4.2.4. Инерционное звено второго порядка

Это звено после окончания входного воздействия может возвращаться в исходное состояние монотонным или колебательным образом.

Физически звено содержит два элемента, способных накапливать энергию разного вида (например, кинетическую и потенциальную), а также один или несколько элементов рассеивающих энергию.

Дифференциальное уравнение звена –

Передаточная функция звена имеет следующий вид:

Характеристическое уравнение звена –

Корни характеристического уравнения –

Общее решение дифференциального уравнения, определяющее свободное движение, имеет вид

Характер переходного процесса зависит от вида корней, которые могут быть действительными или комплексными. Если T₁ / T₂ > 2 , то оба корня вещественные отрицательные.

Обозначим

где T₃ и T₄ – некоторые условные постоянные времени, причем Т₃ > Т₄ .

Звено в данном случае называется инерционным звеном второго порядка. В этом случае знаменатель передаточной функции можно разложить на два множителя:

Из уравнения следует, что в данном случае инерционное звено второго порядка можно представить в виде двух последовательно соединенных инерционных звеньев первого порядка.

Переходная характеристика может быть получена сложением общего решения с частным, соответствующим вынужденной составляющей при u(t)=1(t):

При подстановке нулевых начальных условий h(0) = 0; h′(0) = 0 находим

В результате

Если T₁ / T₂ = 2 , то уравнение имеет два одинаковых вещественных отрицательных корня.

Если T₁ / T₂ < 2, то оба корня комплексные:

где

Решение дифференциального уравнения в этом случае содержит гармонические составляющие и звено называют колебательным.

Дифференциальное уравнение колебательного звена записывают часто в виде

где Т = Т₂ – постоянная времени, характеризующая инерционность звена;

δ = Т₁/2Т₂ – коэффициент демпфирования, характеризующий скорость затухания свободных колебаний звена.

Переходная характеристика колебательного звена определяется уравнением

Из уравнения видно, что переходный процесс представляет собой затухающую синусоиду, амплитуда которой убывает по экспоненциальному закону.

Скорость затухания колебательных переходных процессов удобно оценивать логарифмическим декрементом затухания:

Степень затухания зависит от соотношения вещественной и мнимой составляющих корней характеристического уравнения. В свою очередь, это отношение определяется отношением постоянных времени Т₁ / Т₂ :

Чем больше Т₁ и меньше Т₂, тем больше степень затухания колебаний, поэтому для уменьшения колебательности АСР следует увеличивать Т₁ и уменьшать Т₂. При этом следует учесть, что чрезмерное увеличение отношения Т₁ / Т₂ приводит к затягиванию времени переходного процесса и увеличению времени регулирования.

Дифференциальное уравнение колебательного звена записывают часто в виде где Т = Т₂ – постоянная времени, характеризующая инерционность звена; δ = Т₁/2Т₂ – коэффициент демпфирования, характеризующий скорость затухания свободных колебаний звена.

Рис. 4.7. Инерционное звено второго порядка

Примером инерционного звена второго порядка является гидромеханическое устройство, изображенное на рисунке 4.7. Пружина является накопителем потенциальной энергии, а масса – накопителем кинетической энергии. Рассеивание энергии осуществляется за счет сил вязкостного трения.