Критерій Пірсона

критерій Пірсона застосовується як для перевірки узгодженості емпіричного розподілу із заданим теоретичним, так і для перевірки узгодженості емпіричних розподілів. Критерій є непараметричним.

У першому випадку критерій служить для перевірки наступних гіпотез:

Н₀: розподіл ознаки збігається із заданим теоретичним;

Н₁: ознака розподілена за відмінним від заданого законом.

Якщо — емпірична частота варіанти , а , де — ймовірність , а — об’єм вибірки, то величину

називають емпіричним значенням критерію Пірсона. Критичну точку для заданого рівня значущості α і ν ступенів вільності визначають з таблиць критичних значень розподілу (таблиця 4 додатка) або в EXCEL за формулою =ХИ2ОБР(α;ν)).

Кількість ступенів вільності ν визначають за формулою

,

де k — кількість варіант, l — кількість незалежних параметрів розподілу, які визначаються за вибіркою.

Якщо для рівня значущості , то приймається гіпотеза Н₀, у випадку, коли для рівня значущості , приймається альтернативна гіпотеза Н₁.

Приклад 20. Групі учнів 10–11 класів (90 чоловік) пропонували впорядкувати за важливістю такі риси ідеального учня: І — акуратність, ІІ — самостійність, ІІІ — уважність, ІV — творчість, V — допитливість, VI — активність, VII — обов'язковість, VIII — наполегливість, ІХ — сміливість, Х — відкритість, ХІ — почуття гумору, ХІІ — товариськість, ХІІІ — рішучість, XIV — впевненість у своїх діях, XV — дружелюбність. Результати впорядкування подано в таблиці:

	І	ІІ	ІІІ	ІV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII	XIII	XIV	XV
1	18	12	6	0	1	6	2	24	2	3	5	3	0	4	5
2	12	8	9	5	3	7	4	16	7	2	4	3	2	4	4
3	11	6	6	4	5	8	4	7	6	8	5	5	5	7	3
4	10	10	3	2	11	9	2	4	2	6	8	6	6	4	6
5	3	9	6	5	8	11	2	8	5	4	7	11	1	4	5
6	11	8	9	2	10	7	1	3	4	14	4	6	3	7	1
7	6	4	6	5	10	5	5	4	9	7	13	5	3	4	3
8	5	8	10	5	3	6	6	4	1	6	7	6	7	6	10
9	5	5	6	8	7	7	6	3	4	8	6	12	4	7	2
10	2	5	2	9	2	6	11	6	10	6	4	9	7	6	7
11	1	3	8	6	5	2	7	0	11	5	7	5	8	11	12
12	2	3	7	5	9	3	14	3	4	4	10	7	5	6	9
13	2	4	5	6	4	2	12	3	5	6	4	5	7	7	14
14	2	1	2	12	6	10	3	1	13	7	3	4	10	9	6
15	0	4	5	16	6	1	11	4	7	4	3	3	22	4	3

Чи можна стверджувати, що учні не надавали переваги уважності? Чи можна те ж саме стверджувати про наполегливість?

Розв’язання: Якщо наше припущення правильне, то вибір даної ознаки мав би рівномірно розподілитись між п’ятнадцятьма місцями, тобто на кожне місце припало б по шість виборів. Розрахуємо емпіричне значення критерію Пірсона.

Кількість ступенів вільності дорівнює 15 – 1 = 14. Критичні значення для ν = 14 і α = 0,05 та α = 0,01, відповідно дорівнюють та . Оскільки, 10,69 < 23,68, то приймається нульова гіпотеза, яка стверджує, що розподіл виборів ознаки за місцями статистично не відрізняється від рівномірного, тобто в характеристиці ідеального учня опитувані не надали переваги цій ознаці.

Розрахуємо емпіричне значення критерію для восьмої ознаки

Оскільки, 90,33 > 29,14, то розподіл восьмої ознаки за 15 місцями нерівномірний. Можна стверджувати, що більшість опитаних віддавали перевагу цій ознаці ідеального учня.

Для неперервного розподілу порівнюємо емпіричні і теоретичні частоти попадання значень досліджуваної величини у відповідні класи.

Зазначимо, що в цьому випадку статистика тим точніше апроксимується розподілом Пірсона, чим більші є теоретичні частоти у кожному класі. Як правило, вимагається, щоб частоти в кожному класі були не менші, ніж 5. А це іноді вимагає укрупнення класів.

Приклад 21. Чи можна стверджувати, що час, затрачений учнями на розв’язування поставленої задачі (приклад 16), розподілений за нормальним законом?

Розв’язання: Об’єм вибірки п = 124. Побудуємо інтервальний варіаційний ряд, розбивши проміжок [8,195) на 11 інтервалів:

[8; 25)	[25; 42)	[42; 59)	[59; 76)	[76; 93)	[93; 110)	[110; 127)	[127; 144)	[144;161)	[161;178)	[178; 195)
15	38	33	17	9	4	1	4	2	0	1

Оскільки на деяких інтервалах частоти менші, ніж 5, то зробимо укрупнення крайніх інтервалів:

[8; 25)	[25; 42)	[42; 59)	[59; 76)	[76; 93)	[93; 195)
15	38	33	17	9	12

Вибіркове середнє та оцінка стандартного відхилення відповідно дорівнюють . Теоретичні частоти для інтервалу знаходимо за формулою . Отже, для заданих проміжків

	[8; 25)	[25; 42)	[42; 59)	[59; 76)	[76; 93)	[93; 195)
ni	15	38	33	17	9	12
fi	13,4	21,4	25,9	23,8	16,6	13,5

Обчислимо емпіричне значення критерію .

Кількість ступенів вільності , бо накладено дві додаткові в’язі для визначення та s. Критичні значення критерію відповідно дорівнюють та . Оскільки 20,66 > 11,35, то гіпотеза про те, що час розв’язання задачі розподілений за нормальним законом з параметрами , відхиляється.

У випадку перевірки узгодженості двох (чи кількох) емпіричних розподілів критерій Пірсона служить для перевірки наступних гіпотез:

Н₀: закони розподілів ознак не відрізняються між собою;

Н₁: ознаки розподілені за різними законами.

Гіпотеза Н₀ у цьому випадку фактично означає, що вибірки належать до однієї генеральної сукупності, тому в якості теоретичних частот у критерії беруть усереднені за сукупністю вибірок частоти. Кількість ступенів вільності визначається за формулою , де k — кількість розрядів ознаки, с — кількість розподілів, що порівнюються.

Приклад 22. За методикою Спілберга опитано дві групи віруючих: формально віруючі християни (ФВХ) та практикуючі християни (ПХ). Розподіл рівня особистісної тривожності у цих групах подано в таблиці.

	Низький	Середній	Високий
ПХ	7	22	4
ФВХ	3	10	24

Чи можна стверджувати, що рівень особистісної тривожності в обох групах розподілений однаково?

Розв’язання: Сформулюємо статистичні гіпотези для нашої задачі.

Н₀: Відмінності у розподілах рівнів особистісної тривожності є випадковими.

Н₁: Відмінності у розподілах рівнів особистісної тривожності закономірні.

Вибірка практикуючих християн містить 33 елементи, а формально віруючих християн — 37 елементів. Тому у припущенні, що вибірки отримані з однієї генеральної сукупності, теоретичні частоти розраховуються так:

	Низький	Середній	Високий
ПХ
ФВХ

Обчислимо значення статистики .

Кількість ступенів вільності . Знаходимо критичні значення критерію: , . Оскільки 20,22 > 9,21, то нульова гіпотеза відхиляється. Можемо стверджувати, що відмінності у розподілі рівнів особистісної тривожності в обох групах мають закономірний характер, зокрема у групі формально віруючих християн переважає високий рівень особистісної тривожності.