4.2.5. Дифференцирующие звенья

Дифференцирующие звенья подразделяются на идеальные (безынерционные) и реальные (инерционные). Выходная величина идеального дифференцирующего звена в каждый момент времени пропорциональна первой производной от входной величины:

;

Поскольку производная от единичной ступенчатой функции является дельта функцией δ(t), то переходная характеристика звена: .

Идеальное дифференцирующее звено технически реализовать невозможно. Передаточная функция реального дифференцирующего звена:

Реальное дифференцирующее звено можно представить как последовательное соединение идеального дифференцирующего звена и инерционного звена первого порядка.

Пример реального дифференцирующего звена приведен на рисунке 4.8. Входным воздействием является перемещение стакана демпфера, а выходным – перемещение поршня.

Рис. 4.8. Реальное дифференцирующее звено

4.2.6. Звено запаздывания

Звено запаздывания передает сигнал без искажения его формы, но с некоторым запаздыванием по времени: .

Переходная характеристика звена запаздывания: .

Передаточная функция звена –

.

В качестве примера рассмотрим движение жидкости по трубопроводу некоторой длины l при постоянной скорости c. Предположим, что в начальный момент времени t = t₀ на входе в трубопровод произошло изменение температуры жидкости на величину ΔT. Очевидно, что аналогичное изменение параметров на выходе трубопровода произойдет только через промежуток времени τ = l/c. Подобного рода запаздывание называется транспортным запаздыванием.

5. Частотные характеристики

Частотные характеристики описывают передаточные характеристики элементов и систем в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных входным гармоническим воздействием.

Пусть на вход звена (рис. 5.1) подается гармоническое воздействие с некоторой частотой: u(t) = u_msin(ωt).

После завершения переходных процессов на выходе звена установятся гармонические колебания с той же частотой ω, но с другой амплитудой y_m и со сдвигом Δt : y(t) = u_msin(ωt+φ), где φ=(Δt/Т)∙360 – фазовый сдвиг между входным и выходным сигналом в градусах.

W (j ω)

Рис. 5.1. Зависимость выходного сигнала от входного

Изменяя частоту ω от 0 до ∞ при фиксированной амплитуде входного сигнала, можно определить частотные характеристики звена.

Зависимость отношения амплитуд входного и выходного сигналов от частоты называют амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) и обозначают А(ω).

Зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты называют фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) и обозначают φ(ω).

Рис. 5.2. Примеры АЧХ и ФЧХ инерционного звена второго порядка. Из графиков (а) видно, что синусоидальные сигналы с частотами меньшими 50 рад/с, проходя систему, практически не изменяются по амплитуде и задерживаются по фазе на величину меньшую 40^о. Сигналы с частотой большей 75 рад/с уменьшаются по амплитуде более чем в десять раз, а по фазе задерживаются почти на 180^о. На рисунке (б) показаны частотные характеристики того же звена в логарифмическом масштабе. Усиление сигнала изменяется на 80 дБ – в 10 000 раз. Частота изменяется на пять декад – в 100 000 раз

При практических расчетах АСР используют частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат (рис. 5.2). Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют меньшую кривизну и поэтому могут быть приближенно заменены ломаными линиями, составленными из нескольких прямолинейных отрезков. Частоты, соответствующие точкам стыковки отрезков, называют сопрягающими и обозначают ω_С. Кроме того, в логарифмических координатах легко находить характеристики различных соединений звеньев, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.

За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду. Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением ω_i и его десятикратным значением 10 ω_i.

Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1.

В расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ): , ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – децибелах (дБ).

При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяется только для оси частот.

Амплитудную и фазовую частотные характеристики можно объединить в одну общую – амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Амплитудно-фазовая частотная характеристика звена

Амплитудно-фазовая частотная характеристика W(jω) – это функция комплексной переменной jω, модуль которой равен А(ω), а аргумент – φ(ω), Каждому фиксированному значению частоты ω_i соответствует комплексное число W(jω_i), которое на комплексной плоскости можно изобразить вектором, имеющим длину А(ω_i) и угол φ(ω_i). Отрицательные значения φ(ω), соответствующие отставанию выходного сигнала от входного, принято отсчитывать по часовой стрелке от положительной вещественной оси.

При изменении частоты от 0 до ∞ вектор W(jω) поворачивается вокруг начала координат, при этом одновременно изменяется длина вектора. Кривая, описываемая концом вектора, называется годографом.

Проекция вектора W(jω) на действительную и мнимую оси называют соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками и обозначают P(ω) и Q(ω).

Аналитическое выражение для АФЧХ конкретного звена можно получить из его передаточной функции путем подстановки p = jω.

АФЧХ W(jω), как любая комплексная величина, может быть представлена в алгебраической форме:

,

тригонометрической форме:

или показательной форме:

.

Отсюда следует:

,

.