7.1. Классический метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях
Метод основан на классическом способе решения линейных дифференциальных уравнений, при котором:
составляется дифференциальное уравнение с одной переменной;
записывается однородное дифференциальное уравнение, которое преобразуется в характеристическое (производные заменяются произвольной переменной, степени которой зависят от порядков производных);
определяются корни характеристического уравнения;
записывается ответ в виде суммы общего решения (экспонент) с неизвестными постоянными и частного решения уравнения;
по зависимым начальным условиям определяются неизвестные постоянные.
В теории цепей данный метод применяется нулевых и ненулевых начальных условий при включениях (выключениях) постоянного напряжения, гармонического напряжения, импульсов прямоугольной формы, а так же при переключениях элементов при перечисленных сигналах. При составлении дифференциальных уравнений по законам ТЭЦ применяют зависимости (1.1), (1.3), (1.5) для линейных элементов
Для индуктивности и ёмкости, как известно, можно использовать и обратные, т.е. интегральные соотношения.
Далее, в общем виде, показано применение классического метода анализа на типовых примерах.
Пример 1. Для эквивалентной схемы (рис 7.1) определить ток и напряжение при подключении постоянного источника энергии. Независимые условия нулевые.
L
+
E R
Рис. 7.1
Решение. В соответствии с общей методикой применения метода
Рисунок 7.2 качественно иллюстрирует подаваемый входной сигнал и получения зависимости.
E
u, i
t t
uL
t
Рис 7.2
Дополнительные замечания к примеру 2:
общее решение (экспонента) в ТЭЦ называют свободной составляющей, а частное - установившимся процессом. Установившийся процесс (решение при
)
определяется обычными схемотехническими
расчетами, зависящими от вида входного
сигнала;
величина
называется постоянной времени
цепи. Хотя в соответствии с расчетом
переходные процессы длятся бесконечно,
обычно за критерий их завершения
принимается время (3-6) ц
;нормированный переходной процесс при включении постоянного напряжения называется переходной характеристикой цепи (h(t)), а производная от этой величины называется импульсной характеристикой цепи (g(t)).
Для примера 1
Переходные и импульсные характеристики линейных цепей являются их важными временными характеристиками:
в анализе классическим методом можно упростить составление характеристического уравнения, для чего необходимо записать комплексное сопротивление схемы, например, для рассматриваемого примера
,
а затем заменить переменную ''j''
на переменную ''р''.
П
ример
2. Для эквивалентной схемы (рис 7.3) в общем
виде проанализировать переходной
процесс при подключении постоянного
источника энергии для напряжения на
емкости. Независимые начальные условия
нулевые.
Рис.7.3
Решение.
;
;
;
;
Поскольку две неизвестные постоянные, поэтому необходимо еще одно уравнение
.
Определяем переходной процесс из решения систем уравнений для известных начальных условий:
При добротности контура (рис 7.3) более 1/2 корни р1/2 становятся комплексными, а переходной процесс - колебательным.
Пример
3. Для эквивалентной схемы (рис 7.1) в общем
виде проанализировать переходной
процесс для тока в цепи при включении
гармонического источника напряжения
.
Независимые начальные условия - нулевые.
Решение. Так как характеристическое уравнение определяется схемой, используется часть решения примера 1:
.
Однако, установившийся ток для гармонического воздействия определяется методом комплексных амплитуд:
,
.
Используя начальные условия определяется неизвестная постоянная:
,
и записывается решение:
.
Пример 4. Для эквивалентной схемы (рис 7.1) в общем виде проанализировать переходной процесс для тока при подаче на вход прямоугольного импульса, амплитудой Е, длительностью tимп. Независимые начальные условия нулевые.
Решение. Возможны два варианта анализа для этого случая:
анализируется схема на включение постоянного напряжения, определяется решение для интервала времени
.
Затем
определяются новые начальные условия
для
и проводится анализ для ''выключения''
источника ''энергии'';импульс представляется в виде суммы положительного и отрицательного напряжения, причем отрицательное напряжение включается в момент времени t=tимп .
Ответ
на интервале
будет получен при воздействии одного
источника энергии, и при
-
от воздействия двух (принцип наложения).
Применим второй вариант и используем результаты решения примера 1.
Тогда для интервала времени решение имеет вид
Для интервала времени
где
.
Пример 5. Для эквивалентной схемы (рис 7.4) в общем виде проанализировать переходной процесс для тока в цепи. На входе подключен источник постоянного напряжения.
Рис 7.4
Решение.
Независимые начальные условия в цепи:
.
Однако, после переключения законы
коммутации противоречат законам цепей,
т.к. схема слишком идеализирована
(некорректная). Поэтому, применяя принцип
непрерывности потокосцепления, определяют
новые (общие) начальные условия:
,
.
Далее анализ проводится по рассмотренной методике. Могут быть использованы результаты анализа подобной схемы (рис 7.1):
,
,
,
.