Закон Бернуллі

Розглянемо величини , кожна з яких має розподіл Бернулі з параметром р. Кожну величину можемо трактувати як появу ( ) або непояву ( ) деякої події А в і-му випробуванні, тоді величина буде відносною частотою появи події А в серії з п випробувань. Оскільки , то і Застосовуючи теорему Чебишева, отримуємо

. (ІІ.35)

Нерівність (ІІ.35) виражає закон Бернуллі або закон великих чисел, який стверджує, що імовірність того, що відносна частота появи події в серії з достатньо великою кількістю випробувань як завгодно мало відрізняється від імовірності появи цієї події, є близькою до одиниці.

Закон Бернуллі дає підстави для статистичного означення імовірності:

Імовірністю події називається границя відносної частоти появи події в серії випробувань, коли кількість випробувань прямує до нескінченості.

Теорема Ляпунова

Якщо — незалежні випадкові величини, що мають однаковий закон розподілу зі скінченими математичним сподіванням і дисперсією, то випадкова величина має розподіл, який наближається до нормального коли п прямує до нескінченості.

Теорема Ляпунова дає підстави стверджувати, що усереднений результат достатньо великого числа вимірювань має розподіл, близький до нормального.

Задачі до розділу іі.

ІІ.1. Монету кидають двічі. Знайти розподіл випадкової величини, якою є кількість випадань герба.

ІІ.2. Знайти розподіл випадкової величини, яка дорівнює кількості очок, що випадають при киданні двох гральних кубиків. Знайти функцію розподілу цієї випадкової величини.

ІІ.3. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкових величин, описаних у задачах ІІ.1, ІІ.2.

ІІ.4. Розподіл випадкової величини задано таблицею:

хі	3	5	8	13	21	34
рі	0,05	0,15	0,2	0,24		0,17

Заповнити таблицю та знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини.

ІІ.5. Розподіл двовимірної випадкової величини (Х, Y ) задано таблицею:

Y X	1	2
3	0,05	0,15
5	0,08	0,24
6	0,13	0,35

Побудувати розподіли випадкових величин X, Y, X+Y, XY, X/Y та знайти їх числові характеристики.

ІІ.6. Розподіл випадкової величини, яка може набувати цілих значень від 1 до 10, задано рівністю . Визначити значення параметра а та записати функцію розподілу цієї випадкової величини. Обчислити , , , . Знайти математичне сподівання, дисперсію та стандартне відхилення випадкової величини.

ІІ.7. Довести, що математичне сподівання випадкової величини міститься між її найбільшим і найменшим значенням.

ІІ.8. Кидають три гральних кубики. Знайти математичне сподівання суми очок, що при цьому випадають.

ІІ.9. Імовірність народження дівчинки у сім’ї дорівнює 0,48. Побудувати розподіл числа дівчаток у сім’ї, що має чотирьох дітей.

ІІ.10. Підручник видано тиражем 50 000 екземплярів. Імовірність браку під час брошурування становить 0,0001. Знайти ймовірність, що тираж містить:

а) 3 бракованих книжки;

б) менше, ніж три бракованих книжки;

в) більше, ніж три бракованих книжки.

Вказівка: Використайте розподіл Пуассона. 

ІІ.11. Функція розподілу випадкової величини має вигляд . Визначити параметри а і b. Яка ймовірність, що значення випадкової величини потраплять у проміжок [0; 1]? Що можна сказати про математичне сподівання та дисперсію цієї випадкової величини? Знайти її медіану.

ІІ.12. Знайти щільність розподілу випадкової величини, якщо її функція розподілу має вигляд:

а) ; б) .

ІІ.13. Знайти функцію розподілу випадкової величини, якщо щільність її розподілу має вигляд:

а) ; б)

ІІ.14. Для заданого розподілу випадкової величини обчислити її математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення:

а) ; б) .

ІІ.15. Використовуючи Maple, знайти густину розподілу, математичне сподівання, дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини, заданої функцією розподілу

ІІ.16. Випадкова величина має нормальний розподіл з математичним сподіванням МХ = 12. Яка ймовірність попадання значень випадкової величини у проміжок (15; 20], якщо ймовірність попадання її значень у проміжок (4; 9) дорівнює 0,214.

ІІ.17. Випадкова величина розподілена за законом .

а) Знайти імовірність попадання випадкової величини в проміжок [1; 5].

б) Вказати проміжок, в який попадуть практично всі значення випадкової величини.

в) Вказати симетричний відносно МХ проміжок, імовірність попадання в який випадкової величини дорівнює 0,88.

ІІ.18. Випадкова величина розподілена за законом .

Знайти імовірність попадання випадкової величини в проміжок [11; 15].

Вказати проміжок, в який попадуть практично всі значення випадкової величини.

Вказати симетричний відносно МХ проміжок, імовірність попадання в який випадкової величини дорівнює 0,58.

ІІ.19. Випадкова величина має нормальний розподіл з математичним сподіванням МХ = 15. Яка ймовірність попадання значень випадкової величини у проміжок (4; 9), якщо ймовірність попадання її значень у проміжок (15; 20] дорівнює 0,254.

ІІ.20. Випадкова величина має нормальний розподіл з математичним сподіванням МХ = 9. Яка ймовірність попадання значень випадкової величини у проміжок (15; 20], якщо ймовірність попадання її значень у проміжок (4; 9) дорівнює 0,254.

ІІ.21. Імовірність появи події в експерименті дорівнює 0,1. Яка ймовірність, що в серії з 1050 експериментів подія відбудеться 60 раз? Яка ймовірність, що в серії з 1050 експериментів подія відбудеться від 70 до 130 раз?

ІІ.22. Імовірність браку при виготовленні деталі дорівнює 0,01.

а) Яка ймовірність, що в партії з 15000 деталей є 60 бракованих?

б) Яка ймовірність, що в партії з 15000 деталей є від 700 до 1300 бракованих?

ІІ.23. Виведіть формулу для наближеного обчислення ймовірності відхилення відносної частоти появи події у великій серії експериментів від її ймовірності не більше, ніж на ε, якщо ймовірність появи події в кожному експерименті дорівнює р.

ІІ.24. За даними задачі ІІ.5 записати:

а) функцію розподілу випадкового вектора ;

б) розподіл випадкової величини Х;

в) розподіл випадкової величини Y.

II.25. За даними задачі ІІ.5 знайти:

а) умовний розподіл випадкової величини Х, коли ;

б) умовний розподіл випадкової величини Y, коли .

ІІ.26. Знайти щільність розподілу двовимірного випадкового вектора , якщо його функція розподілу .

ІІ.27. Знайти щільність і функцію розподілу випадкового вектора , значення якого рівномірно розподілені у прямокутнику .

ІІ.28. Щільність розподілу випадкового вектора задано рівністю . Визначити значення параметра а. Знайти функцію розподілу цього вектора.

ІІ.29. Щільність розподілу випадкового вектора задано рівністю:

а) ; б) ;

в) .

Знайти закони розподілів та умовні закони розподілів та .

ІІ.30. Знайти коваріацію та коефіцієнт лінійної кореляції випадкового вектора із задачі ІІ.5. Що можна сказати про залежність його компонент?

ІІ.31. Знайти коваріацію та коефіцієнт лінійної кореляції випадкових векторів із задачі ІІ.29. Що можна сказати про залежність їхніх компонент?

ІІ.32. Матриця парних кореляцій випадкового вектора має вигляд

,

а дисперсії його компонент відповідно дорівнюють 2,89, 5,76 та 3,24. Знайти його коваріаційну матрицю.

ІІ.33. Відомо, що , а . Оцінити знизу зна­чен­ня .

ІІ.34. Імовірність появи події в кожному з 500 випробувань дорівнює 0,8. Яка ймовірність, що відносна частота появи події в цій серії відрізнятиметься від її ймовірності не більше, ніж на 0,05.

ІІ.35. Використовуючи нерівність Чебишева оцініть імовірність того, що випадкова величина відхилиться від свого математичного сподівання більше, ніж: а) на 2σ, б) на 3σ.

Порівняйте отримані результати з аналогічними для нормально розподіленої випадкової величини (стор.30).

ІІ.36. Оцінити ймовірність, що кількість осіб, яким притаманна певна властивість, серед 800 осіб відхилиться від свого математичного сподівання більше, ніж на 30 осіб.