Глава 4

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ФОКУСИРОВКИ И УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫМИ ПУЧКАМИ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ.

1.4.Силы, действующие на заряженную частицу в электромагнитном поле. Уравнения движения.

Электромагнитные поля в вакууме полностью описываются двумя силовыми характеристиками: вектором напряженности электрического поля Е и вектором магнитной индукции В. Как напряженность поля так и магнитная индукция являются векторными функциями пространственных координат и времени Е=Е(R,t) [В/м], В=В(R,t) [Вс/м²], где R-радиус вектор, t-время.

Согласно экспериментальным данным на заряженную частицу в рассматриваемой области электромагнитного поля действует сила F, выражаемая формулой:

F=qE+q[v×B], (1.4)

где q-заряд частицы, v-вектор скорости частицы. При этом формула справедлива только при следующих условиях:

1. Размеры частицы настолько малы, что её заряд можно считать точечным. Это позволяет не учитывать дополнительные силы, связанные с распределением заряда по объёму частицы.

2. У частицы отсутствует собственный магнитный момент.

3. В формуле (1.4) пренебрегается силой лучистого трения, которая делается заметной при большой величине ускорения, приобретаемого частицей в электромагнитном поле.

4. Движение заряженной частицы в электромагнитных полях, при скоростях меньше чем скорость света определяется, законами классической механики. Естественно, что волновая природа частиц является существенным ограничением при характерных размерах, сравнимых с длиной волны Де Бройля:

= . (2.4)

Здесь h=6,62×10^-34Дж c постоянная Планка. m - масса заряженной частицы.

Однако при анализе движения частиц волновой природой можно пренебречь, так как электромагнитные поля не претерпевают существенных изменений на расстояниях, сравнимых с длиной волны Де Бройля.

Согласно законам классической механики уравнение движения частицы в заданном поле может быть написано в обычной форме:

(mv)=F. (3.4)

При условии, когда скорость движения частицы меньше скорости света масса частицы постоянна то уравнение (1.4) с учетом (3.4.) принимает вид:

m (v)=qE+q[v×B]. (4.4)

Первое слагаемое в правой части уравнения представляет собой кулоновскую силу, действующую на заряженную частицу со стороны электростатического поля. Кулоновская сила, действуя на заряженную частицу, совершает работу, изменяя кинетическую энергию частицы, так как она изменяет скорость движения частицы по величине. Изменение кинетической энергии частицы, обусловленное только действием электростатического поля можно определить из равенства:

( )₂ - ( )₁= Eds, (5,4)

где интеграл берется вдоль траектории движения частицы. Если электрическое поле обладает потенциалом, который не зависит от времени, то правая часть уравнения (4.5) будет равна q(U₁-U₂). Для частицы, которая первоначально находилась в покое, формула (5,4) приобретет вид уравнения:

=q(U₁-U₂), (6.4)

из которого следует, что при движении в статическом потенциальном электрическом поле кинетическая энергия заряженной частицы определяется пройденной разностью потенциалов.

В физике, как правило, приходится иметь дело с частицами, заряд которых составляет небольшое целое кратное от заряда электрона. Отсюда вытекает распространенный способ измерения энергии частицы в электрон-вольтах. Если заряд частицы равен заряду электрона (е) и она прошла ускоряющую разность потенциалов в один вольт, то говорят, что она приобрела энергию в один электрон-вольт равный 1,6×10^-19 Дж. Очевидно, что частица с зарядом (ne), ускоренная разностью потенциалов (U₁-U₂) вольт, будет обладать кинетической энергией Е_к равной:

Е_к=n(U₁-U₂) эВ. (7.4)

Последняя формула дает связь между пройденной разностью потенциалов и кинетической энергией частицы выраженной в электрон-вольтах.

Второе слагаемое в правой части уравнения (4.4) сила Лоренца, действующая на частицу со стороны магнитного поля. По определению векторного произведения вектор силы Лоренца всегда направлен перпендикулярно вектору скорости частицы, а, следовательно, данная сила работы не совершат. Данная сила играет роль центростремительной силы и изменяет скорость движения частицы только по направлению.

Анализ движения заряженных частиц в электромагнитных полях при использовании уравнения (4.4) не представляет значительных математических трудностей только для полей простейшей конфигурации (точечного заряда, заряженного цилиндрического проводника, плоского конденсатора, однородного магнитного поля в соленоиде и др.). Однако в практике проектирования электронно лучевых приборов электромагнитные поля оказываются настолько сложными, что даже выражение для потенциала и вектора магнитной индукции не удается представить в конечной форме с помощью элементарных функций. В результате интегрирование уравнений движения чрезвычайно усложняется и в итоге, может быть проведено только численным путем. Общий метод подхода к решению задач о нахождении траекторий движущихся заряженных частиц в электрических и магнитных полях различных конфигураций оказывается возможным только с использованием современного математического аппарата электронной и ионной оптики.

Электронная и ионная оптика представляют собой одно из направлений физической электроники посвященной проблемам: формирования потоков заряженных частиц, управления ими, а также вопросам их применения. В самом названии «Электронная и ионная оптика» отражен тот факт, что движение заряженных частиц в электромагнитных полях во многом подобно поведению световых лучей в неоднородных оптических средах описываемых законами геометрической оптики.