8.3. Анализ нелинейной цепи в режиме "малых" переменных сигналов

При "малых" входных переменных сигналах (в практических расчётах – до сотни милливольт) приближённо принимают, что ВАХ нелинейного радиоэлемента в "окрестности" рабочей точки - линейные. В этом случае для анализа используют постоянные параметры нелинейного радиоэлемента, которые называются дифференциальными или динамическими (аналогично расчёту по постоянному току). Например,

Для биполярных транзисторов параметры выражений (8.4), (8.5) обозначаются:

, (8.4)

, (8.5)

где , и могут быть определены по ВАХ или экспериментально для разных схем включения транзистора, либо взяты из справочных данных для схем "общий эмиттер".

Двухполюсные нелинейные радиоэлементы на эквивалентной схеме заменяются сопротивлением с номиналом, равным его дифференциальному сопротивлению, а четырёхполюсные – управляемыми источниками, введёнными в разделе1.

Предположим, что к электрической цепи (рис. 8.1, а) подключен источник гармонического напряжения с сопротивлением , напряжением e(t)=E_mcos(ω₁t). Эквивалентная схема для малых переменных сигналов приведена на рисунке 8.2, а, а на рисунке 8.2, б показана схема, преобразованная для удобства составления уравнений. При составлении эквивалентных схем учтено, что источник постоянного напряжения на эквивалентной схеме для переменных сигналов может считаться "коротким замыканием". На рисунке 8.2 обозначены комплексные амплитуды известного входного напряжения и неизвестных токов.

R_г R_э

R₁ h₁₁ h₂₂ R₂

R₂h₂₁ h₂₁ 

a) б)

Рис. 8.2

Схема (рис. 8.2) получена использованием преобразования "источник тока- источник напряжения". На схеме (рис 8.2 б)

Уравнения для контуров (рис 8.2 , б) запишутся:

Из уравнений, по известным параметрам определяются неизвестные токи. К этой методике анализа приводит и другой подход - использование теории линейных четырёхполюсников (разд. 9).

8.3. Аппроксимация вах нелинейных резистивных радиоэлементов

Графические или таблично заданные ВАХ нелинейных радиоэлементов при анализе в нелинейных режимах аппроксимируют (приближённо заменяют аналитическими выражениями). В теории цепей для аппроксимации используют следующие аналитические функции:

• полиномы

; (8.6)

• экспоненты

; (8.7)

• отношения полиномов

; (8.8)

• тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции,

например:

; (8.9)

• кусочно- линейные аппроксимирующие функции.

В выражениях (8.6) - (8.9) неизвестные коэффициенты определяются по координатам ВАХ. Выбор той или иной аппроксимирующей аналитической функции зависит от вида конкретной ВАХ, от требуемой точности аппроксимации, от удобства применения для последующего анализа.

Одной из наиболее простой и удобной для анализа является полиномиальная аппроксимация. В практических расчётах максимальную степень полинома ограничивают третьей – пятой. Неизвестные коэффициенты аппроксимации могут быть определены, например:

• методом выбранных точек;

• методом наименьших квадратов.

При использовании метода выбранных точек на ВАХ выбирается количество точек с известными координатами, равное числу неизвестных коэффициентов аппроксимирующей функции. Координаты точек поочерёдно подставляются в аппроксимирующую функцию, образуя систему уравнений, которая затем решается относительно неизвестных коэффициентов. Например, для полиномиальной аппроксимации ("n" точек) система уравнений имеет вид:

8.10)

При использовании метода наименьших квадратов, более точного, но и более трудоёмкого, число уравнений системы также равно числу неизвестных коэффициентов, однако число выбранных точек на ВАХ произвольное. Принцип метода следующий:

• записывается среднеквадратичная ошибка в виде суммы ошибок для выбранных точек между аппроксимирующей функцией (f_a) и значением вольтамперной характеристики (f_b), т.е.

,

где m - количество выбранных точек;

• ошибка минимизируется оптимизацией коэффициентов аппроксимирующей функции, т.е. приравниваются к нулю производные по коэффициентам

.

Например, для полиномиальной аппроксимации при трёх коэффициентах и двух выбранных точках система уравнений для определения коэффициентов принимает вид:

Пример 1. Считая, что ВАХ на рисунке 8.1, (б), относится к полупроводниковому диоду (схема рис. 8.3), определить методом выбранных точек коэффициентов аппроксимации при полиномиальной аппроксимации.

Рис 8.3

Решение. Ограничимся для аппроксимации полиномом второй степени

и, соответственно, выбираем три точки на вольтамперной характеристике с координатами: А(0.5; 0.025); В(0.71; 0.05); С(1; 0.1).

При подстановке координат точек система уравнений принимает вид

Решение системы: a₀ = 0, a₁ = 0, a₂ = 0.1 (мА/В²).

Аппроксимирующее выражение имеет вид

. (8.12)