10.3. Частотные критерии устойчивости

Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик АСР судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

Запишем характеристический полином АСР

F(p) = a₀pⁿ + a₁pⁿ⁻¹ + . . . + a_n

как функцию комплексной переменной p, которая в зависимости от величины переменной может принимать не только нулевое значение. При р = = jω характеристический полином будет иметь следующий вид:

F(jω) = a₀(jω)ⁿ + a₁(jω)ⁿ⁻¹ + . . . + a_n .

При заданном значении ω он изображается на комплексной плоскости характеристическим вектором. При изменении ω конец характеристического вектора опишет некоторую кривую, которая называется годографом характеристического вектора.

Критерий Михайлова формулируется следующим образом: система считается устойчивой, если при изменении ω от 0 до ∞ годограф характеристического вектора, начинаясь от вещественной полуоси, проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости. Иначе говоря, характеристический вектор поворачивается на n ∙ 90°.

Доказать справедливость этого утверждения можно следующим образом.

Поскольку характеристический полином может быть представлен в виде произведения сомножителей

F(p) = (p – p₁) (p – p₂) . . . (p – p_n) ,

то можно записать

F(jω) = (jω – p₁) (jω – p₂) . . . (jω – p_n) .

Каждый корень может быть изображен вектором на комплексной плоскости (рис. 10.3, а), разность p – p_i изобразится разностью векторов (рис. 10.3, б). Каждый из сомножителей формулы изображается на комплексной плоскости вектором, проведенным из точки, изображающей корень, к мнимой оси. При изменении ω от 0 до ∞ конец вектора скользит вдоль мнимой оси. Каждый вектор, соответствующий отрицательному вещественному корню, совершает поворот на 90° против часовой стрелки, а каждая пара комплексно-сопряженных корней – поворот на 180° против часовой стрелки. Так как характеристический вектор является произведением векторов, то его поворот должен быть равен сумме поворотов всех векторов. В случае устойчивой системы угол поворота должен монотонно возрастать от нуля до n ∙ 90° и годограф характеристического вектора пройдёт последовательно n квадрантов комплексной плоскости.

Если в правой полуплоскости окажется хотя бы один корень, общий угол поворота уменьшится.

Рис. 10.3. Изображение корней на комплексной плоскости

Например, если в правой полуплоскости окажется один вещественный корень, то соответствующий ему вектор совершит поворот на угол 90° по часовой стрелке. Если все остальные n – 1 корней расположены в левой полуплоскости, общий угол поворота характеристического вектора будет равным (n – 1) ∙ 90° − 90° = (n – 2) ∙ 90°.

Примеры годографов неустойчивых систем приведены на рисунке 10.4, б, а на рисунке 10.4, а – примеры годографов устойчивых систем.

Рис. 10.4. Примеры годографов Михайлова устойчивых и неустойчивых систем

Критерий Михайлова удобен своей наглядностью. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то АСР находится вблизи границы устойчивости, и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой АСР.

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой АСР по виду АФЧХ разомкнутой АСР. Исследование разомкнутой АСР проще, чем замкнутой.

Для системы, изображенной на рисунке 10.5, а, можно записать

или

В результате передаточная функция соединения определяется уравнением

Рис. 10.5. Структурные схемы замкнутой АСР

Полученную передаточную функцию можно рассматривать как передаточную функцию двух последовательно соединенных звеньев (рис. 10.5, б) с передаточными функциями W₁(p) и

где W_р(p) – передаточная функция замкнутого контура в разомкнутом состоянии.

Приравнивая знаменатель к нулю, получаем характеристическое уравнение для замкнутого контура

Поскольку

то характеристические уравнения разомкнутого и замкнутого контуров определяются выражениями:

Отметим, что поскольку степень полинома K(p) не может превышать степень полинома D(p), то степени характеристических полиномов замкнутой и разомкнутой систем должны быть одинаковыми.

Запишем характеристическое уравнение для замкнутого контура в виде

При р = jω выражение принимает следующий вид:

Очевидно, что в этом выражении числитель является характеристическим вектором Михайлова для замкнутого контура, а знаменатель – аналогичным вектором для разомкнутого контура.

Согласно критерию Михайлова, разомкнутый контур будет устойчивым, если вектор в знаменателе выражения выполнит поворот против часовой стрелки на угол n ∙ 90° ( n – степень характеристического уравнения). Если устойчив и замкнутый контур, то на такой же угол повернётся вектор числителя. В итоге суммарный угол поворота окажется равным нулю (угол поворота частного от деления двух векторов равен разности углов поворота).

Отсюда следует вывод: если разомкнутый контур устойчив и общий угол поворота вектора F(jω)=0 при изменении ω от 0 до ∞ равен нулю, то контур будет устойчивым и после его замыкания. Это и есть критерий Найквиста.

Формулу для вектора F(jω) можно записать в следующем виде:

т. е. вектор F(jω) может рассматриваться как разность вектора W_р(jω) и вектора, проведенного из начала координат в точку –1, j0. Геометрически F(jω) изображается вектором, проведенным из точки –1, j0 к отрицательной АФЧХ разомкнутого контура W_р(jω) (рис. 10.6). Следовательно, критерий Найквиста может быть сформулирован так: если разомкнутый контур устойчив и общий угол поворота вектора, проведенного из точки –1, j0 к отрицательной АФЧХ разомкнутого контура W_р(jω), при изменении частоты ω от 0 до ∞, равен нулю, то контур будет устойчивым и после его замыкания.

С геометрической точки зрения равенство нулю общего угла поворота вектора F(jω) означает, что точка –1, j0 находится вне области, очерчиваемой годографом W_р(jω). Поэтому критерий Найквиста удобнее сформулировать так: контур, устойчивый в разомкнутом состоянии, будет устойчивым и после замыкания, если его отрицательная АФЧХ в разомкнутом состоянии не охватывает точки –1, j0.

F (jω)

ω = 0

Рис. 10.6. Применение критерия Найквиста

Если в разомкнутом контуре имеется последовательно включенное интегрирующее звено, то АФЧХ при ω = 0 уходит в бесконечность. В этом случае для применения критерия Найквиста следует мысленно дополнить эту характеристику дугой бесконечно большого радиуса при ω = = 0.

Мы рассмотрели применение критерия Найквиста для случая одновременной устойчивости разомкнутого и замкнутого контуров АСР, но этот же критерий может быть применен и в случае неустойчивости разомкнутого контура.

Предположим, характеристическое уравнение разомкнутого контура имеет m правых корней. В этом случае характеристический вектор D(jω) при изменении ω от 0 до ∞ совершит поворот против часовой стрелки на угол

Если система после замыкания окажется устойчивой, характеристический вектор замкнутой системы совершит поворот на угол n ∙ π/2 против часовой стрелки, а общий угол поворота вектора F(jω) будет равным

Следовательно, критерий Найквиста в данном случае может иметь следующее определение: неустойчивый разомкнутый контур, характеристическое уравнение которого имеет m правых корней, после замыкания станет устойчивым, если вектор, проведенный из точки –1, j0 к отрицательной АФЧХ разомкнутого контура W_р(jω), при изменении частоты от ω от 0 до ∞ совершит поворот против часовой стрелки на угол m ∙ π.

В данном случае АФЧХ разомкнутого контура W_р(jω) будет охватывать точку –1, j0. На рисунке 10.7 приведены примеры устойчивых систем, а на рисунке 10.8 – неустойчивых.

Рис. 10.7. Примеры устойчивых систем

Рис. 10.8. Примеры неустойчивых систем