10.2. Алгебраические критерии устойчивости аср
Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости. Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости АСР) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).
Из алгебраических критериев наиболее известными являются критерии Рауса и Гурвица.
Первый из них был сформулирован английским математиком Раусом в 1875 г. и представляет собой правило, определяющее ряд последовательных алгебраических операций, необходимых для решения задачи поверки устойчивости системы.
Второй критерий был сформулирован и доказан в 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем, который разработал свой критерий, решая чисто математическую задачу исследования устойчивости линейного дифференциального уравнения. Гурвиц обратился к этой задаче по просьбе словацкого ученого А. Стодолы, занимавшегося вопросами регулирования турбин.
Применительно к задачам АСР критерий Гурвица формулируется так: система автоматического регулирования, описываемая характеристическим уравнением a0pn + a1pn−1 + . . . + an = 0, устойчива, если при a0 > 0 положительны все определители Δ1, Δ2,…, Δn вида
|
, i
= 1,
2, 3,
…, n.
Если хотя бы один из определителей отрицателен, то система неустойчива.
Определитель Гурвица составляют следующим образом: в первой строке записываются коэффициенты уравнения с нечетными индексами, во второй – с четными; каждая последующая пара строк является повторением двух предыдущих, но сдвинутых на один столбец вправо. Места с отсутствующими коэффициентами заполняются нулями.
Так как последний столбец определителя Δn содержит всегда только один элемент an, отличный от нуля, то, согласно известному свойству определителей, Δn = an Δn−1.
Критерий Гурвица формируется следующим образом: для того чтобы АСР была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Δ1, Δ2 ,…, Δn, составленные по коэффициентам характеристического уравнения системы до n-го порядка включительно, были положительны, при этом должно быть α0 > 0. При соблюдении критерия положительности коэффициентов характеристического уравнения проверка последнего определителя Гурвица Δn необязательна, т. к. при Δn−1 > 0 всегда следует, что Δn > 0.
Для систем, характеристические уравнения которых имеют низкую степень (n ≤ 4), условия устойчивости можно записать в общей форме в виде простых буквенных неравенств.
Условия устойчивости для систем с характеристическим уравнениями 2, 3 и 4 степени по Гурвицу:
|
,
;
;
.
,
;
;
;
.
,
;
;
;
;
;
.Недостатки алгебраических критериев – малая наглядность, невозможность применения в случае наличия в структуре АСР звеньев с запаздыванием. Достоинство – удобны для реализации на ЭВМ. Их часто используют для определения влияния одного из параметров АСР на ее устойчивость. Так, равенство нулю главного определителя Δn = anΔn−1 = 0 говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо an = 0 – при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний определитель Δn−1 = 0 – при положительности всех остальных определителей система находится на границе колебательной устойчивости.
Параметры АСР определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно, изменение любого параметра KJ влияет на значение определителя Δn−1. Исследуя это влияние, можно найти, при каком значении KJ определитель Δn−1 станет равным нулю, а потом − отрицательным. Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой.