Анализ линейных цепей гармонического тока с использованием комплексного преобразования (методом комплексных амплитуд)
Более универсальным методом анализа является применения комплексного преобразования, при котором гармонические сигналы одной и той же частоты преобразованием (3.4) заменяются комплексными числами (символами), не содержащими времени.
Так как комплексное преобразование является интегральным, то для него справедливы все свойства интегралов, например:
- постоянный множитель можно выносить за знак интеграла;
- интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.
Отсюда следует справедливость всех законов и теорем электрических цепей в ''комплексном виде'', а также справедливость рассмотренных в разделе 2 методов анализа. Например, запись основных законов ТЭЦ с использованием комплексных амплитуд сигналов имеет вид
,
(3.12)
,
(3.13)
.
(3.14)
Преобразуя, например, выражение (3.9) в комплексный вид, получаем
.
(3.15)
В выражении (3.15)
-
сопротивление ''элемента сопротивления''
на гармоническом токе;
-
комплексное (полное) сопротивление
элементов индуктивности при использовании
данного метода;
-
комплексное (полное) сопротивление
элемента емкости.
Так как принцип перевода гармонических сигналов в комплексный вид вполне очевиден, то комплексное преобразование (3.4) служит скорее для пояснения справедливости законов ТЭЦ при использовании комплексных амплитуд.
Конкретные методы анализа с использованием комплексных амплитуд сигналов. Принцип анализа
Методы анализа те же, что и для цепей постоянного тока (разд. 2), только в уравнениях применяются комплексные сопротивления и комплексные амплитуды сигналов. Некоторые особенности расчетов с комплексными числами, далее, поясняют типовые примеры.
Применение преобразований сопротивлений.
Как и для цепей постоянного тока, при последовательном соединении элементов суммируются сопротивления (комплексные), при параллельном - суммируются проводимости. В расчетах также может применяться преобразование ''звезда – треугольник''.
Пример
1. Определить
сопротивление эквивалентной схемы
(рис. 3.4) при известных параметрах
источника напряжения и элементов
,
,
,
,
.
Рис. 3.4
Решение.
,
,
.
Пример
2. Пересчитать
элементы последовательной эквивалентной
схемы в элементы параллельной эквивалентной
схемы при известной частоте сигнала
(рис. 3.5) и известных значениях элементов
последовательной схемы:
,
,
.
а) б)
Рис. 3.5
;
;
;
;
;
.
Пример 3. На рисунке 3.6 приведена комплексная схема замещения (величины указаны в комплексном виде). Для известных источников энергии и значений элементов определить ток через сопротивление методом контурных токов:
Рис. 3.6
,
,
,
,
,
.
Число
требуемых уравнений:
(выбираем два контура).
Уравнения по второму закону Кирхгофа
Подставляя значения, получаем
,
Из первого уравнения системы для заданных значений сразу же получается ответ:
,
,
.
Пример
4. Определить
ток через сопротивление (рис. 3.6) при тех
же параметрах методом узловых напряжений.
Число требуемых уравнений
= 1.
Составляем уравнение для узла (1):
.
После подстановки численных значений получаем:
, 
,
.
Анализ схемы (рис. 3.6) может быть также проведен методом эквивалентного генератора, методом наложения, методом преобразования источников энергии.
Пример 5. Определить комплексный коэффициент передачи по напряжению для схемы (3.7) при известных параметрах схемы:
,
,
.
Рис. 3.7
Комплексный коэффициент передачи по напряжению (коэффициент передачи) определяется выражением
;
или
.
При заданных параметрах:
.