- •Основи теорії ймовірностей і статистичні методи обробки даних у психологічних і педагогічних експериментах.– Львів: Видавничий центр лну імені Івана Франка, 2006. – 168 с.
- •І. Основи теорії ймовірностей
- •Формула повної ймовірності
- •Формули Байєса
- •Задачі до розділу і.
- •Іі. Випадкова величина Поняття випадкової величини
- •Функція розподілу випадкової величини
- •Щільність розподілу неперервно розподіленої випадкової величини
- •Характеристики розподілу випадкової величини
- •Математичне сподівання випадкової величини
- •Дисперсія та стандартне відхилення випадкової величини. Асиметрія і ексцес.
- •Квантилі
- •Деякі дискретні розподіли Розподіл Бернуллі
- •Біномний розподіл
- •Апроксимаційні формули Муавра-Лапласа Локальна теорема Муавра-Лапласа Якщо у схемі Бернулі величина , коли , то
- •Функція розподілу двовимірної випадкової величини
- •Умовні закони розподілу
- •Коваріація і коефіцієнт кореляції
- •Коваріаційна матриця і матриця парних кореляцій
- •Граничні закони теорії ймовірностей Нерівність Чебишева
- •Теорема Чебишева
- •Закон Бернуллі
- •Теорема Ляпунова
- •Задачі до розділу іі.
- •Ііі. Елементи математичної статистики
- •Генеральна сукупність і вибірка
- •Дискретний варіаційний ряд
- •Інтервальний варіаційний ряд
- •Точкові та інтервальні оцінки
- •Поняття про статистичну перевірку гіпотез
- •Задачі до розділу ііі.
- •Іv. Методи математичної обробки даних у психології Ознаки і змінні. Шкали вимірювання ознак
- •Перевірка гіпотези про однорідність вибірки
- •Перевірка гіпотези про узгодженість розподілів
- •Критерій Пірсона
- •Критерій Колмогорова
- •Критерій Смирнова
- •Перевірка гіпотези про рівність двох дисперсій
- •Виявлення відмінностей у рівні досліджуваної ознаки Критерій Розенбаума
- •Критерій Манна-Уітні
- •К ритерій Стьюдента
- •І. Вибірки взяті з однієї генеральної сукупності
- •Іі. Вибірки взяті з різних генеральних сукупностей
- •Перевірка наявності зсуву у значеннях досліджуваної ознаки
- •Критерій знаків
- •Критерій Вілкоксона
- •Парний t-тест Стьюдента
- •Перевірка впливу фактора на зміну рівня досліджуваної ознаки
- •Критерій Краскела-Уоллеса
- •Критерій тенденцій Джонкхієра
- •Критерій Фрідмана
- •К ритерій тенденцій Пейджа
- •Однофакторний дисперсійний аналіз
- •П еревірка наявності зв’язку між двома ознаками
- •Зв'язок ознак, виміряних у номінативних шкалах
- •Зв'язок ознак, виміряних у порядкових шкалах
- •Зв'язок ознак, виміряних в інтервальних шкалах
- •Задачі до розділу іv.
- •Критичні значення розподілу
- •Критичні значення розподілу Фішера-Снедекора
- •Критичні значення критерію Розенбаума
- •Критичні значення критерію Манна-Уітні
- •Критичні значення критерію знаків
- •Критичні значення критерію Вілкоксона
- •Критичні значення критерію Краскела-Уоллеса
- •Критичні значення критерію Джонкхієра
- •Критичні значення критерію Фрідмана
- •Критичні значення критерію Пейджа
- •Критичні значення рангового коефіцієнта кореляції Спірмена
- •Д о д а т о к 2: Елементи вищої математики Матриці, визначники, системи лінійних рівнянь Поняття матриці. Операції над матрицями.
- •Визначник матриці. Обернена матриця
- •Системи лінійних алгебричних рівнянь
- •Вступ до математичного аналізу
- •Числові послідовності та їх границі
- •Границя функції в точці. Односторонні границі
- •Неперервність функції
- •Диференціальне числення функцій однієї змінної Похідна функції в точці
- •Диференційовність функції
- •Монотонність функції. Екстремуми
- •Похідні вищих порядків
- •Інтегральне числення функцій однієї змінної Первісна функції. Невизначений інтеграл
- •В изначений інтеграл
- •Невластиві інтеграли
- •Частинні похідні функцій багатьох змінних
- •Д о д а т о к 3: Деякі команди Maple 8.
- •Алфавітний покажчик
- •Основи теорії ймовірностей і статистичні методи аналізу даних у психологічних і педагогічних експериментах
Квантилі
Квантилем порядку р розподілу випадкової величини будемо називати точку дійсної осі, в якій функція розподілу цієї випадкової величини переходить від менших, ніж р, значень до більших, ніж р. Тобто, , а . Квантилі розподілу будь-якого порядку існують для кожної випадкової величини, однак можуть визначатись неоднозначно. Найчастіше розглядають медіану, квартилі, децилі та процентилі розподілу.
Медіаною розподілу випадкової величини називають квантиль .
Квантилі , — називають квартилями, а квантилі та — відповідно децилями та процентилями розподілу. На рис.5 зображено медіану та квартилі випадкової величини, заданої своєю функцією розподілу.
К вантилі можуть як завгодно точно характеризувати розподіл випадкової величини, якщо взяти їх достатню кількість.
Деякі дискретні розподіли Розподіл Бернуллі
Випадкова величина Х має розподіл Бернулі з параметром , якщо
хі |
0 |
1 |
рі |
1– р |
р |
Її математичне сподівання і дисперсія відповідно дорівнюють:
Розподіл Бернуллі відіграє фундаментальну роль в теорії ймовірностей, оскільки він є моделлю будь-якого випадкового експерименту, виходами якого є дві протилежні події.
Біномний розподіл
Нехай проводиться п випробувань з можливими виходами А або в кожному випробуванні, причому подія А має сталу ймовірність р появи в одній спробі (схема Бернуллі). Позначимо . Тоді ймовірність появи події А k раз в п спробах дорівнює:
. (ІІ.13)
Розподіл випадкової величини Х, яка дорівнює кількості появи події А в п випробуваннях називається біномним розподілом. Випадкову величину Х можна розглядати як суму , де — випадкова величина з розподілом Бернулі, яка характеризує появу події А в і–ому випробуванні. Тому математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення розподіленої за біномним розподілом випадкової величини дорівнюють:
(ІІ.14)
Приклад 10. Імовірність народження хлопчика дорівнює 0,52. Записати розподіл кількості хлопчиків серед 10 новонароджених та знайти його числові характеристики .
Розв’язання: Значення ймовірностей для кожного значення випадкової величини, знаходимо за формулою (ІІ.13). Ввівши команду Maple:
p:=0.52;q:=1-p;seq(binomial(10,i)*p^i*q^(10-i),i=0..10);,
отримаємо шуканий розподіл:
х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
р |
0,0007 |
0,0070 |
0,0343 |
0,0991 |
0,1878 |
0,2441 |
0,2204 |
0,1364 |
0,0554 |
0,0133 |
0,0015 |
Г рафічно його можна зобразити таким чином:
Рис. 6.
На основі формул (2.14) отримуємо МХ=5,2, DX=2,496, σX 1,58.
Функцію розподілу даної випадкової величини можна задати у вигляді таблиці:
х |
x0 |
0<x1 |
1<x2 |
2<x3 |
3<x4 |
4<x5 |
5<x6 |
6<x7 |
7<x8 |
8<x9 |
9<x10 |
x>10 |
F(x) |
0 |
0,0007 |
0,0077 |
0,042 |
0,1411 |
0,3289 |
0,573 |
0,7934 |
0,9298 |
0,9852 |
0,9985 |
1 |
Отже, медіаною розподілу цієї випадкової величини є точка т = ½= 5, а квартилями — точки ¼= 4 та ¾= 6.
Розподіл Пуассона
Випадкова величина Х має розподіл Пуассона з параметром , якщо
. (ІІ.15)
Математичне сподівання, дисперсія та середньоквадратичне відхилення випадкової величини з розподілом Пуассона дорівнюють:
(ІІ.16)
Розподіл Пуассона відповідає схемі Бернуллі з великим п і достатньо малим р, причому , тому цей закон розподілу називають розподілом імовірностей масових рідкісних подій.
Деякі неперервні розподіли
Рівномірний розподіл
Випадкова величина називається рівномірно розподіленою на відрізку [a; b], якщо щільність її розподілу
(ІІ.17)
Функція розподілу такої випадкової величини описується рівністю
(ІІ.18)
Її математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення відповідно дорівнюють
(ІІ.19)
Експонентний розподіл
Випадкова величина має експонентний розподіл, якщо її щільність розподілу
(ІІ.20)
ЇЇ функція розподілу задається рівністю
(ІІ.21)
Математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення випадкової величини розподіленої за експонентним законом дорівнюють:
(ІІ.22)
Вправа. Побудуйте графіки щільностей та функцій рівномірного і експонентного розподілів в пакеті Maple.
Нормальний розподіл
Важливу роль у теорії ймовірностей відіграє нормальний закон розподілу. Назва “нормальний” пояснюється тим, що через поширеність цього закону при описі більшості природніх явищ, він сприймався як норма (стандарт) розподілу будь-якої випадкової величини. Цьому закону підпорядковані більшість числових характеристик властивостей особистості і людських здібностей.
Випадкова величина має номальний розподіл (або розподіл Гауса), якщо щільність її розподілу задається рівністю
. (ІІ.23)
Функція нормального розподілу має вигляд
. (ІІ.24)
Числові характеристики нормально розподіленої випадкової величини дорівнюють
(ІІ.25)
З алежно від параметра графіки щільності розподілу та функції розподілу мають такий вигляд
Нормальний розподіл з параметрами та називають стандартним нормальним розподілом. Для стандартного нормального розподілу складені таблиці його щільності та функції Лапласа (Див. таблиці 1 і 2 в додатку 1).
В пакеті Excel для обчислення щільності та функції нормального розподілу служать статистичні функції НОРМРАСП і НОРМСТРАСП. Квантилі нормального розподілу можна обчислити, користуючись функціями НОРМОБР та НОРМСТОБР.
Імовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини в заданий інтервал визначається за формулою
(ІІ.26)
При використанні формули (ІІ.26) слід пам’ятати, що функція Лапласа Ф(х) є непарною функцією, тобто Ф(– х) = – Ф(х).
Імовірність відхилення нормально розподіленої випадкової величини від свого математичного сподівання не більше, ніж на ε, обчислюється за формулою
(ІІ.27)
Зокрема, послідовно вибираючи , , , отримуємо:
(ІІ.28)
Останнє співідношення виражає правило “трьох сігм”, яке полягає в тому, що практично всі значення нормально розподіленої випадкової величини відхиляються від свого математичного сподівання не більше, ніж на .
Приклад 11. Випадкова величина розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням а = 10. Знайти ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (20; 30), якщо ймовірність її попадання в інтервал (0; 10) дорівнює 0,3.
Розв’язання: Оскільки ймовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини у заданий інтервал визначається за формулою (ІІ.26), то . З таблиці значень функції Лапласа визначаємо , звідки . Далі .