В изначений інтеграл

Нехай на відрізку задано обмежену функцію . Спробуємо знайти площу фігури, обмеженої лініями , , та (рис. 33). Для цього побудуємо розбиття відрізка точками , так що . На кож­ному елементі розбитя виберемо точки , які утворять набір . Позначимо і . Число називатимемо інтегральною сумою функції f, яка відповідає розбиттю і набору точок . Цю суму можна вважати наближеним значенням площі заданої криволінійної трапеції. Точне значення площі могло б бути знайдене при нескінченному подрібненні розбиття .

Якщо існує , яка не залежить ні від способу розбиття, ні від вибору точок на елементах розбиття, то її називають визначеним інтегралом функції на відрізку :

.

У цьому випадку кажуть, що функція інтегровна за Ріманом на відрізку . Неперервні та кусково неперервні на відрізку функції є інтегровними за Ріманом на цьому відрізку.

Визначений інтеграл має такі властивості.

1. Якщо і — інтегровні за Ріманом на відрізку , то

.

2. Якщо — інтегровна за Ріманом на відрізку і , то

.

3. .

4. .

5. Якщо функція неперервна на відрізку , то функція є первісною для функції f .

Якщо — будь-яка інша перевісна функції , то . Покладаючи в цій рівності , отримаємо . Звідси і

.

Останню формулу називають формулою Ньютона-Лейбніца і використовують для обчислення визначених інтегралів від неперервних функцій. Наприклад,

=

.

Формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла матиме вигляд

.

Якщо функція диференційовна на разом з оберненою до неї функцією, причому , а функція — неперервна на відрізку , то справджується рівність

,

яку називають формулою заміни змінної у визначеному інтегралі.

Невластиві інтеграли

Якщо функція обмежена на і інтегрована за Ріманом на будь-якому відрізку всередині цього проміжка, то невластивим інтегралом першого роду від функції f на проміжку називають границю

.

Якщо ця границя існує і скінченна, то інтеграл називають збіжним.

Якщо функція необмежена на , але інтегрована за Ріманом на будь-якому відрізку всередині цього проміжка, то невластивим інтегралом другого роду від функції f на відрізку називають границю

.

Якщо ця границя існує і скінченна то інтеграл називають збіжним. Наприклад, інтеграл є збіжним, бо . Інтеграл — розбіжний, бо .

Частинні похідні функцій багатьох змінних

Частинною похідною за змінною функції у внутріш­ній точці її області визначення називають границю

.

Для обчислення частинних похідних функції багатьох змінних користуються тими ж правилами диференціювання, що й для похідної функції однієї змінної. Наприклад, для функції частинні похідні за змінними х, у та z відповідно дорівнюють , , .

Диференціал першого порядку функції багатьох змінних обчислюється за формулою .

Якщо частинні похідні функції багатьох змінних розлядати як функції точки, то послідовним диференціюванням можна обчислювати похідні вищих порядків , і т.д.

Д о д а т о к 3: Деякі команди Maple 8.

Команди у Maple 8 завершуються крапкою з комою або двокрапкою. Двокрапка означає, що команда має бути виконаною, але результат її виконання не треба виводити на екран.

Вирази у Maple 8 записують як і в більшості мов програмування. Наприклад, вираз задається командою (a-3*b*sin(x^2))/(exp (x)+З*cos(2*x)^2);. Для спрощення виразів використовують коман­ду simplify, аргументом якої є спрощуваний вираз. Для обчислення наближеного значення виразу використовують команду evalf. Напри­клад, evalf(Pi, 100); виведе на екран 100 знаків числа .

Знайти розв'язок рівняння, або системи рівнянь можна командою solve. Наприклад, solve(х^3-5*х^2+6=0,х); знаходить розв'язки рів­няння , а команда solve({5*x-3*y=5,2*x+7*y=b},{х,у}); — розв’язки системи рівнянь

Для розв'язування задач лінійної алгебри треба спочатку заванта­жити відповідний пакет командою with(linalg);

Матрицю А розмірності задає команда matrix. Наприклад, команда A:=matrix(3,4,[5,7,-2,4,3,-5,0,2,5,7,-1,2]); задає матрицю .

Операції додавання матриць та множення матриці на число запи­сують за допомогою звичайних знаків арифметичних операцій. Напри­клад, А+В; -В; -2*В+3*А; А-х*Е;. Множення матриць позначається знаком &*. Наприклад, A&*B; B&*A; A&*A&*A+5*A&*A-3*A+5*E;. Вивести на ек­ран матрицю можна командою evalm.

Визначник квадратної матриці С обчислюють командою det(C);. Для знаходження матриці, оберненої до матриці С, можна використати команду inverse(C); або команду С^(-1);.

Власні значення матриці знаходить команда eigenvalues, а власні вектори — eigenvectors.

Для задання функції слугує команда ->. Наприклад, команда f:=x-> exp(5*sin(x)); задає функцію , команда F:=(x,y)->(x-у^3 )/(х+3*у); — функцію , а команда z:=x->piecewise(x <=5 and x>-3,x-5,x+3); — функцію

Для побудови графіків функцій використовують пакет, що заванта­жується командою with(plots);. Команда plot(f(x),x=a..b); будує графік функції на проміжку . Команда plot(f(х,у),х=а.. b, у=с..d); будує поверхню, яка є графіком функції на прямокутнику .

Для обчислення границь послідовностей і функцій можна викорис­тати команду limit. Команда limit((1+1/n)^n,n=infinity); обчислює границю послідовності , коли . Команда limit((х^3-8)/(х^2-4),х=2); обчислює , а команди limit(abs(x-l)/ sin(x-1),x=l,left); та limit(abs(x-l)/sin(x-l),x=l,right); — односторонні границі та .

Для обчислення похідних функцій використовують команду diff. Так команда diff(x^2*cos(ln(x)),x); обчислює похідну за х функ­ції , послідовність команд g:=x->diff(x^2*cos(ln(x)),х$2); g(1); — другу похідну цієї функції в точці х = 1, а, напри­клад, команда diff ((х^2+у^2)*ехр(х-у),х$2,у$3); — частинну похідну .

Команда int служить для обчислення як невизначених, так і ви­значених інтегралів. Наприклад, команда int((x+3)*sin(2x/3),x); обчислює невизначений інтеграл , а команда int((x^3-2*х+5)* ехр(-х),х=0..2); — визначений інтеграл .

Збіжний невластивий інтеграл обчислюють командою int(x ^2*ехр(-х^2),х=0..infinity);.

Кратні інтеграли можна обчислити після їх попереднього зведення до повторних. Наприклад, команда int(int(x*y,y=-sqrt(4-x^2).. sqrt(4-x^2)),x=-2..2); обчислює подвійний ін­теграл .

Суму збіжного ряду можна обчислити за допомогою команди sum. Наприклад, команда sum((-1)^n/n^2,n=1..infinity); обчислить суму ряду .