7. Применение общего уравнения динамики для силового расчета механизмов (одноподвижных и многоподвижных). Пример с рычажным механизмом.

Для любой системы материальных точек с идеальными связями сумма работ всех активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении в любой фиксированный момент времени равна нулю. Это положение записывается в аналитической форме:

(4.25)

и называется уравнением Даламбера-Лагранжа или общим уравнением динамики. В уравнении (4.25) и – активная сила и сила инерции к-й материальной точки, – ее возможное перемещение, т.е. любое бесконечно малое перемещение, совместимое с наложенными на систему связями в данный фиксированный момент времени (в отличие от действительного малого перемещения, соответствующего бесконечно малому приращению времени t); М – число материальных точек в системе.

Р ассмотрим звено механизма, являющееся абсолютно твердым телом. Введем систему координат 0хyz, связанную с этим телом (рис.4.10). Для произвольной точки звена имеем

, (4.26)

где – возможное перемещение полюса 0, – вектор бесконечно малого поворота, – радиус-вектор к-й точки. Подставив (4.26) в (4.25), находим

(4.27)

Здесь и – главные векторы, а и – главные моменты активных сил и сил инерции звенa. Складывая выражения (4.27) для всех подвижных звеньев, приводим уравнение (4.25) для механизма с жесткими звеньями и идеальными кинематическими парами к следующей форме

(4.28)

где N – число подвижных звеньев. Необходимо отметить, что каждое из выражений (4.27) в отдельности нулю не равно, поскольку не равна нулю работа сил реакций, действующих на каждое отдельное звено.

Если механизм имеет w степеней свободы и q₁,…,q_w – его обобщенные координаты, то

(4.29)

Подставляя (4.29) в (4.28) и используя независимость вариаций обобщенных координат q_S, получаем следующую систему уравнений:

. (4.30)

Отметим, что выражение следует понимать не как частную производную от функции положения _i (q₁, …, q_w ), поскольку вектор угла поворота в общем случае вообще не существует как функция положения, а как отношение бесконечно малого угла поворота к бесконечно малому парциальному возможному перемещению q_S. Выражение может рассматриваться также как отношение парциальной угловой скорости к скорости при = 0 для всех ks. Производная является обычной частной производной от функции положения r_0i( q₁, …, q_w) по координате q_S.

Для механизма с одной степенью подвижности система (4.30) сводится к одному уравнению

(4.31)

Поскольку в этом случае , где – скорость точки 0_i, уравнение (4.31) записывается также в форме

(4.32)

Отсюда следует, что сумма возможных мощностей всех активных сил и сил инерции в любой момент времени равна нулю для механизма с одной степенью подвижности при идеальных кинематических парах.

Уравнение Даламбера-Лагранжа в форме (4.28) удобно использовать для определения обобщенных движущих сил. Учитывая, что работа движущей силы Q_S на возможном перемещении q_S равна Q_Sq_S , и выделяя обобщенные движущие силы из прочих активных сил, имеем

(4.33)

где – главный вектор всех активных сил, приложенных к i–му звену, кроме движущих, а – главный момент этих сил. Из (4.33) получаем уравнения, аналогичные (4.30):

. (4.34)

Эти уравнения могут быть непосредственно использованы для определения обобщенных движущих сил Q_S. Отметим, что они остаются в силе и для механизмов с любым числом избыточных идеальных связей. Для механизма с одной степенью подвижности из (4.31) находим:

(4.35)

Рассмотрим в качестве примера задачу об определении движущей силы для рычажного механизма, показанного на рис.4.4. Поскольку в плоском механизме векторы возможных перемещений всех точек параллельны плоскости движения, а векторы малых поворотов звеньев перпендикулярны ей, для составления уравнений Даламбера-Лагранжа достаточно определить компоненты активных сил и сил инерции, лежащие в плоскости движения, и компоненты моментов, ей перпендикулярные. Остальные компоненты сил и моментов не совершают работы на возможном перемещении плоского механизма, а следовательно, и не влияют на величины движущих сил.

Уравнение Даламбера-Лагранжа для механизма, показанного на рис.4.4, составляем в форме (4.35); получаем

(4.36)

где ₂ – абсолютный угол поворота звена 2.

О бщее уравнение динамики позволяет определить реакции всех освобождающих связей. Пусть, например, для механизма, показанного на рис.4.4, требуется определить реакцию R₀₃ в поступательной паре. Освободим связь, соответствующую этой реакции; для этого введем условную дополнительную степень подвижности, предположив, что направляющая ползуна может перемещаться в направлении оси y (рис.4.11). Тогда получим механизм с двумя степенями подвижности, в котором координата y_B будет играть роль второй входной координаты, а реакция R₀₃ станет обобщенной «движущей» силой, соответствующей этой координате.

Применим к этому механизму общее уравнение динамики в форме (4.34); для силы R₀₃ получим следующее выражение:

(4.37)

Отметим, что силы и моменты сил инерции, входящие в это выражение, должны определяться при заданных значениях и при y_B = 0, = 0, =0, т.е. они должны вычисляться для заданного движения исследуемого механизма без какого-либо учета дополнительной подвижности. Выражение (4.37) получено из условия равенства нулю работ активных сил и сил инерции на возможном перемещении, соответствующем q = 0, y_B  0. Легко видеть, что при таком перемещении работу будут совершать только силы, приложенные к звеньям 2 и 3. При этом из уравнения (4.37) получим

(4.38)

Из геометрических соображений (см. рис.4.11) можно получить, что

(4.39)

Подставив (4.39) в (4.38), находим величину R₀₃ в заданном положении. Изложенный метод можно применить для определения реакции любой освобождающей связи. Что же касается неосвобождающих связей, то соответствующие им реакции в принципе невозможно определить в процессе силового расчета механизма.