44. Пусть задана матрица нечеткого отношения на множестве :

	0.3	0.2	0.1	0.6
	0	0.5	0.4	0.1
	0.5	0.4	0.6	0.2
	0.3	0.7	0.5	0.1

Построить матрицы обычного отношения, являющегося множеством уровня 0.2, 0.4, 0.8, 1.0 этого отношения. Проверить транзитивность нечеткого отношения и определить иные свойства отношения.

45. Вычислить матрицу максиминного произведения отношений:

, .

46. Построить матрацы нечетких отношений «примерно равны», «много больше», «сильно различаться по величине», выбрав числовые или дискретные множества , состоящие из 6 элементов для каждого отношения. Описать свойства полученных матриц.

47. Проверить транзитивность нечеткого отношения с матрицей вида:

	0.2	1	0.4	0.4
	0	0.6	0.3	0
	0	1	0.3	0
	0.1	1	1	0.1

48. Пусть заданы матрицы нечетких отношений предпочтения на множестве :

а).  ,

б).  ,

в).  .

Выбрать альтернативу с наибольшей степенью недоминируемости.

49. Пусть множество альтернатив состоит из . Матрица нечеткого отношения предпочтения имеет вид

.

Выделить четко недоминируемую альтернативу.

50. Пусть и на заданы три одинаково важных отношения предпочтения:

, , .

Выбрать наиболее предпочтительную альтернативу, имеющую максимальную степень недоминируемости. Предложить другие способы выбора лучшей альтернативы.

Решение.

1. Строим отношение :

и находим подмножество недоминируемых альтернатив:

.

2. Строим отношение :

и находим подмножество недоминируемых альтернатив:

.

3. Строим результирующее отношение недоминируемых как пересечение отношений , :

.

Следовательно, рациональным следует считать выбор альтернативы , имеющую максимальную степень недоминируемости в смысле отношений , .

51. Решить задачу 50, предполагая, что первое отношение в два раза важнее второго, второе в три раза важнее третьего.

52. Решить задачу 50, предполагая, что первое отношение в три раза важнее второго, а второе и третье отношения одинаково важны.

53. Пусть и на заданы три отношения предпочтения:

, , .

Выбрать наиболее предпочтительную альтернативу, имеющую максимальную степень недоминируемости, предполагая разную важность отношений. Придумать содержательную интерпретацию задачи.

54. В доменной печи идет плавка шихты массой 3500 т. Через фурмы в печь порциями по 10 куб.м вдувается сжатый воздух (в воздухе 20% кислорода). Требуется достичь содержания кислорода в готовом чугуне приблизительно 0,01% (коэффициент усвоения кислорода чугуном 10%). По рекомендациям технолога количество вдуваемого воздуха должно быть не меньше 8000 куб.м, а по рекомендациям экономистов количество порций сжатого воздуха должно быть много меньше 3000 куб.м (из-за ограниченной мощности компрессорной станции). 0пределить оптимальное количество вдуваемых порций, формализовав задачу как задачу нечеткого математического программирования.

55. Определить оптимальное количество кислорода в дутье, формализовав три инструкции: «побольше кислорода», «кислорода должно быть заметно больше 21%», «кислорода должно быть значительно меньше 29%».

56. Определить состав доменного шлака по следующей информации: основность около I, температура плавления была пониженная, вязкость была небольшой, СаО/SiO₂ и SiO₂/Al₂O₃ приблизительно изменялись от 1.05 до 1.45 и от 2 до 4.5. Формализовать задачу как нечеткую многокритериальную задачу, и предложить различные методы ее решения, использующие разные принципы оптимальности.

57. Представить содержательное описание прикладных задач и свести их к задаче нечеткого математического программирования, нечеткой задаче многокритериалъной оптимизации, нечеткой задаче принятия решений.

58. В задаче принятия решения заданы семь альтернатив, восемь вариантов состояний среды. Матрица полезности представлена в таблице.

Альтернатива	Состояния внешней среды
	10	50	30	40	90	60	70	20
	20	90	70	60	80	40	30	10
	50	40	70	60	30	10	0	20
	50	90	90	40	20	30	80	50
	100	40	90	10	30	80	0	50
	40	90	0	80	100	20	20	30
	60	0	10	90	20	30	50	40

Предполагая, что известны оценки возможности появления различных состояний среды , найти лучшие альтернативы, используя разные модели и критерии. Сравнить полученные решения и дать рекомендации по применению моделей и критериев.