- •Под редакцией проф. В. С. Силецкого Допущено Министерством высшего и среднего специального образования ссср в качестве учебного пособия для неэнергетических специальностей вузов
- •74 Бечгородск.;я ' областная ' библиотека
- •Предисловие к первому изданию
- •Часть первая техническая термодинамика
- •Глава I введение
- •Контрольные вопросы и примеры к I главе
- •Глава II
- •Контрольные вопросы и примеры к II главе
- •Контрольные вопросы и примеры к III главе
- •Глава IV реальные газы
- •Глава V первый закон термодинамики
- •Г л а в а VI теплоемкость газов. Энтропия
- •3 В. В. Нащокин .65
- •§ 6Т11. Тепловая Тя-диаграмма
- •Глава VII
- •CpdT vdp , dv dp
- •Контрольные вопросы и примеры к VII главе
- •Глава VIII . Второй закон термодинамики
- •Глава IX характеристические функции и термодинамические потенциалы. Равновесие систем
- •Контрольные вопросы и примеры к IX главе
- •Водяной пар,
- •_ Масса сухого насыщенного пара во влажном
- •Масса влажного пара
- •Глава XII
- •Глава XIII истечение газов и паров
- •Контрольные вопросы Ли примеры к XIII главе
- •Глава XIV
- •Глава XV влажный воздух
- •Глава XVI [ компрессоры
- •Глава XVII циклы двигателей внутреннего сгорания
- •Глава XVIII
- •V Лг изоб изох'
- •Глава XIX циклы паротурбинных установок
- •Контрольные вопросы и примеры к XIX главе
- •Глава XX циклы атомных электростанций, парогазовых и магнитогидродинамических установок
- •Контрольные вопросы к XX главе
- •Глава XXI циклы холодильных установок
- •* С. Я. Г е р ш. Глубокое охлаждение. Госэнергоиздат, 1957, стр. 85.
- •Глава XXII
- •Контрольные вопросы к XXII главе
- •Глава XXIII
- •Глава XXIV теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях третьего рода, коэффициент теплопередачи
- •Глава XXV
- •2 В. В. Нащокин
- •Контрольные вопросы к XXV главе
- •Глава XXVI конвективный теплообмен
- •Физические свойства жидкостей
- •Режимы течения и пограничный слой
- •Числа подобия
- •Теореме! подобия
- •Контрольные вопросы к"XXVI главе
- •Глава XXVII
- •Контрольные вопросы и примеры к XXVII главе
- •Глава XXVIII
- •Контрольные вопросы и примерь! к XXVIII главе
- •Глав а XXIX теплообмен излучением
- •Степень черноты полного нормального излучения для различных материалов
- •Средняя длина лучей для газов, заполняющих объем различной формы
- •Контрольные вопросы и примеры к XXIX главе
- •Глава XXX теплообменные аппараты
- •1 1 ТуСру 4190
- •Глава XXXI
- •Воздух (абсолютно сухой)
- •Кдж/(моль- град)
- •Кдж/(кг-град)
- •"50. Н о з д р е в в. Ф. Курс термодинамики. «Высшая школа», 1961.
- •Глава I. Введение 5
- •Глава VII. Термодинамические процессы идеальных газов ...... 79
- •Глава VIII. Второй закон термодинамики , 95
- •Глава IX. Характеристические функции и термодинамические потен- циалы. Равновесие систем 124
- •Глава XII. Основные термодинамические процессы водяного пара . . 173 § 12-1. Общий метод исследования - термодинамических процессов
- •Глава XV. Влажный воздух . . 214
- •Глава XVII. Циклы двигателей внутреннего сгорания 235
- •Глава XVIII. Циклы газотурбинных установок и реактивных двига- телей 253
- •Глава XX. Циклы атомных электростанций, парогазовых и магнито-
- •Глава XXI. Циклы холодильных установок 299
- •Часть вторая. Теплопередача
- •Глава XXII. Основные положения теплопроводности 315
- •Глава XXIV. Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях третьего рода. Коэффициент теплопередачи . . 337 § 24-1. Передача теплоты через плоскую однослойную и многослойную
- •Глава XXV. Теплопроводность при нестационарном режиме . . . 352
- •Глава XXVI. Конвективный теплообмен . . 363
- •Глава XXVII. Конвективный теплообмен в вынужденном и свобод- ном потоке жидкости 386
- •Глава XXX. Теплообменные аппараты зд7
- •Глава XXXI. Тепло- и массоперенос во влажных телах , 460
- •Владимир Васильевич Нащокин техническая термодинамика и теплопередача
Контрольные вопросы и примеры к IX главе
Что выражает термодинамическое тождество?
Какими особенностями обладают термодинамические функции?
Какие термодинамические функции считаются основными?
Какими независимыми переменными определяется каждая из основных термодинамических функций?
Что такое изохорно-изотермный потенциал и связанная энергия?
Физический смысл изохорно-изотермного потенциала.
Из каких величин составляется общая энергия системы?
8. Уравнение максимальной работы Гиббса — Гельмгольца при постоянных ТУ и Тр.
9. Какие величины называются термодинамическими потенциалами?
Что представляет собой химический потенциал?
На какие классы "делятся термодинамические системы?
Фазовые превращения первого и второго рода.
Какое состояние называется стабильным, лабильным, мета-стабильным?
Какие условия необходимо осуществлять для устойчивого равновесия термодинамической системы?
Условия равновесия однородной системы.
Условия равновесия нескольких фаз вещества.
17. Фазовая рГ-диаграмма. .18. Фазовая р У-диаграмма.
7Удиаграмма.
Уравнение Клапейрона—Клаузиуса и его вывод.
Тепловая теорма Нернста.
Пример 9-1. Доказать, что для идеального газа
(dFldT)p = — S — R и (dF/dp)T = —V. '
При независимых переменных р и Т характеристической функцией будет изобарно-изотермный потенциал Z:
Z - U — TS + pV = F + pV или F = Z — pV.
Дифференцируя последнее уравнение по Т при постоянном давлении, получаем
(dF/dT)p = (dZ/dT)p — р (dVldT)p. Из уравнения Клапейрона находим
(dV/dT)p = Rip и (dVldp) т = — RTIp2. Учитывая уравнения (9-25) и Клапейрона, получаем
(dFldT)p = - 5 - р (Rip) = — S — R.
Дифференцируя потенциал Z по р при постоянной температуре, находим
(dFI$p)T = (dZldp)T — р (dV/dp)T — V и с учетом уравнений (9-25) и Клапейрона получаем (dFldp)T = V — V — V = — XL
Пример 9-2. Определить L, Q, А /, AU, AS, AF и AZ при изотерм-ном расширении 1 кмоль идеального газа от р± = 1,0 до р% = 0,5 бар при температуре 1000р К.
Работа при изобарном расширении
L = 1000-8314,2.2,3 lg 1/0,5 = 5730 кджЬольУ
♦
Подведенная теплота в процессе Q — L = 5730 кдж1кмолЬ. Изменение энтальпии А/ = 0. Изменение энтропии
AS = QIT = 5730/1000 = 5,73 кдж!(кмоль-град)'.
Изменение внутренней энергии АН = 0.
Изохорно-изотермный потенциал AF, = — £маКс = — 5730 кдж/кмоль. Изобарный потенциал AZ = £макс = 5730 кдж/кмоль.
Пример 9-3. Определить максимальную работу 1 м3 воздуха при давлении р = 100 бар и температуре 7\ = 300р К; давление внешней среды р0 ~ 1 бар и температура Т = 300" К.
Удельную максимальную" работу определяем по уравнению (8-26): 'макс = («1 — "г) — Т0 •>! — Яг) + ра^ -г- г/а)
или
/макс = с, (7\ - Т0) - Т0 (ср 1п 7УГ0 -ЯШ р^Ро) + #/>о (ТМ
- Го/ро),
'макс * 300-0,287.2,3 Ц 100 + 0,287 (300/100 — 300) = = -311 кдж/кг.
Масса воздуха:
ш = (/^/(ТО = (100-105)/(287.300) = 116 кг; Ьмак0 = 311 -116 = 36100 кдж.
Пример 9-4. Доказать следующие соотношения:
и = г — Т (дг/дТ)р — р (дИдр) т; С„ = — Т (<32/7д7>; Ср = — Г (д2г/дТ%; (ди/дУ)3 = (дР/дУ)т; (а/7Ал)5 = (дЯдр)тш,* '(дР/дТ)у = Щ/дТ)р; (дР/дУ)т = (д(ЛдУ)з. '
ГлаваХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 10-1. Основные дифференциальные уравнения термодинамики в частных производных
Первый и второй законы термодинамики дают возможность для любого рабочего тела устанавливать зависимость между параметрами в дифференциальной форме. Следовательно, если некоторые из параметров определены опытным путем, то другие могут быть определены интегрированием соответствующих дифференциальных уравнений, составление которых и будет изложено в данной главе.
Так как производные характеристических функций определяют физические свойства вещества", то дифференциальные уравнения термодинамики выражают количественные связи между различными физическими свойствами вещества, вытекающие из первого и второго законов термодинамики.
Исходными уравнениями для наших исследований являются уравнения первого и второго законов термодинамики и термодинамических тождеств: (5-8), (5-9), (5-13), (6-39), (6-46), (6-47).
Уравнение (6-45) при р = const принимает вид
Ср = f (dS/dT)p. . (10-1)
Для изохорного процесса
Cv = Т (dS/dT)v, (Ю-2)
т. е. теплоемкость Cv при V — const равна произведению абсолютной температуры Т на частную производную энтропии S по температуре Т.
Дифференциальное уравнение первого закона термодинамики dQ ~ dU + pdV при различных независимых переменных, определяющих внутреннюю энергию dU, выражается следующим образом.
При независимых параметрах V и Т — уравнением (6-4'):
* dQ = (dU/dT)v dT + l(dU/dV)T + p\dV.
При независимых п"а pa. метрах р а V
dQ = (dU/dp)vdp + [(dU/dV)p + р\ dV. ' (10-3)
При независимых параметрах р и Т. Подставив в уравнение первого закона значения dU и dV из уравнений (5-3) и (4-7) при тех же независимых параметрах, получаем dQ = (dU/dTjpdT + (dU/dp)Tdp + р l(dV/dT)pdT + (dV/dp)Tdp), или
dQ = 1(дШдТ)р + p (dV/dT)p) dT + [(dU/dp) T+ . ■
+ p (dVldp)T]dp. (10-4)
Частная производная внутренней энергии (д111дУ)т. Подставим в основное уравнение изменения энтропии = с1С11Т значение й(£ из уравнения (6-4'), получим
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (6-40), находим
№ (10-5)
\дТ)у Т \ dTJv
I 3S\ ==J_\(dU\ , (dV/т ~ Т [[ dV/т ,
(10-6)
Чтобы исключить переменную S, берем вторые частные производные: уравнение (10-5) по V при Т = const, а уравнение (10-6) по Т при V = const:
Э25 1 d2U
dTdV Т дТдУ
И
J_
Т
dV
дТ
dVdT
±ГJUL+
(?£.) 1__L\(w\
+р\
Т
[dVdT
^\dTjv\
Т*\\дУ)т
J
J_ дЮ Т ' dTdV
откуда
dTjv Т
"И
ГШ) =т(&) -Р.
(10-7)
Частная про и'з водная внутренней энергии (ди/др)т. В основное уравнение энтропии йЭ = dQ.IT подставим значение dQ из уравнения (10-4), тогда
Т
Из последнего уравнения и уравнения (6-40) на основании свойств коэффициентов полного дифференциала находим:
(аР")г==т[("аР")г+р (эр")?-] *
(10-8)
(10-9) 15]
Чтобы исключить переменную S, берем вторые. частные производные в уравнении (10-8) по р при Т = const, а в уравнении (10-8) по Т при р i= const н, приравнивая правые части, получаем
Т [дрдТ \ дТ)р ^ дрдТ \ Т2 [{ др )т [ др )т Т [дТдр дТдр}'
откуда
(dU/dp)T = — [Т (dV/dT)p + р (dV/dp)Tl (10-10)
Частная производная внутренней энергий (dUldT)p. Дифференциальное уравнение первого закона термодинамики при независимых переменных р и Т в изобарном процессе принимает вид
dQp = [(dUIdT)p + р (dV/dT)p\ dTp dQp/dTp = Cp = (dU/dT)p + p (dV/dT)p,
откуда
(dU/dT)p = Cp — p (dV/dT)v. ' (10-11)
Дифференциальное уравнение теплоты при независимых переменных V я Т будет аналогично уравнению (6-14):
dQ = T^ydV + CvdT. (Ю-12)
Дифференциальные уравнениятеплоты при независимых переменных р и Г. Дифференциальное уравнение первого закона термодинамики при независимых переменных р и Т получаем из уравнения (10-4).
Подставляя в уравнение (10-4) уравнения (10-11) и (10-10), находим
dQ = [Ср — р (dV/dT)p + р (dVldT)pdT + l—T (dV/dT)v -
— p (dV/др) T + p (dV/др) T] dp. (10-13)
После преобразований получим
dQ = CpdT — T (dV/dT)p dp. (10-14)
Дифференциальные уравнения энтальпии и энтропии при независимых переменных р и Г. Сравнивая уравнения (5-21) и (6-47), получаем
\ dS = (dILdT)pf + jr[(j;)T-v]dp.- (10-15)
Частные производные энтропии определяем методом сравнения коэффициентов тождественных уравнений.
Сопоставляя уравнение (10-15) с тождественным уравнением (6-40), получим:
• (f ),-&']■; <io-i7»
Для того чтобы исключить S, берем вторые частные производные в уравнении (10-16) по р при Т = const и в уравнении (10—17) по Т при р -= const:
'i d*S = 1 дЧ дТдр Т ~дТдр ' d*S _ 1 Г дЧ (дУ\ "I l_l(EL\ —у] '
Полученные производные равны между собой, поэтому откуда
(д1/др)т = V — Т (дШТ)р. " (10-19)
Это уравнение применяют для анализа изотермных процессов.. Если в уравнение для энтальпии (5-21) подставим значение (д11др)т из уравнения (10-19), а значение (д11дТ)р из уравнения (6-12), то получим
dl = CpdT-^r[^-Vyp. . (10-20)
Если в уравнение (6-40) для энтропии подставим значение (dS/dT)p из уравнения (10-1) и (dS/dp)T из уравнения (9-29), то
ds =(^r) dT~ dP' <10'21)
Уравнения (6-46) н (6-47) позволяют вычислить важные частные производные энтропии:
(dU/dS)v = Т; (dS/dV)u = р/Т; •
(dI/dS)p = Т; (ds/dp), = — VIT;
(dU/dV)s = — р; (dl/dp)s = V.
Дифференциальные уравнения, связывающие теплоемкость при постоянном давлении и теплоемкость при постоянном объеме, имеют большое значение в термодинамике. Найдем зависимость теплоемкости Ср от давления и теплоемкости Cv от объема прн постоянной температуре. "
1
/дСР\
Т
\
др
)т'
дТ
др
В уравнении (9-29) берем вторую производную по Т при р = const:
d2S (d*V\
дрдТ \дТ*)р Полученные вторые частные производные равны, поэтому
Это уравнение используется для получения термического уравнения состояния реального газа р = / (V, Т), если из опыта получена зависимость теплоемкости Ср от параметров. Для этого необходимо дважды проинтегрировать уравнение (10-22) и определить значения получаемых постоянных интегрирования.
Таким же методом получаем уравнение для Су.
В уравнении (10-2) берем вторую производную по V при Т = const:
d*S 1 /дСу\ dTdV ~ Т \~dV~ )т
,Применяя повторное двукратное дифференцирование уравнения (9-20) по Г при V ~ const, находим
dVdT~[d-n)v' Вторые частные производные равны
Это уравнение определяет зависимость Су от объема.
Важные выражения в частных производных для определения теплоємкостей СрИСу можно получить из уравнений (10-1) и (10-2). Преобразуя уравнение (10-1), получаем
С--Г(ЗШ),-
Применяя уравнение Максвелла (9-12), имеем
■с--г (-£).(£),■ (10-24)
(dS\
Преобразуя уравнение (10-2) Су = Т I — I , получаем CvBsT{S)v[^r)v'
Применяя уравнение Максвелла (9-8), имеем
>С'=-Г(ЗШ),- (10-25)
Продифференцировав выражение энтальпии I = U -\- pV по V при Т — const, получим
- (£),-(£),+'+»■(£),• ' .■
. Применяя уравнение (10-7), имеем
№\-т{%)М$)т- <10-26>
Аналогично, дифференцируя выражение для / по Т при V=const, получим
(ËL) ^(Щ +v(^)
\dTJv \STJV \dT]v\ или, применяя уравнение (6-5), имеем
(г),-с'+"(#),- <10-27)
Уравнения (10-6), (10-10), (10-11), (10-19), (10-20), (10-22), (10-23), (10-26) и (10-27) связывают термические и калорические величины и широко применяются в практике для вычисления термических свойств вещества, если из опыта будут определены калорические величины. Кроме того, уравнение (10-22) широко используется для определения зависимости У от Т, если в опытах будет измерена теплоемкость Ср.
Дифференциальные уравнения изохорно-изотермного и изобарного потенциалов изложены в гл. IX.
§ 10-2. Приложение дифференциальных уравнений к решению некоторых термодинамических задач
1. Ср и Су для идеального газа не зависят от давления и объема при Т = const.
Из уравнения (10-22) следует, что
(дСр/др)т — — Т (д2У/дТ2)р.
Дифференцируя уравнение состояния при р = const, получаем
(дУ/дТ)р = mR/p.
Вторая производная от частной производной равна
(д2У/дТ2)р = 0,
поэтому
(дСр/др)т = 0.
Теплоемкость Ср идеального газа при постоянной температуре не зависит от давления..
Из уравнения (10-23) находим
(dCv/dV)T = Т (d2pldT2)v.
Дифференцируя уравнение состояния при V = const, получаем
(др1дТ)ч = mR/V.
Вторая производная от этой производной равна
(д2р/дТ\ = 0,
поэтому
\dCvldV)T = 0.
Изохорная теплоемкость Cv идеального газа ие зависит от объема, а следовательно, и от давления.
Внутренняя энергия идеального газа, по закону Джоуля, зависит только от температуры и не зависит от объема и давления.
Это положение требует, чтобы
(dU/dV)T = 0 и (dU/dp)T = 0
Из уравнения состояния получаем:
(dpldT)v = mR/V; (dV/dT)p = mR/p; (dV/dp)T = —mRT/p2.
Подставляя в уравнение (10-7) значение (dpldT)v, находим
(dU/dV)T = Т (dp/dT)v — р = Т (mR/V) —/7 = 0.
Подставляя в уравнение (10-10) значения (dV/dT)p и (dV/dp)T, получаем
. (dU/dp)T = — IT (dV/dT)p + р (dVldp)T\ =* = — IT (mR/p) — p (mRT/p2)] = 0. Для идеального газа"
(dU/dT)v = dU/dT = Cv.
Определить внутреннюю энергию газа, подчиняющегося -уравнению Ван-дер-Ваальса.
Из уравнения Ван-дер-Ваальса получаем
р = RT/(v — Ь) — (ab2) и (др/дТ)в ="Я/(о — Ь). Подставляя значение производной в уравнение (10-12), находим dU - IT (др/дТ)в р] dv + cDdT
и
dU = lTR/(v — 6)1 dv — pdv + cv dT. Подставляя значение p в полученное уравнение, имеем dU = l(TR/(v — 6)1 dv — [RT/(v — b)\ dv — (a/o2) dv + + c„ dT = cvdT — (a/o2) dv.
Доказать, что на ТЪ-диаграмме изохора обращена выпуклостью в сторону оси абсцисс.
Для доказательства необходимо показать, что вторая производная
(d2T/ds2)B > 0. Из уравнения (6-46) при v = const следует-что
duv = TdsB. С учетом уравнения (6-5) имеем
ев « (dU/dT)B = Т (ds/dT)B,
отсюда
. (дТ/ds), = Т/ев. Берем вторую производную при условии, что св = const,
[ds2 )в ds [{ ds )B\B ds [ cB jB св { ds )в c%
Теплопроводность при постоянном объеме св > 0 и Т > 0, отсюда и \d2Tlds2)B > 0.
Следовательно, на Гя-диаграмме изохора обращена выпуклостью в сторону оси абсцисс.
Доказать, пользуясь дифференциальными уравнениями для коэффициентов изотермного и адиабатного сжатия в частных производных, что адиабата проходит круче изотермы.
Разделив уравнение (10-14) на (10-13) при dQ = 0 и ds = 0, находим
сР (др/дТ)в _/ др\ ~~cv (dvldT)P ~ \ dv /„'
Подставляя значения (др/дТ)в из уравнения (4-8), получаем / др\ _ ср (др/ду)т.(ду/дТ)р [~dv~}s~ св(дфТ)Р
откуда .
(dp/dv)3 = k (dp/dv)T.
Коэффициент адиабатного сжатия (38 в k раз больше коэффициента изотермного сжатия (Зт: 8
Отсюда следует, что адиабата проходит всегда круче изотермы. 1
Доказать, что
сР — св' = I (ди/до)т + р] фь1дТ)р.
Принимая во внимание уравнение (6-16), величину ср можно выразить следующим соотношением:
сР = св + Т(др/дТ)0 (до/дТ)р, а из уравнения (10-7) следует, что
(du/dv)T + p
(dpßT)
Подставляя
в предыдущее уравнение значение Т,
получаем
cP
=
cv+
фр1^
l(dptdT)v
(dv/dT)p],
откуда
сР = с, + (du/dv) т (dv/dT)p + р (дЫдТ)Р
или
ср — с, = .l(du/dv)T + р] (дЫдТ)Р,
где член р(до/дТ)р представляет собою внешнюю работу, полученную при изменении температуры на Г, а член (ди/dv)T-(dvldT)p дает изменение внутренней энергии при увеличении температуры на 1° при постоянном давлении,
С помощью уравнений (6-46) и (10-13) доказать, что
(дТ/до)и = [р — Т (др/дТ)в]/с„. Сопоставляя уравнения (6-46) и (10-13), получаем:
du = Tds — pdv; ds = (c^Tj/T + (др/дТ)в dv; du = cvdT + T (dp/dT)v dv -* pdv; du = c0dT + [T (др/дТ)в — p\ dv, откуда при и = const
(дТ/до)и = [p — T (др/дТ)0\/св.
Доказать с помощью уравнений (10-2) и (9-20), что
' (дТ/до), = — Т (p/cv)y„
где V« — термический коэффициент давления, определяемый уравнением (4-11).
Между основными частными производными параметров Т, v и s существует следующее соотношение:
(dT/dv)s (dv/ds)T (ds/dT)v = —1.
« Поэтому
(dtIдо), (dv/dT)T (cjT) =. -1,
или
(дТ/до). = - (T/cD) (др/дТ)в = - (Т/с,) (р/р) (др/дТ)в,
откуда
(дТ/до), = - (Тр/св) yt.
Доказать, что
(дТ/др)0 (ds/dv)p - (дТ/до)р (ds/dp)B =« 1; (др/дТ)3 (dv/ds)T — (dp/ds)T (dv/dT)s =1.
Подставляя значенияср и с„ из уравнений (10-1) и (10-2) в уравнение (6-16), получаем
Т (д8/дТ)р — 7 (дз/дТ)„ = Т (др/дТ), {до/дТ)р
или
(д$/дТ)р — (ШТ)„ = (-Зр/д7)р (до/дТ)^
откуда I
(д$/до)Р (дГ/др), — (д5/др)0 (дТ/до)р =1.
Если в последнем уравнении заменить 7* на р и р на 7, а о на в и в на и, то получаем
(&■/&) г (•Эр/'Э'Г), — (^/■37*), (др/дв)г = 1.
10. Показать, что
р
0
(д^1дь%
Уравнение
(6-16) можно представить следующим
образом:
ср-с,
=
Т
(др/дТ)„
(дь1дТ)р
=
Т
{др/дТ)°
=,Т ^В1ЁП1 .
Используя зависимость между параметрами состояния — уравнение (4-8), получаем тождество
(до/др)т (дТ/до)р (др/дТ)„ = — 1.
Подставляя полученное выражение в уравнение в (6-16), находим
р (др№)т
Но из уравнения (9-17) р = — (дР/до)т и (др/дТ)в = — (д2Р)/(дТди); (др/до)т = = — -(д2Р/до2)т,
поэтому
Ср ср = Т ■
11. Показать, что ср — с„ = — 7 (сЫаЪ) т (д$/др) т. Воспользуемся уравнением (6-16)
Ср — с, = Т (др/дТ)в (дЫдТ)р.
Из уравнения (6-20)
(др/дТ), = (ди1до) т,'
а из уравнения (9-29)
(до/дТ)р = — (Шр)т,
поэтому
Ср — ср = — Т (д$/о\))т (д$/др)т.
12. Определить термодинамические функции при независимых переменных р, I и Т, р. Возьмем уравнение (6-47)
TdS = с11 — Уйр.
При независимых переменных р и / термодинамической функцией является энтропия 5 (р, /):
= й11Т — (У/Т) &р. При постоянном давлении
(dS/dI)P
(dS/др),
V=-(dSldp)t{dI{dS)p =
(dS/dI)p'
Запишем уравнение (9-15):
dF = — SdT — pdV.
При независимых переменных Т я F термодинамической функцией является объем V (Т, F):
dV = — dF//> — (S/p) dT.
(dVidF)T
(dV/df)F
.
р=— {dF[dV)T= 1
S = T(dVidT)F--
(dV/dF)T
_ Г л а в а XI