Формули Байєса

Нехай подія А може здійснитись за умови здійснення однієї з несумісних подій , які утворюють повну систему. Події називають гіпотезами. Якщо подія А у випробуванні здійснилась, то повинна здійснитись одна з подій . Виникає питання про переоцінку ймовірностей гіпотез при умові, що подія А у випробуванні здійснилась.

За формулою ( І.6) ймовірність добутку подій А і Н_і дорівнює , тому або, враховуючи ( І.9),

. ( І.10)

Формули ( І.10) називають формулами Байєса або формулами ймовірностей гіпотез. Вони дозволяють переоцінити ймовірність гіпотез після того, як подія здійснилась.

Приклад 6. В умовах прикладу 5 знайти ймовірність, що водій, який потрапив в аварію протягом року, належить до третьої групи.

Розв’язання: За формулами Байєса .

Задачі до розділу і.

І.1. Підчас розіграшу лотереї 5 з 36 витягнули першу кулю. Яка ймовірність, що її номер містить: а) цифру 0; б) цифру 2; в) цифру 5; г) цифру 8?

І.2. Кинуто два гральні кубики. Яка ймовірність що: а) сума очок дорівнює 7; б) сума очок дорівнює 10; в) сума очок дорівнює 10, а модуль різниці — 4; г) сума очок дорівнює 10, а добуток — 30?

І.3. Куб, всі грані якого пофарбовані, розрізали на 125 однакових кубиків. Яка ймовірність, що навмання вибраний кубик має: а) одну; б) дві; в) три по­фар­бо­ва­ні грані?

І.4. Абонент забув дві останні цифри телефонного номера і, пам’ятаючи, що вони різні, набрав їх навмання. Яка ймовірність, що абонент набрав правильний номер?

І.5. В урні міститься 10 білих і 5 синіх кульок. Навмання вибирають 3 кульки. Яка ймовірність, що: а) всі вони виявляться білими; б) одна з кульок — біла, а дві інші — сині; в) одна з кульок — синя, а дві інші — білі?

І.6. Площина розлінована паралельними прямими на відстані 2а одна від одної. На площину навмання кидають монету радіусом . Яка ймовірність, що монета не перетне жодної з прямих?

І.7. На лист паперу в клітинку зі стороною а навмання кидають монету радіуса . Яка ймовірність, що монета не перетне жодної з ліній сітки? Вважається, що ймовірність попадання точки в плоску фігуру пропорційна площі фігури і не залежить від її розміщення?

І.8. Дві студентки домовились зустрітись з третьої до четвертої години дня. Кожна з них вибирає час зустрічі самостійно. Перша, хто приходить на зустріч, чекає іншу протягом двадцяти хвилин, після чого йде. Яка ймовірність, що вони зустрінуться?

І.9. Навмання вибирається два числа з проміжку [0; 1]. Яка ймовірність, що їх сума не перевищує одиниці, а добуто не менший, ніж 0,16?

І.10. Два лучники одночасно стріляють у мішень. Імовірність попасти в мішень для першого лучника складає 0,8, а для другого — 0,6. Яка ймовірність, що в мішень влучить тільки одна стріла?

І.11. Імовірність здійснення кожної з двох незалежних подій відповідно дорівнюють і . Яка ймовірність здійснення лише однієї з цих двох подій?

І.12. Імовірність, що при вимірюванні деякої величини буде допущена істотна похибка дорівнює 0,4. Яка ймовірність, що в трьох незалежних вимірюваннях істотна похибка буде допущена лише один раз?

І.13. Імовірність хоча б одного влучання в мішень з трьох пострілів дорівнює 0,784. Яка ймовірність влучання в мішень з одного пострілу?

І.14. Проведено флюорографічне обстеження 10000 людей віком понад 60 років. У 3300 з них виявлено захворювання легень. 4000 з обстежених палять, а 1800 серед них мають хворі легені. Чи можна стверджувати, що паління і захворювання легень у обстеженій групі є незалежними подіями?

І.15. У спортивному таборі відпочиває група студентів-психологів серед яких 70% першокурсників і 30% другокурсників. Серед першокурсників 10% хлопців, а серед другокурсників — 5%. Всі хлопці по черзі заготовляють дрова для кухні. Яка ймовірність, що довільно вибраного дня заготовляє дрова першокурсник?

І.16. Відомо, що 37,5% людей має групу крові А, 20,9% — групу В, 7,9% — групу АВ і 33,7% — групу О. Людина з групою крові О може бути донором для будь-кого, з групою А — для людей з групою А або АВ, з групою В — для людей з групою В або АВ, а з групою АВ — тільки для людей з групою АВ. Яка ймовірність, що випадкова людина зможе бути донором для потерпілого?

І.17. В умовах попередньої задачі випадкова людина виявилась донором для потерпілого. Яку групу крові найімовірніше має донор?

І.18. У середньому один хлопчик на 720 народжується із зайвою Y-хро­мо­сомою. Агресивна поведінка у таких хлопчиків зустрічається у 19 разів часті­ше, ніж у решти. Психолог зауважив агресивність хлопчика. Яка ймовірність, що цей хлопчик має зайву Y-хромосому? Яка ймовірність, що її немає?

І.19. Імовірність виявити патологію при обстеженні дорівнює , а визнати хворою здорову людину — . Яка ймовірність, що визнана хворою людина насправді здорова, якщо частка хворих серед населення дорівнює ?