Контрольные вопросы к XXII главе

, 1. Назовите основные случаи теплообмена.

2. Опишите подробно все виды теплообмена.

3. Что называется конвективным теплообменом?

4. Какова природа лучистой энергии и передача теплоты-излуче- нием?

5. Какие газы излучают?

6. Что называется сложным теплообменом?

7. Что называется температурным полем? Написать его уравнение.

8. Уравнение температурного поля' при стационарном режиме.

9. Уравнение одномерного температурного поля.

10. Что называется градиентом температуры?

11. Закон Фурье.

12. Что называется коэффициентом теплопроводности?

13. Описать особенности теплопроводности различных веществ.

14. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности.

15. Уравнение Фурье-для трехмерного температурного поля.

16. Что называется коэффициентом температуропроводности?

17. Какими величинами задаются граничные условия первого, второго и третьего рода?

18. -Закон Ньютона—Рихмана.

19. Что называется коэффициентом теплоотдачи?

Глава XXIII

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА

- § 23-1. Теплопроводность через однослойную плоскую стенку

Дифференциальное уравнение теплопроводности позволяет опре­делить температуру в зависимости от времени и координат в любой точке поля.

Для любого конкретного случая к нему надо присоединить необхо­димые краевые условия.

Рассмотрим наиболее распространенный случай — теплопровод­ность через однослойную плоскую стенку, длина и ширина которой бесконечно велики по сравнению с толщиной б (рис. 23-1). Стенка имеет во всех своих частях одинаковую толщину, причем температуры поверх­ностей (ст и /ст поддерживаются постоянными, т. е. являются нзотермными поверхностями. Температу­ра меняется только в направлении, перпендику­лярном к плоскости стенки, которое принимаем за ось х. Коэффициент теплопроводности X постоянен для всей стенки. При стационарном тепловом ре­жиме температура в любой точке тела неизменна и не зависит от времени, т. е. dtldx = 0. Тогда диф­ференциальное уравнение теплопроводности после сокращения коэффициента температуропроводности принимает вид

(d²tldx²) + [dHldy²) +. (д²(/дг²) = 0.

Но при принятых условиях первые и вторые производные от t по у и Z также равны нулю:

dtldy = д(/дг = 0 и dHldy² = d²tldz² = 0,

поэтому уравнение теплопроводности можно написать в следующем виде:

dHldx² = 0. * (23-1)

_;. Интегрируя уравнение (23-1), находим ; dtldx = const = А.

После вторичного интегрирования получаем I t = Ах -\- В.

| При постоянном коэффициенте теплопроводности это' уравнение' прямой линии. Следовательно, закон изменения температуры при прохождении теплоты через плоскую стенку будет линейным, Ш Найдем постоянные интегрирования- А и В.

При х = О температура t = t'_cr = В; при х = б температура г¹ = = & = А6 -f 4'т, откуда

Л = (£_т — &)/6 = dt/dx_u

Плотность теплового потока найдем из уравнения (22-7):

q = — X (dt/dn) = —X (dt/dx) = —X (£_т — t'_n)lb .

или

q = \\t*-t»). (23-2) о

Зная удельный тепловой поток, можно вычислить общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки F за время т

Q=4f(fcT-fcx)T. ' (23-3)

о

Количество теплоты, передаваемое теплопроводностью через пло­скую стенку, прямо пропорционально коэффициенту теплопровод­ности стенки X ее площади F, промежутку времени т, разности темпе­ратур на наружных поверхностях стенки (4'т — &•) И обратно про­порционально толщине стенки б. Тепловой поток зависит не от абсо­лютного'значения температур, а от их разности t'„— (ct= At, на­зываемой температурным напором.

Полученное уравнение (23-2) является справедливым для случая, когда коэффициент теплопроводности является постоянной величиной, В действительности коэффициент теплопроводности реальных тел за­висит от температуры и закон изменения температур выражается кри­вой линией. Если коэффициент теплопроводности зависит от темпера­туры в незначительной степени, то на практике закон изменения тем­ператур считают линейным.

Уравнение (23-2) можно получить непосредственно из закона Фурье (22-6), считая, что температура изменяется только в направлении оси х:

Q = —if (dt/dx), Разделив переменные, получаем

dt = —(QIXF)dx.

«

Интегрируя последнее уравнение при условии Q = const, находим

t = —(QIXF)x + С.

Постоянную интегрирования С найдем из граничных условий: при х = 0 температура t = t'„ = С; при х = б температура t = f„ = —(Q/XF)8 -f tc_T, откуда

Введем в уравнение (23-2) поправки на зависимость X от t, считая" эту зависимость линейной:

X = Х₀ (1 + Ы). ' • (а)

В этом случае, подставив в уравнение Фурье вместо X его значение из формулы (а), получаем

q=-X(t)jL = -X₀(\ + bl)^.. (б) ах dx

Разделив переменные и интегрируя, получим

q_X=-\ft₊^+C^ (в)

При граничных значениях переменных имеем:

при x — 0l = t'„ и 0 = — Х₀ ^_с'т + +С; (г)

при х = б г =^'_т и q8 =* - Х₀ (tl_T + +С. (д) Вычитая из второго равенства (д) первое (г), находим

(*ст-*ст). - (23-4)

к,

1 +ь ^{іст + tcr}

Полученное уравнение (23-4) позволяет определить плотность теп­лового потока при переменном коэффициенте теплопроводности. В этом уравнении множитель

является среднеишпегральной величиной коэффициента теплопровод­ности.-

В уравнении (23-2) было принято X — const и равным среднему зна­чению X_cv. Поэтому, сравнивая уравнения (23-2) и (23-4), получаем

X_ce = X₀[l+b-^f^. , (23-5)

Следовательно, если Х_с„ определяется при среднеинтегральной тем­пературе 4_р,_ст = (/ст + /с'т)/2, то формулы (23-2) и (23-4) равно­значны. „

* При этом плотность теплового потока может определяться из урав­нения

q=bjS (23-6)

Уравнение температурной кривой в стенке получается путем реше­ния квадратного уравнения (в) относительно / и подстановки значения С из уравнения (г):

2дх Х₀Ь

(23-7)

Из этого уравнения следует, что температура внутри стенки изме-. няется по кривой. Если коэффициент Ь отрицателен, то кривая будет направлена выпуклостью вниз; если Ь положителен, то выпуклостью вверх...

§,23-2. Теплопроводность через многослойную плоскую стенку

В тепловых аппаратах часто встречаются стенки, состоящие из нескольких плоских слоев различных материалов. Выведем уравнение

для этого случая, полагая, что все слои плотно прилегают друг к другу.

Расчетную формулу теплопровод­ности сложной стенки при стацио­нарном состоянии можно, вывести из уравнения теплопроводности для. от­дельных слоев, считая, что тепловой поток, проходящий через любую изо-термную поверхность неоднородной стенки, один и тот же.

Тепловой поток для каждого слоя:

Для решения этой задач'и рассмот­рим трехслойную стенку, в которой толщина отдельных слоев раваа 6_1т б₂, б₃, а их коэффициенты тепло­проводности соответственно %{, %_2ь %_г (рис. 23-2). Температуры наружных поверхностей и.7£_т; тем­пературы Между СЛОЯМИ /_с'_л И /ел--

°1

<2= Г &*-Гс_П)\

о,

<2 = Ф^ (*сл

Решая эти уравнения относительно разности температур и склады­вая, получаем:

^ст

,< _ <3 6, ■ , „ <э б₂ _

"⁽сл— —і 'ел — 1сл=**— Т^-'

'сл— 'ст — ~Г "Г ,

Р \ ^2 ^-3

откуда

<2 = У⁷ (&-*«)]

⁶1 | ⁶2 | 8₃ ^•1 ^2 ^3

(23-8)

рій для любого числа слоев

<2 = [^ (/_с'_т_/_с'_т)і / ^

(23-9)

» Отношение -д- называют термическим сопротивлением слоя, а вели-

I = п г.

дану 2.' х—~ ^полны^м термическим сопротивлением многослойной пло-|ской стенки.

Иногда многослойную плоскую стенку рассчитывают как однород­ную, вводя в уравнение (23-9) эквивалентный коэффициент теплопро­водности Я,_эк:

_{Г " <г = 1^к^ст-/с'т)] / '5Ч-. . (23-10)}

г = і

?. Сравнивая уравнения (23-9) и (23-10), получаем

2 в,

( = 1 ^лг

(23-11)

Эквивалентный коэффициент теплопроводности многослойной 'стенки равен коэффициенту теплопроводности однородной стенки той. ;_же толщины, с теми же температурами поверхности и пропускающей :;тот же тепловой поток.

Величина Х_эк зависит от термических сопротивлений и толщин от­дельных слоев.

Температуры в ^?.С между отдельными слоями сложной стенки рав­ен ы:

ґ -г _А А-

, „ _ ,, 0. б₂ .

'сл — &сл _ . ,

(23-12)

^сл = (_сл г-.-і и т. Д.

Температура в "каждом слое стенки при постоянном коэффициенте Цеплопроводности изменяется по линейному закону, а для многослой-Кплоской стенки температурный график представляет собой лома­ную линию.

§ 23-3. Теплопроводность через однослойную цилиндрическую стенку

Внешняя и внутренняя поверхности прямой цилиндрической трубы Задерживаются при постоянных температурах /о_Т и Й_т, Изотермные Щзерхности будут цилиндрическими поверхностями, имеющими об-Йр ось с трубой, Температура будет меняться только' в направлении

радиуса, благодаря этому и поток теплоты будет тоже радиальным. Труба имеет бесконечную длину. Температурное поле в этом случае будет одномерным:

где г — текущая цилиндрическая координата.

В случае неравномерного распределения температур на поверх­ностях трубы температурное поле не будет одномерным и послед­нее уравнение не будет действительным, На рис. 23-3 изображена труба, в кото­рой 'тепловой поток направлен по радиаль­ным направлениям. Возьмем участок трубы длиной /. Поверхность г⁷ на расстоянии г от оси равна 2пг1. Температура внутренней по­верхности равна ^_с'_т, наружной — Ц_т. Через поверхности проходит один и тот же посто­янный тепловой поток.

' Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом г и толщиной йг, Тогда можно при­нять поверхности, через которые проходит тепловой поток, одинаковыми и рассматри­вать этот элементарный слой как плоскую стенку. Разность тем­ператур между поверхностями будет также бесконечно малой и рав­ной йи По закону Фурье,

Q = —XFl (dt/dr),

или для кольцевого слоя

<2 = —Х2кг1 (еШл). Разделяя переменные, получаем

Л = —((2/2лХ1)-№г/г).

(а)

Интегрируя уравнение (а) в пределах от ^_с'т до £'_т и от г_х до л₂ и при X = const, получаем

^{S Л=~ j (Q/2nk[)(dr/r),}

откуда

tc-r — ^ст = (Q/2kXI) In rjr_u Q = / {tcr — tc_T)/(V2nX) In d₂/d,.

(23-13)

Как видно из уравнения, распределение температур в стенке ци­линдрической трубы представляет собой логарифмическую кривую. Тепловой поток, проходящий через цилиндрическую стенку, опреде­ляется заданными граничными условиями и зависит от отношения наружного диаметра к внутреннему.

(23-14) (23-15) (23-16)

■ Тепловой поток может быть отнесен к единице длины трубы 9, и к внутренней или внешней поверхности ^ и д₂.. Тогда расчетные" йрмулы принимают вид:

^а1 ■

I

лс(₁ / <2

Я1 =

Яг'-

1п d₂|d^ 2А. (/ст — /ст) ,

с/! 1п d₂|d₁ '

(/ст — /ст) (1₂ [П С?!/С(2 .

§ 23-4. Теплопроводность через многослойную цилиндрическую стенку

Предположим, что цилиндрическая стенка состоит из трех плотно ррилегающих друг к другу слоев. Температура внутренней поверх­ности стенки /ст, наружной /ст! коэффициенты теплопроводности |слоев Х_ь К₂, Х₃; диаметры слоев <Л_Ь й₂, о!₃, Температура каждого клоя. стенки изменяется по логарифмической кривой. Общая темпера-ргурная кривая представляет собой ломаную логарифмическую кривую. ЕПри стационарном режиме через все слои проходит один и тот же теп/ |ловой поток. Для каждого слоя тепловой поток равен:

2аК₁ I (/ст — /ел") .

■ (3 =

\ndiidi

2л?-₂ / (/о. - /сл) \nd3ldt

2лЛз / ( /сл — /ст)

\ndtldz

| Решая полученные уравнения относительно разности температур Ци.почленно складывая, получаем:

г'

+

_{/^_£т = £ ( А 1п4/^ + А 1п^2 + 4" 1П «}

2л/ \ л_х А₂ Лз

.откуда

2л/ (/ст — /ст)

(23-17)

— 1п — + — 1п — + •—- 1п —

?_п А_г л_г. Л₃ а_г

Для многослойной цилиндрической стенки, имеющей п слоев,

* Q 2я/ (/ст — /ст) (23-18)

( = 1 ^Лг "г

Вводя в уравнение теплового потока (23-18) эквивалентный коэф­фициент теплопроводности, получим

ф 2яЛ_вк (/ст — /ст) (23-19)

2 1п——

Величина эквивалентного, коэффициента теплопроводности для ци- линдрической стенки определяется так же, как и для плоской. Из срав- нения двух уравнений (23-18) и (23-19) имеем " •

"■ . (23-20)

1

2 Г ^|п di+i/di і = і ^Лі

Температуры между слоями находим из следующих уравнений:

^с'л = /с'т—г— In djdi,

(23-21)

C = 4i~t-7— \nd₃/d₂ и т. д. 2îià₂ /

§ 23-5. Теплопроводность через шаровую стенку

Постоянный тепловой поток направлен через шаровую стенку, причем источник теплоты находится внутри шара". Температура изме- няется только по направлению радиуса. Изотермные поверхности представляют собой концентрические шаровые поверхности. Темпера- тура внутренней поверхности ter, наружной tc_T; коэффициент тепло- проводности стенки К — величина постоянная. Внутренний радиус шара г,, наружный — г₂. - '

Тепловой поток, проходящий через шаровой слой радиусом г и тол­щиной dr, находим из уравнения Фурье:'

Q = —XF (dtldr) = — X4nr² (dtldr),

или ч_ .

dt = —■(Q/4nX)-(dr/-fⁱ).

Интегрируя последнее уравнение по г и г, а постоянную интегриро­вания определяя из граничных условий при г — r_xt = ter, при г = fi t — tit, получаем

Q__ 4пХ (ter— tar) 2nk (tçr— ter) mo nm

(l/z-i-l/z-a) ~ Wdi-Udt)

§ 23-6. Теплопроводность тел произвольной формы

Из рассмотрения предыдущих параграфов следует, что для каждой Сформы тела существует определенное уравнение теплопроводности Щи для тел неправильной формы их применять не рекомендуется. Г* Количество теплоты, проходящее через стенки тел неправильной «формы (например, стенка не плоская, а ограничена кривыми поверх­ностями, или когда поверхность не цилиндрическая, а овальная), .'можно определить по следующему уравнению: •

■ _# ' <г = -^/^гс_р(/«-/с'т), (23-23)

I Где /^р — поверхность, которую находят в зависимости от формы тела, у Для плоской и цилиндрической стенок при ^2^1 < 2 (где ^_г— внут-«ренняяя поверхность тела; И₂ — внешняя поверхность тела)

^_ср = (^ + Л)/2.' (23-24) »" Для цилиндрической стенки при zy.Fi > 2

■ ^ср = (^ - да.З 1_б /у/ч, '(23-25) Для шаровой стенки

• Р^ = УЩ- (23-26)

Все вышеприведенные формулы применяют для приближенных рас­четов.

Расчет теплопроводности сложных объектов обычно производят раздельно по элементам, но такой способ имеет лишь приближенный характер. Надежные данные по теплопроводности сложных объектов можно получить только путем непосредственного эксперимента. . Если температура стенки в отдельных местах различна, то необхо­димо находить среднюю расчетную температуру всей стенки по форму­ле

С _ Р_г/₁ + Р₂/_г+ ... +Р_П/_П

^{5г °р /4+^2+ .., +^ " ' • - - *}

«где Т⁷,, И, /Л, — участки стенки, имеющие постоянную температуру; К> Л> •••■> к — температуры отдельных участков.

к Контрольные вопросы и примеры к XXIII главе

к'

£ 1. Написать*дифференциальное уравнение теплопроводности одно- , |слойной плоской стенки.

| 2. Вывод уравнения теплопроводности через однослойную плоскую утенку. ■

| 3. По какому закону изменяется температура в однослойной пло­ской стенке? -•

.4. От каких величин зависит тепловой поток, передаваемый тепло­проводностью через однослойную плоскую стенку?

" 5. Теплопроводность многослойной плоской, стенки — вывод урав-ЕЙния.

6. Что называется эквивалентным коэффициентом теплопровод- ₍ ности?

7. Как определяется температура между слоями в многослойной плоской стенке?

8. Уравнение температурного поля для цилиндрической стенки.

9. Теплопроводность через однослойную цилиндрическую стенку — вывод уравнения.

10. Каков закон изменения температуры в цилиндрической стенке?

10. От каких величин зависит теплопроводность однослойной ци­линдрической стенки? '

10. Вывод уравнения теплопроводности через многослойную ци­линдрическую стенку.

11. Эквивалентный коэффициент теплопроводности цилиндрической стенки.

12. Как определяются температуры между слоями в многослойной, цилиндрической стенке?

15. Теплопроводность шаровой стенки — вывод уравнения.

Пример 23-1. Определить тепловой поток, проходящий через кир­пичную стенку высотой 5 м, шириной 4 м и толщиной 250 мм. Темпера­туры поверхностей стены /ст = 27° С и /ст = —23° С. Коэффициент теплопроводности красного кирпича X — 0,77 вт/м-град.

Величину теплового потока определяем из уравнения (23-3):

С} = А/г(^_т_£)= Н?. 5-4(27—(—23)) = 3080 вот.

Пример 23-2. Определить разность температур на наружной и внут­ренней поверхностях стальной стенки парового котла, работающего при манометрическом давлении 19 бар. Толщина стенки котла состав­ляет 20 мм; температура воды, поступающей в котел, 46° С. С1 ж² по­верхности нагрева снимается 25 кг/ч сухого насыщенного пара. Коэф­фициент теплопроводности стали К = 50 вт/(м-град). Барометрическое давление 750.мм рт. ст. Стенку котла считаем плоской.

Абсолютное давление в котле

750

Рабс = Р_м + Рб=¹⁹+— = 20 бар.

Энтальпия сухого насыщенного пара, при абсолютном давлении в 20 бар равна Г = 2799,2 кдж/кг.

Энтальпия поступающей воды при 46° С, равная*/" = 192 кдж/кг, берется по табл. Г или II приложения.

Плотность теплового^: потока " _я

ц = (2799,2 — 192)25 = 65 200 кдж (Р-ч).

Величину температурного напора Дг найдем из основного уравне­ния теплопроводности:

_А, б 0,02'-65 200 000 ^-_ог,

Дг= —о= . «7-С.

X ⁷ 50-3600

•Пример 23-3. Вычислить плотность теплового потока, проходя­щего через стенку неэкранированной топочной' камеры парового котла _*щиной 625 мм. Стенка состоит из трёх слоев: одного шамотного Ърпича толщиной 250 мм, изоляционной прослойки из мелкого шлака олщииой 125 мм и одного красного кирпича толщиной 250 мм. Темпе­ратура на внутренней поверхности топочной камеры /_с'_т = 1527° С, а на наружной /от = 47^р С. Коэффициенты теплопроводности: шамот­ного кирпича Я,_г = 1,28 вт/(м-град), изоляционной прослойки Я.₂ = 5 = .0,15 вт/(м-град) и красного кирпича к₃ = 0,8 вт/(м-град). -Как изменится тепловой поток в стенке, если изоляционную прослойку "заменить красным кирпичом? Определить экономию в процентах от ^применения изоляционной прослойки. Кроме того, определить темпе­ратуры между слоями.

Плотность теплового потока для многослойной плоской стенки оп­ределяем по уравнению (23-8):

<Э (/ст-1527-47 _

а--

^р А. А. А 2^ ^0,125 °<²⁵

1480

^{+ "Я7- + "К7 1,28 + 0,15 + 0,8}

1100 вт/м².

1,341

¹ При замене изоляционной прослойки красным кирпичом

_ц = 0)р = (1527 — 47)/(0,25/1,28 + 0,375/0,8) 1480/0,663 => ■

= 2230 вт'мК

Экономия в процентах от применения изоляционной прослойки (2230-ПОР)-.100" __{50 7}р/_о 2230 ' °*

Температуру между шамотным кирпичом и изоляционной прослой* 'кой определяем, по формуле (23-12):

/^, = ^_2в1= 1527- ¹-^^=1312*С. ⁰ X, - , ' 1,28

Температура между изоляционной прослойкой и красным кирпи­чом

, • & ^ = 1312- ¹¹⁰°-°-¹²⁵ ₌ 400^С.

°- ^м Х₂ 0,15

* Температура между шамотным и красным кирпичом

/е_Л= 15 27 — ²²³⁰'⁰'²⁵= 109ГС. - 1,28

Как видно из расчета, изоляционная прослойка не только умень­шает тепловые потери, но и сохраняет кладку из красного кирпича. .'При температурах выше 900° С красный кирпич быстро разрушается.

Пример 23-4. Плоская стальная стенка с Х_х = 50 вт/(м-град) и тол­щиной 6_Х = 0,02 м изолирована ,от тепловых потерь слоем асбестового картона с %₂ = 0,15 вт/(м-град) толщиной б₂ =* 0,2 м и слоем пробки с 1₃ = 0,045 вт/(м-град) толщиной б₃ = 0,1 м. Определить, какой толщины необходимо взять слой пенобетона с к = 0,08 ' вт/(м-град) вместо асбеста и пробки, чтобы теплоизоляционные свойства стенки остались без изменения. Эквивалентный коэффициент теплопровод­ности для трехслойной плоской стенки определяем из уравнения (23-11):

_ 6,+ 6₂ + 6₃ '_ 0,02+0,2+0,1 ₌ ™~ б! б₂ б₃ ~~ 0,02 0,2 0,1 ^_

К ⁺ ^2 ⁺ 50 ⁺ 0,15 ⁺ 0,045

— °'³² =0,092 вт/(м-град).

■ 3,556

Для новой изоляции при одинаковых потерях эквивалентный коэф­фициент теплопроводности остается таким же, как и у трехслойной стенки, поэтому

/0,092 = (0,02 + х)/(0,02/50 + х/0,08), откуда х = 0,133 ж.

Пример 23-5. Стальная труба диаметром й_х1й_% = 200/220 мм с коэффициентом теплопроводности А., = 50 вт/(м-град) покрыта двух- слойной изоляцией,- Толщина первого слоя 6₂ = 50 мм с!₂ = = 0,2 вт/(м-град) и второго б₃ = 80 мм с Я.₃ = 0,1 втЦм-град). Темпе- ратура внутренней поверхности трубы /ст = 327" С и наружной поверхности изоляции /ст = 47° С. Определить потери теплоты через изоляцию с одного метра длины трубопровода и температуры на' гра- нице соприкосновения отдельных слоев,. . -

Из условия задачи следует, что = 6,2 м, й_г — 0,22 м, й₃ = 0,32 м и = 0,48 ж. - ■ ■

Согласно уравнению (23-17) получаем

<Э_ 2л (/ст— /ст) 41 — — : —

■/

■ — 1п ^/^ + — 1п (1₃/(1, +1 Аз 1п ^Л*₃ ^Л1 ■ А₂ ■

2-3,14(327-47) " ооо /

= г-} 1—¹ '- -_{ = 282 втім.

■2.3 ^—^ 0,22/0,2 + — 1_в 0,32/0,22+ — 1_§ '0,48/0,32 ) Температуру между слоями найдем по уравнению (23-21): /_ел = /ст ^1пЗД = 327—

2л Лі »

282-2,3 і_б2^2 ₌ 327г-0,087а* 327«С.'

2-3,1450 0,2

2яЛ2

_: 327 ²⁸² •^2,3 \в. ^ = 327—84 = 243° С.

2-3,14-0,2 0,22