1.2. Работа выхода электрона из твердых тел.

Электронная эмиссия возникает в тех случаях, когда часть электронов твердого тела приобретает в результате внешнего воздействия энергию, достаточную для преодоления потенциального барьера на его границе (рис.1.2). Величину этой энергии называют работой выхода электрона (А) из твердого тела.

Рис.1.2. Работа выхода электронов из твердых тел.

(а)-металлы; (в)- полупроводники.

Полная высота потенциального барьера на поверхности металла представлена величиной А_t (рис.1.2, а) т.е. величиной, соответствующей полной глубине потенциального ящика, или энергией, которая необходима для удаления электрона с самого низкого энергетического состояния в вакуум или другую среду. При абсолютном нуле температуры максимальная энергия, которую может иметь любой электрон соответствует энергии Ферми (Е_f). Разность между полной высотой поверхностного потенциального барьера (A_t) и энергией Ферми равна работе выхода электрона (А) из металла. Следовательно, эмиссия электронов из металлов будет возможна, когда величина их кинетической энергии, возрастающей при внешних воздействиях, удовлетворяет условию:

(1.2.)

В полупроводниках и диэлектриках работа выхода электрона с потолка валентной зоны (А_v) в вакуум должна соответствовать пороговой величине кинетической энергии для эмиссии электронов:

A_v= ≥ +A_o, (2.2)

где -ширина запрещенной зоны, А₀-внешняя работа выхода, именуемая в ряде случаев термином электронным сродством. Как видно из рис.1.2,б по величине А₀ равно минимальной энергии, которую нужно сообщить электрону, чтобы удалить его со дна зоны проводимости (Е_п) полупроводника в вакуум. В случае теплового воздействия работа выхода электрона из полупроводника характеризуется термодинамической работой выхода (А) рис.1.2.а которая, как и в металлах, равна минимальной энергии, которую нужно сообщить электрону, чтобы перевести его с уровня Ферми (E_f) на энергетический уровень вне кристалла. Принимая во внимание, что положение уровня Ферми в полупроводниках может сильно изменятся с температурой, можно отметить, что возможны также значительные изменения термодинамической работы выхода.

2.2. Термоэлектронная эмиссия

Плотность электрического тока определяется выражением:

j=ne (3.2.)

где е-заряд электрона, n-концентрация газа свободных электронов, -средняя скорость направленного движения. Используя для концентрации электронов выражение (10.1) и его подстановки в (3.2) для плотности электрического тока получим:

j=e (4.2.)

Для расчета плотности тока термоэлектронной эмиссии, энергию электронов внутри металла представим как функцию компонент импульса; ось х выберем перпендикулярно поверхности рис.(1.2,а). В этом случае для любого электрона проходящего через поверхность компоненты импульса по осям y и z сохраняются. Следовательно, для того чтобы движущийся к поверхности металла электрон мог преодолеть барьер у поверхности, его полная кинетическая энергия должна удовлетворять неравенству:

. (5.2.)

Из (10.1),(1.2) с учетом (3.2) для плотности эмиссионного тока получим:

J=e . (6.2)

Кинетическую энергию электрона из (1.2) можно выразить равенством:

Е= . (7.2.)

Из неравенства (1.2) с учетом (1.2) получим

E-E_fA, (8.2)

и следовательно,

exp >>1. (9.2.)

Последнее неравенство обусловлено тем, что работа выхода электрона из металла (А) имеет порядок величины ≥1эВ, а при комнатной температуре величина произведения kT 0,01 эВ, и, следовательно, А ⁄kT 100. Это позволяет единицей в знаменателе равенства (3.1) пренебречь по сравнению с величиной exp и с учетом (7.2) преобразовать (6.2) к виду:

j=2e . (10.2)

Третий интеграл сводится к табличному при введении переменной интегрирования:

, (11.2.)

при этом:

. (12.2.)

Второй интеграл имеет такое же значение, так как он отличается от третьего интеграла только заменой v_z на v_y. Для первого интеграла используем замену:

v_xdx= , (13.2)

и после подстановки:

| . (14.2.)

С учетом (1.2) получим:

_xdv_x= . (15.2.)

Из (12.2),(13.2) и (15.2) следует:

. (16.2.)

Это формула, полученная Дэшманом, показывает, что плотность тока термоэлектронной эмиссии экспоненциально зависит от работы выхода. Раньше Дэшмана, формула, определяющая, экспоненциальную зависимость плотности эмиссионного тока была получена Ричардсоном:

, (17.2.)

но он рассматривал электроны как классический газ Максвелла-Больцмана. При высоких температурах формула Ричардсона (17.2) совпадает с формулой Дэшмана, если принять:

w_a=E_f+A, (18.2.)

и учесть, что:

, (19.2.)

где n-число электронов в единице объема. Однако если параметр w_a в формуле Ричардсона рассматривать как опытное значение работы выхода электрона из металла, то расчетная плотность эмиссионного тока по уравнению (17.2), будет во много раз больше таковой получаемой по формуле Дэшмана. Одинаковый результат может быть получен только при условии, что часть электронов, равная

n₀= , (20.2)

предполагается свободной.

Таблица 1.2

Термоэлектронные постоянные металлов

Металл.	В,	Работа выхода электрона из металла, эВ.
Вольфрам. W	60	4,5
Кальций.Ca	60	3,2
Молибден.Mo	60	4,3
Никель. Ni	60	5.0
Платина. Pt	10^4	5,0
Тантал. Ta	50	4,1
Технеций. Th	60	3,4
Цезий.Cs	160	1,8

В соответствие с исторической последовательностью формула (16.2) называется уравнением Ричардсона-Дэшмана. Из её анализа следует, что плотность тока термоэлектронной эмиссии не зависит от концентрации свободных электронов и при данной температуре определяется работой выхода. Численный коэффициент в правой части уравнения зависит от универсальных констант, а его величина:

, (21.2)

не совпадает с величиной, определяемой в экспериментах табл.(1.2). Однако, в большинстве случаев, экспериментальные значения отличаются от вычисленных, но не на очень большой множитель, и только в нескольких случаях имеются значительные отклонения. Указанное несоответствие обусловлено рядом эффектов связанных со сложным строением структуры поверхности металлов и зависимостью работы выхода от температуры.