12. Трение в кинематических парах. Динамические модели вращательной пары в плоском механизме с учетом трения.
На рис.5.5 представлены динамические модели вращательных пар с трением при учете только компонент реакций, лежащих в плоскости, перпендикулярной оси шарнира.
a) б)
Рис. 5.5
В модели, показанной на рис.5.5, a, предполагается, что силы нормального взаимодействия сосредоточены в точке А, и в этой же точке приложена сила трения F. Проецируя силы трения на оси координат и определяя их моменты, находим
(5.14)
Здесь – угол между линией действия силы N и осью х, r – радиус цапфы. В формулах (5.14) учтено, что с изменением знака N меняется направление силы F, поскольку точка ее приложения из А смещается в А1.
В
выражение для момента
введен множитель
,
показывающий, что момент сил трения,
возникающих во вращательной паре,
направлен противоположно относительной
угловой скорости. Это выражение показывает
также, что линия действия равнодействующей
сил реакций во вращательной паре является
касательной к окружности с радиусом
и центром в точке О.
В
модели, показанной на рис.5.5, б,
предполагается, что нормальные силы
()
распределены по полуокружности
симметрично относительно точки А.
Обычно закон распределения выбирается
в форме
Силы трения также являются распределенными;
при этом
.
Проецируя силы на направление радиуса АО и перпендикулярное к нему, а также определяя момент сил относительно точки О, находим
Отсюда получаем
(5.15)
Сравнивая эти выражения с (5.14), замечаем, что они отличаются только увеличением момента сил трения в 4/ раз. Первая модель обычно используется при расчете кинематических пар со значительными зазорами (например, изношенных).
Сведем модели вращательных пар в табл. 5.2.
Таблица 5.2
|
Без трения |
Пара с зазором (изношенная) |
Приработавшаяся цапфа |
Rx |
Rx |
Ncosα – fNsinα |
Ncosα – fNsinα |
Ry |
Ry |
Nsinα + fNcosα |
Nsinα + fNcosα |
|
0 |
|
|
13. Трение в кинематических парах. Червячная пара.
На рис.5.6, а представлен фрагмент червяка.
П
редполагается,
что рабочие поверхности витка червяка
и зуба червячного колеса контактируют
в точке В
(или
В’),
т.е. условно принято, что в зацеплении
образуется пятиподвижная кинематическая
пара. В точке контакта возникают
нормальная сила
(или
)
и сила трения
(или
),
касательная к поверхности витка червяка
и направленная противоположно скорости
скольжения. Для дальнейших расчетов
удобно найти проекции этих сил на
направления, параллельные осям червяка
и червячного колеса. Введем систему
координат Bxyz,
где ось Bx
параллельна оси червячного колеса, ось
Вy
– оси червяка, а ось Bz
параллельна линии межосевого расстояния
(рис.5.6, б).
Если повернуть систему координат Bxyz
вокруг оси Bz
на угол β,
то есть до совмещения оси Вх
с линией действия силы трения
,
то получим систему координат Bx*y*z*.
В этом случае ось Bx*
будет направлена по касательной к
поверхности витка червяка в точке
контакта В.
Угол β
– угол подъема винтовой линии червяка
(при β
= 0 винтовая линия обращается в кольцевую).
Далее повернем новую систему координат
Вx*y*z*
вокруг оси Bx*
на угол α
до совмещения оси Вy*
с линией действия нормальной силы N.
Получим новую систему координат
Вx**y**z**,
в которой ось Вy**
направлена перпендикулярно поверхности
червяка в точке контакта В.
Угол α
– угол профиля исходного контура (при
α=0
виток червяка становится прямобочным).
Тогда несложно получить проекции сил
и
на оси системы координат Вxyz
(рис.5.7):
S
= N∙cosα∙cosβ
– F∙sinβ
=N(cosα∙cosβ
– f∙
signN∙sinβ∙sign
),
P = N∙cosα∙sinβ + F∙cosβ =N(cosα∙sinβ + f∙signN∙cosβ∙sign ), (5.16)
T = N∙sinα.
Здесь S – осевая сила на червяке (окружная сила на червячном колесе); P – окружная сила на червяке (осевая на червячном колесе); Т – радиальная сила.