1.1.2. Критерий Гермейера

Обобщим критерий Гермейера (-критерий) сначала на случай, когда все значения положительны:

, (1.2)

причем величины , являются вероятностями:

, .

Поскольку , , линии уровня -критерия приводятся к виду

, для , (1.3)

то есть для сплошь отрицательных возможных результатов,

и

, для , (1.4)

то есть для сплошь положительных возможных результатов.

Эти линии уровня (или функции предпочтения) в прямо­угольной системе координат задают опять-таки прямоугольные конуса. Вершины этих конусов лежат на так называемых опор­ных прямых

для , (1.5)

для , (1.6)

Рис. 1.4 иллюстрирует эти соотношения для и . В то же время он демонстрирует как аналогии, так и различия между этим критерием и ММ-критерием (рис. 1.1), получающимся в виде частного случая при . Изменяющиеся значения и приводят к различным углам наклона опор­ной прямой.

Рис. 1.4. Функции предпочтения -критерия при и

Линии уровня из третьего квадранта, то есть для случая отри­цательных возможных результатов, не продолжаются во второй я четвертый квадранты.

Оптимальное решение определяется здесь опять-таки перемещением конуса предпочтения вдоль опорной прямой до достижения последней точки в области по­лезности.

1.1.3. Критерий Сэвиджа

Обозначим и . Пусть и – координаты антиутопической точки АУТ , а через и обозначим координаты утопической точки УТ , с помощью которых полностью опре­деляется поле полезности (рис. 1.4).

Известно, что линии уровня можно привести к виду

то есть

. (1.7)

Как видно на рис. 1.5, линии уровня вновь оказываются кону­сами предпочтения, вершины которых лежат на направляющей

Рис. 1.5. Функция предпочтения -критерия

, проходящей через точку УТ и параллельной бис­сектрисе . Конусы предпочтения, вершины которых лежат внутри (соответственно, вне) поля полезности, отвечают поло­жительным (соответственно, отрицательным) значениям уров­ня , тогда как конусу, вершиной которого служит сама точка УТ, отвечает значение .

Чтобы показать, как -критерий сводится к -критерию, будем исходить из следующих равенств:

, . (1.8)

Отсюда ясно, что минимизация согласно -критерию величины

соответствует максимизации согласно -критерию величины , то есть оптимизация в соответствии с -критери-ем эквивалентна оптимизации в соответствии с -критерием, если только начало координат системы перенести в точку .

Рис. 1.6. Функции предпочтения для оценочной функции азартного игрока

По сравнению с -критерием специфика -критерия со­стоит в том, что он более приспособлен к полю полезности, а со­ответствующая ему оптимизация соотносится с утопической точ­кой УТ, и притом в смысле аппроксимации, равномерной отно­сительно всех возможных состояний. На рис. 1.5, согласно ска­занному, точка оптимальна в соответствии с -крите­рием, а точка оптимальна в соответствии с -критерием.