Глава XXII

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

§ 22-1, Температурное поле

Теплопроводность представляет собой процесс распространения энергии между частицами тела, находящимися друг с другом в сопри­косновении и имеющими различные температуры.

Рассмотрим нагрев какого-либо однородного и изотропного тела (в дальнейшем будем рассматривать только такие тела). Изотропным называют тело, обладающее одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При нагреве такого тела температура его в раз­личных точках изменяется во времени и теплота распространяется от мест с более высокой температурой к местам с более низкой темпера­турой. Из этого следует, что в общем случае процесс передачи теплоты теплопроводностью в твердом теле сопровождается изменением темпе-. ратуры t как в пространстве, так и во времени:

* = /(*, у, г, т), (22-1)

где х, у, г — координаты точки; т — время.

Эта функция определяет температурное поле в рассматриваемом теле. В математической физике температурным полем называют со­вокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства, в котором протекает процесс.

Если температура тела есть функция координат и времени, то тем­пературное поле будет нестационарным, т. е. зависящим от времени:

t = f[x, у, z, т); dt/dx ф 0. (22-2)

Такое поле отвечает неустановившемуся тепловому режиму тепло­проводности.

Если температура тела есть функция только координат и не изме­няется с течением времени, то температурное поле тела будет ста­ционарным:

' - t = f(x,y,z); dt/дх = 0, (22-3)

Уравнение двухмерного температурного поля для режима: стационарного

t = f(x, у); dt/дг = dt/дх = 0;

нестационарного

t = f[x, у, х); dt/дг = 0; dt/дх Ф 0.

На практике встречаются задачи, когда Температура тела является функцией одной координаты, тогда уравнение одномерного темпера­турного поля для режима:

стационарного

t = / (х); dt/dx = 0и dt/dy = dt/дг = G;

нестационарного _

t = f(x); dt/дх Ф О и dtldy = dlldz = 0. (22-4)

Одномерной, например, является задача о переносе теплоты в стен­ке, у которой длину и ширину можно считать бесконечно большими по сравнению с толщиной.

§ 22-2. Градиент температуры

Если соединить точки тела с.одинаковой температурой,то получим поверхность равных температур, называемую изотермной. Изотермные поверхности между собой никогда не пересекаются. Они либо замы­каются на себя, либо кончаются на границах тела. .

Рассмотрим две близкие изотермные поверхности с температурами t и t + А( (рис. 22-1). Перемещаясь из какой-либо точки А, можно

п
At

обнаружить, что интенсивность изменения
- температуры по различным направлениям не-
одинакова. Если перемещаться по изотерм-
ной поверхности, то изменения температуры
не обнаружим. Если же перемещаться вдоль
какого-либо направления S, то будет наблю-
р_||С 22-1 даться изменение температуры. Наибольшую

разность температур на единицу длины будем наблюдать в направлении нормали к изотермной поверхности. Предел отношения изменения температуры At к расстоянию между изотермами по нормали An, когда An стремится к нулю, называют градиентом температуры, имеющим размерность [град!м\

grad t = lim | AtlAn |_д„^₀ = dt/дп. ' : (22-5)

Ррадиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изо­термной поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный частной производной от температуры по этому направлению. За положительное направление градиента' принимается направление возрастания температур.

§ 22-3. Основной закон теплопроводности

Для распространения теплоты в любом теле или пространстве не­обходимо-наличие разности температур в различных точках тела. Это условие относится и к передаче теплоты'теплопроводностью, при кото­рой градиент температуры в различных точках тела не должен быть равен нулю. *

Связь между количеством теплоты dQ в дж, проходящим через эле- ментарную площадку dF, расположенную на изотермной поверхности, за промежуток времени dx и градиентом температуры устанавливается гипотезой Фурье, согласно которой . .

dQ = —MF grad / dx = —kdFdx (dtldn). (22-6)

Минус в правой части показывает, что в направлении теплового потока температура убывает и величина grad / является величиной от­рицательной. Множитель пропорциональности X называют коэффи­циентом теплопроводности. Уравнение (22-6) носит-название основ­ного уравнения теплопроводности, или закона Фурье, Справедливость гипотезы Фурье подтверждается опытами.

Количество теплоты, проходящей через единицу изотермной по- верхности в единицу времени, называют плотностью теплового пото- ка, или вектором плотности теплового потока, имеющим размерность (агп/м²] - , -

д = —йО_1{йРйх), или д — —X [дИдп). (22-7)

Вектор плотности теплового потока направлен по нормали к изо­термной поверхности в сторону убывания температуры. Векторы <? и grad / лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны.

Количество теплоты, прошедшей в единицу времени через произ­вольную поверхность F, называют тепловым потоком, имеющим раз­мерность \вт]

0. = \до1Р=—\хйР{дЦдп): (22-8)'

Количество теплоты в дж, прошедшее за время т через произволь­ную поверхность У⁷ конечных" размеров, определяют из уравнения

С}=—Цх<1Р<1т(&/дп). (22-9)

о р '

' Таким образом, для определения количества теплоты, проходящей через какую-либо произвольную поверхность твердого тела, необходи­мо знать температурное поле внутри рассматриваемого тела. Нахожде­ние температурного поля и составляет основную задачу аналитической теории теплопроводности. , _%

§ 22-4. Коэффициент теплопроводности

. Коэффициент теплопроводности X есть физический параметр ве­щества, характеризующий его способность проводить теплоту. Размер­ность коэффициента теплопроводности определяется . из уравнения (22-8): .

Р(д1/дп)

Размерность X ——- = вт/(м-град).

м² ■град/м

Числовое значение коэффициента теплопроводности определяет количество теплоты, проходящей через единицу изотермной поверх­ности, в единицу времени, при условии, что градиент температуры равен единице ^г^ I — 1). Коэффициент теплопроводности зависит от дав­ления и температуры. Для большинства веществ коэффициенты тепло­проводности определяются опытным путем и для технических расчетов берутся из справочных таблиц.

Как показывают опыты, для многих материалов зависимость.коэф­фициента теплопроводности от температуры может быть принята ли­нейной: .

Ь = М1 + 6 (* —/₀)1,

где ^₀ — коэффициент теплопроводности при температуре к, °С; I — температура, °С; Ь — температурный коэффициент, определяемый опытным путем.

Лучшими проводниками теплоты являются металлы, у которых X изменяется от 3 до 458 вт/(м-град). Коэффициенты теплопроводно-дти чистых металлов, за исключением алюминия, с возрастанием тем­пературы убывают. Теплоту в металлах переносят главным образом свободные электроны. Самым • теплопроводным металлом является чистое серебро [X = 458 вт/(м-град)].

Коэффициенты теплопроводности теплоизоляционных и строитель-пых материалов, имеющих пористую структуру, при повышении тем­пературы возрастают_/по линейному закону и изменяются в пределах от 0,02 до 3,0 вт/(м-град). Значительное влияние на коэффициенты теплопроводности пористых материалов оказывают газы,'' заполняю­щие поры и обладающие весьма малыми коэффициентами теплопровод­ности по сравнению с X твердых компонентов. Увеличение X пористых, материалов при повышении температуры объясняется значительным . возрастанием лучистого теплообмена между поверхностями твердого «скелета» пор через разделяющие их воздушные ячейки. Роль конвек­ции в росте X возрастает с увеличением размеров воздушных включений в материал. Поэтому эффективный коэффициент теплопроводности пористых тел имеет сложную природу и является условной величиной. Эта условная величина имеет смысл коэффициента теплопроводности некоторого однородного тела, через которое при одинаковой форме, размерах и температуре на границах проходит то же количество тепло­ты, что и через данное пористое тело.

Большое влияние на X оказывает влажность вещества.Опыты пока- зывают, что с увеличением влажности материала коэффициент тепло- проводности значительно возрастает. Кроме того, чем выше объемная плотность материала, тем меньше он имеет пор и тем выше его коэф- фициент теплопроводности. - .

Коэффициенты теплопроводности "большинства капельных жидко-' стей с повышением температуры убывают; их значения находятся в пределах от 0,08 до 0,65 вт/(м-град). Вода является исключением: с увеличением температуры от 0° С до 127° С коэффициент теплопро­водности повышается, а при дальнейшем возрастании температуры уменьшается. От давления X капельных жидкостей практически не зависит. .

Коэффициенты теплопроводности газов при повышении температу­ры возрастают. Опытные исследования показывают, что X газов из­меняется от 0,005 до 0,6вт/'(м-град). От давления коэффициенты тепло­проводности газов практически не зависят,-

Числовые значения коэффициентов теплопроводности и темпера­туропроводности при различных плотностях, температурах и тепло-емкостях для расчетов берутся из справочных таблиц (табл. 22А).

§ 22-5. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача теплоты теп­лопроводностью, при установлении зависимости между- величинами

аа₃

и—

удобно воспользоваться методами математической физики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрез- ка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теп- лоты теплопроводностью, устанавливается дифференциальным урав- нением теплопроводности. В пределах выбранного элементарного объема и бесконечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих про- цесс. - ' При выводе дифференциального уравнения теплопроводности при- нимаются следующие допущения: внутренние источники теплоты*от- сутствуют; тело однородно и изотропно; используется закон сохране- ния энергии," который для данного случая _ьг - /М} формулируется как «разность между колнче- ^' ствОм теплоты, вошедшей вследствие тепло- ^ . проводности в элементарный параллелепипед за время йх и вышедшей из него за то же вре- мя, расходуется на изменение внутренней ^ " .г. энергии рассматриваемого элементарного

йх

¹ объема».

с1й_г Выделим в теле элементарный параллеле-

пипед с ребрами йх, йу, dz.(рж. 22-2). Тем- " Рис 22-2 пературы граней различны, поэтому через па-

раллелепипед проходит теплота в направлении осей х, у \\г.

Через площадку йх-йу за время о!т,. согласно уравнению Фурье, .проходит следующее количество теплоты:- '

dQ_гl = —\dx-dydx (дИдг) ■•

^гас1 ( взят в виде частной производной, так как предполагается зави­симость температуры не только от х, но и от других координат и вре­мени).

Через противоположную грань на расстоянии dz отводится коли­чество теплоты, определяемое из выражения

dQ_zi = — К dx ■ dц dx — (/ 4- — йг

. ^{г У} дг \ ^п дг

^где ' Тг — температура второй грани, а величина — dz опреде­ляет изменение температуры в направлении г. ... Последнее уравнение можно представить в другом виде:

dQ_z2 = — Ых ■ dydx \dtldz) — Ых ■ dydzdi -фН/дг²).

Приращение внутренней энергии в параллелепипеде в направле­нии оси г равно

dQ_z = dQ_2l + dQ_z2 '= —Ых-й)^т: (дМдг) +

.+ Ых^уйх (д11дг):-\- Ыx^dy^dz■dx (дЧ/дг²),

или после сокращения

_ й(}_г = Мх-йу-йгйт (д²Ийг²). .

. Приращение внутренней энергии в параллелепипеде в направле­нии оси у выразится аналогичным уравнением:

йС1_у = Мх-йу-йгйт (дРЦду²),

а по оси х:

й0,_х?= Мх-йу-йгйт {т/дх²). _к Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде равно . dQ = йQ_x + йQ_y + йQ_z = Mx■йy.йгdт(J£₂ + ^д^ + ^д₁£y . (а)

С другой стороны, согласно закону сохранения энергии,

й0_ — йх-йу-йгрс (дИдт)йт, (б)

где йх - йу • йг — объем параллелепипеда; йх • йу * игр масс-а па­раллелепипеда; Ь — массовая теплоемкость; (д11дт)йт — изменение температуры во времени.

Левые части уравнений (а) и (б) равны, поэтому

Хйх-йу-йгйт( —+ — +-—) = йх-йу-йгрс ~йт,

или

= А/ Ё1 л. £!1 I $11 \ дт ср \дх* ду* дг*) '

(а² а² а^а \ Величину у— +^ + ^называют оператором Лапласаи обыч­но обозначают сокращенно V² (знак V читается «набла»); величину — называют коэффициентом температуропроводности и обозначают

буквой а. При указанных обозначениях дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид.'

дИдх = аЧЧ. (22-10)

Уравнение (22-10) называется дифференциальным уравнением тепло­проводности, или уравнением Фурье, для трехмерного нестационар-, ного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью, и устанавливает связь между временным и пространственным измене­ниями температуры в любой точке поля.

П В. В. Нащокин 321

Коэффициент температуропроводности а =' ^ является физи­ческим параметром вещества и имеет единицу- измерения м^г1сек. В не­стационарных тепловых процессах а характеризует скорость измене­ния температуры.

Из уравнения (22-10) следует, что изменение температуры во вре­мени дИд% для любой точки тела пропорционально величине а. Поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличится температура у того тела, которое имеет больший коэффициент температуропроводности. Газы имеют малый, а металлы большой коэффициент температуропровод­ности. Значения а для некоторых материалов приводятся в табл. 22-1 ^

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источниками теп­лоты внутри тела имеет вид

(22-11)

где -<7_В — количество- выделяемой теплоты в единице объема вещества в единицу времени, вт/м³; с—массовая теплоемкость тела, дж/(кг-град); р — плотность, кг/м³.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах с внутренним источником теплоты

(22-12)

где г — радиус-вектор в цилиндрической системе координат; ср — угол.

§ 22-6. Краевые условия

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явле­ния передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле в начальный момент времени или на­чальные условия. Кроме того, должны быть известны: геометрическая форма и размеры тела, физические параметры среды и тела и граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие излучаемого тела с окружающей средой. Все эти частные особенностии совместно с-дифференциальным уравне­нием дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности, или краевыми условиями.

Обычно начальные условия распределения температуры задаются для момента времени т = 0. | »

Граничные условия могут быть заданы тремя способами.

Граничное условие первого рода задается рас­пределением температуры на поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие второго рода задается плот­ностью'теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени,

р' .Граничное условие третьего рода задается тем-Кпературой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между по-| верхностью тела и окружающей средой.

£' Законы конвективного теплообмена между поверхностью тела и Т окружающей средой отличаются большой сложностью и будут рас-смотрены в специальном разделе курса. В основу изучения конвектив­ного теплообмена положен закон Ньютона—Рихмана

• * - <? = «('*-'«). »' (22-13)

где<7 — плотность теплового потока, вт/м²; t_m — температура окружаю­щей среды (жидкости), ⁰ С; 4_Т — температура поверхности тела (стен-ки), ° С; а — коэффициент пропорциональности, называемый коэф­фициентом теплоотдачи. вт/(м²-град).

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность тепло­обмена между поверхностью тела и окружающей средой.»Он численно равен количеству теплоты, отдаваемой (или воспринимаемой) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между по­верхностью тела и окружающей средой в Г. Коэффициент теплоотда­чи зависит от многих факторов, но при решении задач теплопровод­ности твердого тела его принимают в большинстве случаев величиной постоянной.

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отда­ваемое единицей поверхности тела окружающей среде в единицу вре­мени вследствие теплоотдачи, Должно быть равно теплоте, которая путем теплопроводности подводится к единице поверхности в единицу времени со стороны внутренних частей тела, т. е.

« (4т -• 'ж) = ~^а (д(/дп)_вов, (22-14)

где (д(/дп)_ПОГ, — проекция градиента температуры на направление нормали к площадке йР; индекс «пов» показывает, что температурный градиент относится к поверхности тела (при п = 0).

Равенство (22-14) является математической формулировкой гра­ничного условия третьего рода; оно является действительным для каждого момента времени.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при за­данных условиях однозначности позволяет определить температурное поле во всем объеме тела для любого момента времени или найти ■функцию

t = Цх, у, г, г).