11.2. Корневые показатели качества

К основным корневым показателям качества относятся: степень колебательности m и степень устойчивости . Корневые показатели не требуют построения переходных кривых, поскольку определяются по корням характеристического полинома. Для этого корни полинома откладываются на комплексной плоскости и по ним определяются следующие показатели.

Степень устойчивости  определяется как граница, правее которой корней нет, т. е.

где Re(p_i) − действительная часть корня p_i. Пример определения степени устойчивости показан на рисунке 11.4. Линии построения показаны тонкими линиями. Степень устойчивости на рисунке определяется по самым правым корням (корни p₃ и p₄).

Степень колебательности m рассчитывается через угол  :

Для определения  проводятся два луча, которые ограничивают все корни на комплексной плоскости. Из рисунка видно, что  – это угол между этими лучами и мнимой осью. Степень колебательности может быть определена также по формуле

Если в системе нет комплексных корней, т. е. все корни лежат на действительной оси, то колебательность в системе отсутствует и  = 90°. При наличии чисто мнимых корней система находится на границе устойчивости, для нее  = 0. На рисунке 11.4 степень колебательности определена по корням p₁ и p₂.

Рис. 11.4. Определение корневых критериев качества

Степень устойчивости и степень колебательности должны быть максимально большими. Значения m = 0 и  = 0 соответствуют границе устойчивости.

11.3. Частотные критерии качества Частотные критерии качества замкнутых систем

АФЧХ замкнутой системы по каналу задающего воздействия имеет вид:

,

где W(jω) – АФЧХ разомкнутой системы.

Из этого выражения можно найти АЧХ замкнутой системы:

.

Из рисунка 11.5 видно, что чем ближе АФЧХ разомкнутой системы W(jω) подходит к точке (−1, j0), тем больше будет максимум Ф(ω). Если годограф проходит через точку (−1, j0), то Ф(ω) становится равной бесконечности. В этом случае система находится на границе устойчивости и совершает незатухающие колебания.

Максимум Ф(ω) характеризует колебательность системы и называется показателем колебательности М.

Рис. 11.5. Определение показателя колебательности

Частотные критерии качества разомкнутых систем

Частотные критерии качества могут быть определены по АФЧХ разомкнутой АСР (рис. 11.6). В соответствии с критерием Найквиста, чем дальше АФЧХ от критической точки – 1, j0, тем больше запас устойчивости. Различают запас устойчивости по модулю  и по фазе .

Запас устойчивости по модулю характеризует удаление АФЧХ разомкнутой АСР от критической точки в направлении вещественной оси и равняется расстоянию  от критической точки до пересечения годографом оси абсцисс.

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом  между отрицательным направлением вещественной оси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

Рис. 11.6. Определение запасов устойчивости по АФЧХ

Оценку устойчивости по критерию Найквиста можно также производить по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой АСР, поскольку каждой точке АФЧХ будут соответствовать определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Предположим, что имеются характеристики двух АСР, отличающихся только коэффициентами передачи K₁ < K₂. Первая АСР устойчива в замкнутом состоянии, а вторая неустойчива (рис. 11.7), при этом

W₂(p) = K₂ / K₁ ∙ W₁(p) = K ∙W₁(p).

Поскольку вторую АСР можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями K и W₁(p), то результирующие ЛЧХ могут быть построены как сумма ЛЧХ каждого из звеньев. Следовательно, для ЛАЧХ второй АСР можно записать:

L₂(ω) = 20lgK + L₁(ω).

ЛФЧХ обоих звеньев будут идентичны.

Пересечение АФЧХ вещественной оси соответствует значению фазы –π. Это соответствует точке пересечения ЛАЧХ с линией координатной сетки  = –π. При этом, как видно из АФЧХ, амплитуды A₁(ω)<1, A₂(ω)>1, что соответствует на ЛАЧХ значениям

L₁(ω) = 20lgA₁(ω) < 0 и L₁(ω) > 0.

Из сравнения АФЧХ и ЛФЧХ следует, что АСР в замкнутом состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ  = –π будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ. Запасом устойчивости по модулю ₁ и ₂ будет соответствовать расстояние в логарифмическом масштабе от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где  = –π.

Рис. 11.7. Определение запасов устойчивости по ЛАЧХ

Точка пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса соответствует точке пересечения ЛАЧХ горизонтальной оси. Частота ω, при которой это происходит, называется частотой среза. Если при некоторой частоте среза ω₁ фаза АФЧХ φ₁ > –π, то замкнутая АСР устойчива. Угол φ₁ = φ₁ – (–π) является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию от линии  = –π до ЛАЧХ.