3. Динамический режим аср

3.1. Уравнение динамики

При эксплуатации АСР на регулируемый процесс влияют различные возмущения, отклоняющие регулируемый параметр от заданной величины. При изменении величины задающего воздействия на входе системы новое значение регулируемой величины y(t) на выходе системы устанавливается не мгновенно, а в течении некоторого промежутка времени. Процесс перехода регулируемой величины из одного установившегося состояния в другое установившееся состояние называется переходным процессом. Графическое изображение переходного процесса называется динамической характеристикой.

Большинство систем регулирования описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, но во многих случаях их можно линеаризовать, т. е. заменить исходные нелинейные уравнения линейными.

Обычно систему регулирования проектируют таким образом, чтобы реальный процесс как можно меньше отличался от требуемого режима, т. е. чтобы отклонения из-за воздействия возмущающих факторов были минимальны. Это и позволяет производить линеаризацию исходных нелинейных уравнений.

Предположим, что система описывается уравнением

где y – выходная переменная; u и f – входные переменные.

Пусть заданному режиму соответствуют значения

Обозначим отклонение реальных значений y, u и f от требуемых через Δy, Δu, Δf.

Тогда получим y = y₀ + Δy, y′ = Δy′, y″ = Δy″, u = u₀ + Δu, u′ = Δu′, f = f₀ + Δf. Подставив эти выражения в исходное уравнение и рассматривая F( y, y′, y″, u, u′, f ) как функцию от независимых переменных y, y′, y″, u, u′, f , разложим её в ряд Тейлора:

+

Отбрасывая бесконечно малые величины более высоких порядков, а также учитывая, что F₀ = 0, последнее уравнение можно представить в виде a₀Δy″ + a₁Δy′ + a₂Δy – b₀Δu′ – b₁Δu – c₀Δf = 0, где

3.2. Символическая форма записи дифференциальных уравнений

При описании систем управления удобно использовать символическую форму записи линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим ее на примере полученного уравнения. Перепишем его, опустив для сокращения записи знак Δ и оставив в левой части только члены, содержащие выходную переменную и ее производные:

a₁y″ + a₁y′ + a₂y = b₀u′ + b₁u + c₀f .

Введем для операции дифференцирования во времени обозначение p:

Используя введенное обозначение, последнее уравнение можно записать в виде a₀p²y + a₁py + a₂y = b₀pu + b₁u + c₀f .

Рассматривая оператор дифференцирования р как сомножитель, а выражение ру как произведение, не обладающее свойством коммутативности (ру ≠ ур), уравнение можно записать в виде

( a₀p² + a₁p + a₂ )y = ( b₀p + b₁ )u + c₀f .

Введем обозначения D(p) = a₀p² + a₁p + a₂ , K₁(p) = b₀p + b₁ , K₂(p) = c₀f . Используя эти обозначения, последнее уравнение можно записать в виде D(p)y = K₁(p)u + K₂(p)f.

Такая форма записи дифференциального уравнения называется операторной.

Дифференциальный оператор при выходной переменной называют собственным оператором, дифференциальный оператор при входной переменной – оператором воздействия или входным оператором.

Название «собственный оператор» обусловлено тем, что многочлен D(p) характеризует собственное (свободное) движение элемента, т. е. движение при отсутствии внешних воздействий. Оператор D(p) называют также характеристическим.

В общем случае для системы с двумя входами и одним выходом можно записать

D(p) = a₀pⁿ + a₁p^n–1 + . . . + a_n ,

K₁(p) = b₀p^m + b₁p^m–1 + . . . + b_m ,

K₂(p) = c₀p^k + c₁p^k–1 + . . . + c_k .

Если система или её элемент описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка, то его принято записывать в стандартной форме. При стандартной форме записи члены уравнения, содержащие выходную величину и ее производные, располагают в левой части, а все остальные члены – в правой; коэффициент при выходной переменной делают равным единице. В правой части члены, содержащие одну и ту же входную переменную и ее производные, объединяют в одну группу и коэффициент при соответствующей входной переменной выносят за скобки.

Уравнение a₀y″ + a₁y′ + a₂y = b₀u′+ b₁u + c₀f в стандартной форме записи принимает вид

или

Здесь постоянные T₀ , T₁ и T₂ имеют размерность времени, и их называют постоянными времени, коэффициенты k₁ и k₂ – передаточными коэффициентами и безразмерный коэффициент δ (при 0 < δ <1) – коэффициентом демпфирования. Если исходное уравнение не содержит y (a₂ = 0), то в стандартной форме коэффициент при y′ должен быть равен единице: обе части уравнения делят на a₁.

В символической форме записи уравнение будет иметь вид