3.3. Передаточные функции

Наряду с дифференциальными уравнениями для описания линейных систем широко используются передаточные функции в операторной форме.

Передаточной функцией в операторной форме называется отношение оператора воздействия к собственному оператору:

Степень полинома знаменателя называют порядком передаточной функции соответствующей системы.

Нулями и полюсами передаточной функции называют нули ее числителя и знаменателя соответственно, т. е. корни уравнений K(p) = 0 и D(p) = 0, где p рассматривается как переменная, а не как оператор.

При двух входах система будет иметь две передаточные функции – передаточную функцию

относительно входа u и передаточную функцию

относительно входа f.

Передаточная функция в операторной форме является оператором, поэтому её нельзя рассматривать как обычную дробь. В частности, числитель и знаменатель нельзя сокращать на общий множитель, содержащий оператор дифференцирования.

С помощью передаточной функции уравнение рассматриваемой системы можно записать в виде

Звено АСР с известной передаточной функцией называется динамическим звеном. Оно изображается прямоугольником, внутри которого записывается выражение передаточной функции. То есть это обычное функциональное звено, функция которого задана математической зависимостью выходной величины от входной в динамическом режиме. Для звена с двумя входами и одним выходом должны быть записаны две передаточные функции по каждому из входов. Передаточная функция является основной характеристикой звена в динамическом режиме, из которой можно получить все остальные характеристики. Она определяется только параметрами системы и не зависит от входных и выходных величин.

3.4. Элементарные динамические звенья

Поскольку произвольный полином можно разложить на простые множители, то передаточную функцию системы

всегда можно представить в виде произведения простых сомножителей и дробей вида

, , , , , , .

Здесь k – передаточный коэффициент, Т – постоянная времени, δ (0 < δ < 1) – коэффициент демпфирования.

Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или дробей, называют элементарными звеньями. Их также называют типовыми.

4. Временные характеристики

4.1. Понятие временных характеристик

 

Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия, которые наиболее полно отражают особенности реальных возмущений. Во-первых, это позволяет сравнивать отдельные элементы между собой с точки зрения их динамических свойств. Во-вторых, зная реакцию системы на типовые воздействия, можно судить о том, как она будет вести себя при сложных изменениях входной величины.

Наиболее распространенными типовыми воздействиями являются: ступенчатое, импульсное и гармоническое. Любой сигнал u(t), имеющий сложную форму, можно разложить на сумму типовых воздействий u_i(t) и исследовать реакцию системы на каждую из составляющих, а затем, пользуясь принципом суперпозиции, получить результирующее изменение выходной величины y(t), суммируя полученные таким образом составляющие выходного сигнала y_i(t).

Особенно важное значение придают ступенчатому воздействию (рис. 4.1):

.
Рис. 4.1. Осциллограммы ступенчатой единичной функции 1(t)

Зависимость изменения выходной величины системы от времени при подаче на ее вход единичного ступенчатого воздействия при нулевых начальных условиях называется переходной характеристикой и обозначается h(t).

Не менее важное значение в теории автоматического регулирования уделяется импульсной переходной характеристике, которая описывает реакцию системы на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях. Единичный импульс (рис. 4.2) физически представляет собой очень узкий импульс, ширина которого стремится к нулю, а высота – к бесконечности, ограничивающий единичную площадь. Математически он описывается дельта-функцией δ(t) = 1′(t):

, кроме того, .

Переходная и импульсная переходная характеристики называются временными характеристиками. Каждая из них является исчерпывающей характеристикой системы и любого ее звена при нулевых начальных условиях. По ним можно однозначно определить выходную величину при произвольном входном воздействии.

Гармоническое воздействие изменяется во времени по синусоидальному закону: x(t) = X_msin(ωt+φ). С помощью такого сигнала или набора (суммы) таких сигналов удобно моделировать периодические воздействия на системы, например вибрации, а также можно моделировать сигналы произвольного вида. Кроме того, синусоидальный сигнал используется в качестве пробного при исследовании установившегося режима работы АСР. Гармонический сигнал (рис. 4.3) характеризуется амплитудой Х_m – максимальной величиной сигнала,

круговой частотой ω (рад/сек) и 

начальной фазой φ (градус).

Рис. 4.2. Уменьшение длительности

и пропорциональное увеличение

амплитуды импульса единичной

площади приближает его

к дельта-функции

Рис. 4.3. Графическое изображение гармонических сигналов