6.6. Многократные риски

Если риск характеризуется случайной величиной , завися­щей от случайных значений и , соответствующих нагрузке и несущей способности, то среднее значение величины ­ (6.17) еще не полностью описывает связанную с риском ситуацию. В отдельных случаях может реализоваться более высокая величина риска. Суммарный риск в длинном ряду реа­лизующихся раз рискованных ситуаций оценивают средним значением

, (6.27)

причем здесь случайные величины независи­мы и распределены так же, как , и при неограниченно увеличивающемся значение стабилизируется около . При меньших значениях для некоторой данной вероятности ошиб­ки можно рассчитать интервал , в который случайная величина попадает с вероятностью :

. (6.28)

Для определения зависящих от и пределов риска – причем прежде всего важен верхний предел – необхо­димо по распределению рассчитать распределение .

Для получения распределения плотности вероятностей риска используем формулу

. (6.29)

В отличие от (6.18) ограничимся здесь важным для практики случаем, в котором риск наступает, когда нагрузка начинает превышать несущую способность. Величина означает здесь среднюю величину ущерба, когда для несущей способности имеет место плотность вероятности , а нагрузка принимает определенное значение , причем . Применяя символику теории вероятности, можно написать .

Здесь –случайные значения штрафной функции в зависимости от случайных величин и для нагрузки и не­сущей способности, а символ означает математиче­ское ожидание при условии . Безусловное (абсолютное) среднее значение ущерба получается путем усреднения по плот­ности нагрузки и равно

. (6.30)

Рассматривая функцию в соответствии с формулой (6.29) в зависимости от случайной нагрузки , получаем не­посредственно . Можно исходить из того, что для определенного у является строго монотонной возрастающей функцией, откуда следует то же свойство для функции . Соответственно существует монотонно возрастающая обратная функция .

Если, далее, предположить, что функция дифференцируема (причем здесь достаточно существо­вания частной производной функции по ), то по из­вестным формулам теории вероятности для плотности вероят­ности случайной величины получаем

. (6.31)

Рис. 6.9. Номограмма для определения вероятности не благоприятных ситуаций

Случайная величина представляет, таким образом, слу­чайное среднее значение ущерба в результате события ; среднее значение этой величины равно .

Плотность вероятности определяемого формулой (6.31) среднего риска при числе реализаций получа­ется по формуле свертки:

, . (6.32)

Для унификации обозначений будем считать, что одиночной рискованной ситуации соответствует . Среднее значение случайных величин риска для всех равно то­му же значению и по закону больших чисел при неограни­ченном росте распределения концентрируются вокруг (рис. 6.6), так что в пределе получается вырожденное распределение в виде – функции Дирака при .

Рис. 6.10. Функция плотности вероятностей среднего риска

Зная плотность вероятности , можно теперь количествен­но оценить вероятность возможных значений риска при числе реализаций . Так, например, для симметричного ин­тервала вокруг среднего значения границы интервала , определяются уравнением

,

где – заданная вероятность ошибки. Часто на основе рас­пределений для нагрузки и несущей способности, а также для штрафной функции получаются однозначные границы и возможных значений риска :

. (6.33)

Рис. 6.6 соответствует такой ситуации.

Формула

(6.34)

устанавливает связь между вероятностью и значением , причем при -кратной реализации случайная величина по меньшей мере равна . Эту вероятность можно также воспринимать как готовность к риску. Для достижимой на прак­тике точности оценки штрафной функции и соответствующих плотностей представляются оправданными значения до 0,1.

Рис. 6.11. Зависимость величины риска от числа реализаций

– вариант 1; – вариант 2

Показанная на рис. 6.6 пунктиром линия, соответствующая определенному заданному значению , имеет точки пересечения с кривыми плотности вероятности для различных чисел реализации ; абсциссы этих точек дают на оси значения .

Если теперь использовать соответствующие определенному значения , зависящие от , в качестве основы для при­нятия решения, то нужно каждый раз выбирать такие вариан­ты, для которых значения наименьшие.

На рис. 6.11 показан ход функции для двух вариан­тов решения. При этом вариант 1 соответствует минимаксному, а вариант 2 – байесовскому критериям решения. Из рисунка видно, что при следует выбрать вариант 1, а при – вариант 2.

Расчет плотностей вероятности по формуле свертки мо­жет оказаться слишком трудоемким делом. Нередко удается упростить расчеты с помощью функциональных преобразова­ний. Для непрерывных функций плотности вычисления производят с помощью преобразования Лапласа в четыре этапа:

.

Символы преобразований здесь означают:

– прямое преобразование Лапласа; – -кратная свертка; – преобразование координат; – обратное преобразование Лапласа. Необходи­мое на этапе преобразование Лапласа

для широкого класса функций можно осуществить, поль­зуясь справочными таблицами; то же справедливо и для обрат­ного преобразования. На этапе выявляется выгода про­веденного преобразования Лапласа: -кратная свертка заме­няется просто возведением в степень (с показателем ). На этапе требуется только замена на .

Для примера проследим ход преобразований для нормаль­ного распределения с плотностью распределения

,

где

,

что соответствует известному факту, что w-кратная свертка нормального распределения по формуле (6.27) приводит к нормальному распределению .

Для часто встречающегося экспоненциального распределе­ния с плотностью вероятности

,

отдельные этапы преобразования выглядят так:

Если имеются дискретные распределения с постоянным шагом , то есть так называемые решеточные распределения с постоян­ной решетки , то можно с успехом применить -преобразование. Будем исходить из дискретного распределения величин и соответствующих вероятностей , ; при этом разность для всех рассматриваемых постоянна и равна , а последовательность может быть конечной или бес­конечной (случай конечного или бесконечного дискретного рас­пределения). Не вдаваясь в подробности, примем . Затем образуем функцию

, (6.35)

представляющую собой так называемое -преобразование . Тогда возведение в степень даст

, (6.36)

то есть -кратную свертку исходного распределения в точках при и с соответствующими вероятностями , Таким образом, -преобразование осуществляется по следующим этапам:

,

где – проведение -преобразования по формуле (6.35);

– -кратная свертка по формуле (6.36);

– обратное преобразование , то есть извлечение вероятностей из (6.35).

Заметим, что показатель кратности свертки при принятых выше обозначениях устанавливается таким, чтобы исходное распределение соответствовало . Если имеется дискретное решеточное распределение с эквидистантными значениями , то для показателя кратности свертки получается решеточное же распределение с значениями.

Это дает для математического ожидания и соответственно дисперсий следующие выражения:

; .

Расчет и можно произвести с помощью известных со­отношений теории вероятностей, исходя из среднего значения и дисперсии для исходного распределения, характеризую­щегося значением :

; . (6.38)

Продемонстрируем применение -преобразования к распреде­лению Пуассона:, ,

Это дискретное распределение с параметром , определен­ное на бесконечной области значений неотрицательных дейст­вительных чисел и характеризующееся средним значением и дисперсией .

Три этапа -преобразования

приводят к распределению Пуассона с параметром , которое обладает средним значением и дисперсией . -преобразование в принципе применимо также к дис­кретным нерешеточным распределениям. Используя нормирую­щий множитель (рис. 6.7), образуем -функцию:

, (6.40)

где – вероятности величин риска . При реализациях образуется -я степень:,

откуда путем расчета, аналогичного проводившемуся выше для случая эквидистантной решетки, можно получить соответствую­щие вероятности риска.

Вопросы для самопроверки по разделу 6

1. Дать понятие полезности вариантов решения.

2. Изложить сущность шкал упорядоченности и особенности их использования при оценке полезности вариантов решения.

3. Дать понятие риска принятия решения.

4. Привести методы оценки риска.

5. Перечислить основные виды рисков.