бытий , которое может реализоваться в резуль­тате принятия решения , а также событию можно приписать вероятности и, соответственно :

, .

Если далее каждому сочетанию может быть поставлено в соответствие количественно описываемое последствие , то величина сопутствующего решению риска определяется формулой

. (6.3)

Величина , представляет, таким образом, среднюю (ожидае­мую) величину ущерба при принятии варианта решения .

Иногда под риском понимают просто вероятность наступле­ния определенного сочетания неблагоприятных событий . Такой подход особенно целесообразен, когда последствия риска для , и не даны. Тогда при использовании функции-индикатора , определяемой условиями

(6.4)

для в соответствии с (6.4) получаем

. (6.5)

Если, напротив, при принятии решения все вероятности реа­лизации сочетания неблагоприятных событий одинако­вы, то есть , то в соответствии с (6.5)

. (6.6)

При принятии решения для определяемой связью между со­четанием неблагоприятных событий и последствием функции риска , , представляют особый интерес два частных случая.

Если для двух взаимоисключающих сочетаний и , , то есть , справедливо равенство

, (6.7)

то говорят об аддитивных штрафных функциях и соответствен­но аддитивных функциях риска.

В этом случае для сочетании, которые состоят из единствен­ного неблагоприятного события, справедливо соотношение

(6.8)

и

. (6.9)

Мы имеем дело с так называемой нормальной штрафной функ­цией и соответственно функцией риска , когда для двух взаимоисключающих сочетаний и , справедливо соотношение

. (6.10)

Этот случай служит показательным примером аддитивной штрафной функции. Определим теперь для , допол­нительный ущерб за счет при из основании соотношения

. (6.11)

Отсюда следует

(6. 12)

и в случае аддитивной штрафной функции получаем простое выражение

. (6.13)

Вариант решения без учета возможности неблагоприят­ных последствий будет иметь полезность . Тогда соответст­вующую варианту решения величину

. (6.14)

называют суммарным эффектом решения.

Множество рациональных вариантов решения обозначают:

Вариант решения называется оптимальным в случае

.

При этом в рамках конкретной практической задачи множество допустимых вариантов решения может быть дополнительно ограничено пределами риска.