2.3. Методы анализа, использующие законы Кирхгофа
В зависимости от того, какой закон Кирхгофа используется для анализа, эти методы получили название:
-метод токов ветвей;
-метод контурных токов;
-метод узловых напряжений (потенциалов).
Принцип применения этих методов основан на составлении системы алгебраических уравнений по эквивалентной схеме и решении системы.
В
методе токов ветвей неизвестными
величинами являются токи ветвей, а
уравнения системы составляются по двум
законам Кирхгофа. Число неизвестных
равно числу ветвей (
).
У эквивалентной схемы, содержащей
- ветвей,
- узлов число независимых уравнений
системы по первому закону Кирхгофа
равно (
-1),
а по второму [
-(
-1)].
После определения требуемого количества
уравнений, узлы и выбранные контуры
эквивалентной схемы нумеруются, а в
контурах, кроме того указывают направление
обхода. Обычно для анализа выбираются
''смежные'' контуры и направления обхода
указываются однотипно.
На эквивалентной схеме рис. 2.3 обозначены известные элементы и неизвестные токи.
(1)
+
+
1К 2К
(0)
Рис. 2.3
Система уравнений по методу токов ветвей:
(2.5)
В методе контурных токов уравнения системы составляются только по второму закону Кирхгофа, число уравнений [ -( -1)].
Этот
метод на самом деле является лишь
результатом промежуточного решения
системы типа (2.5), когда в процессе решения
вначале исключается ток общей для
контуров ветви
,
а оставшиеся два уравнения записываются
в виде:
(2.6)
Рекомендуется применять метод контурных токов вместо метода токов ветвей, а систему уравнений сразу записывать в виде (2.6).
Токам
ветвей в системе (2.6) придают смысл
''контурных'', т.е. совпадающим с указанными
на рис. 2.3 направлениями обходов контуров
и обозначают, обычно, двумя индексами:
.
Для
произвольной эквивалентной схемы (при
однотипных направлениях ''контурных''
токов), для которой необходимо составить
- уравнений, система уравнений имеет
вид:
2.7)
В
системе (2.7) уравнения записаны для
контуров, начиная с первого. Одинаковыми
цифрами (11-...
)
обозначены контурные ЭДС и сопротивления.
Разными цифрами (12-...
)
обозначены ''сопротивления связи'', т.е.
сопротивления ветвей, входящих в
соединение контура. При однотипных
направлениях ''контурных'' токов, знаки
''плюс'' в уравнениях - у собственных
токов контуров.
В
методе узловых
напряжений уравнения составляются
только по первому закону Кирхгофа, число
уравнений (
-1).
Один из узлов принимается за нулевой,
условно ''заземляется'' (
=0),
а напряжения остальных узлов являются
неизвестными для системы. На эквивалентной
схеме (рис. 2.4) указаны неизвестные
напряжения узлов.
Система уравнений по методу узловых напряжений для схемы (рис. 2.4) имеет вид:
(2.8)
(1)
(2)
(0)
Рис. 2.4
Верхнее уравнение относится к первому узлу, нижнее- ко второму. У источников энергии знаки ''плюс''- если источники направлены к узлу. Уравнения системы (2.8) получены по первому закону Кирхгофа, например, для узла (1):
;
;
;
.
Для произвольной эквивалентной схемы, для которой необходимо составить - уравнений, система уравнений имеет вид:
(2.9)
В
системе (2.9) одинаковыми цифрами обозначены
''узловые'' проводимости, т.е. сумма
проводимостей ветвей сходящихся к
соответствующему узлу. Разными цифрами
обозначены проводимости ''связи'', т.е.
проводимости ветвей, соединяющих узлы.
Величины
,
то есть алгебраические суммы источников
тока и величин
,
характеризуют ''узловые'' источники
энергии.
Методы, использующие законы Кирхгофа, целесообразно применять, если требуется определить все токи или напряжения эквивалентной схемы.
В эквивалентной схеме, анализируемой по методу контурных токов, могут быть ветви с источником тока, а в схеме, анализируемой по методу узловых напряжений, ветви, содержащие только идеальные ЭДС. Тогда число уравнений уменьшается на число таких ветвей, т.к. уменьшается количество неизвестных величин.