Дуальные элементы и цепи.

Рассмотренные выше выражения, соответствующих попарно сопротивлению и проводимости, емкости и индуктивности, имеют подобную структуру. Элементы для которых основные соотношения имеют одинаковую структуру и могут быть получены одно из другого пу-

тем замены тока на напряжение и, наоборот, называются дуальными, Например, заменив U_R на i_G, i_R на U_G, R на G получим соотношения для проводимости. Таким образом, емкость и индуктивность, сопротивление и проводимость (попарно) являются дуальными.

Таблица 1.1.

Тип идеализированного элеменгта	Основные уравнения для
	тока	напряжения	Мгновенной мощности	энергии
Сопротивление	IR =	UR = RIR	PR =RI		ER =
Проводимость	IG =GUG	UG =	PG = GU		EG =
Емкость	IC = C	UC=	РС=CUC		EC =
Индуктивность	IL =	UL = L	PL =LIL		EL =

Дуальными могут быть также идеализированные активные элементы и электрические цепи, составленные из идеализированных активных и пассивных элементов. В ряде случаев использование принципа дуальности позволяет облегчить исследование процессов в цепи. Так, если известны основные соотношения, описывающие процессы в некоторой цепи, то соответствующие выражения для дуальной цепи могут быть получены без вывода на основании использования свойства дуальности.

Топология цепей

Схема – УГО электрической цепи, состав идеализированных активных и пассивных элементов моделирующей цепи, замещающий исследуемую цепь в рамках рассматриваемой задачи, параметры этих элементов и способ их соединений между собой. В зависимости от характера соединения идеализированных двухполюсных элементов различают неразветвленные и разветвленные цепи. Соединенные группы идеализированных элементов при котором через них замыкается один и тот же ток – последовательные соединения. Соединение при котором все элементы находятся под одним и тем же напряжением – параллельное. Отдельно треугольные и звездой (соединения)

Характер соединений определяют топологию цепей, для описания которых вводят понятия ветви, узла и контуров. Ветвь – участок цепи, вдоль которого замыкается один и тот же ток. Место соединений ветвей – узел.

Замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей так. что ни одна ветвь и ни один узел не встречаются дважды называют контуром.

Математическое описание процессов в электрических цепях базируются на уровнях 2-х типов: компонентных и топологических. Компонентные уравнения (уравнения ветвей) представляют собой математические модели соответствующих ветвей и выражают ток и напряжение через параметры элементов этой ветви.

Топологические уравнения устанавливают связь между токами и напряжениями различных ветвей. К ним в частности относятся законы Кирхгофа.

1-й закон Кирхгофа устанавливает связь между токами ветвей в каждом из узлов цепи: алгебраическая сумма мгновенных значений токов ветвей, подключенных к каждому из узлов моделирующей цепи, в любой момент времени равна нулю.

Уравнение баланса токов в узле:

, l = 0,1,2,…q-1,

где l и k – номера узлов, ветвей. q и p – число узлов, ветвей. Коэффициент a_lk = 1, если к-я ветвь подключена l-му узлу и ток ветви направлен от узла; a_lk = - 1 при токе, направленному к узлу; a_{lk = 0,} если к-я ветвь не подключена к L- му узлу.

1-й закон можно сформулировать еще и по другому: сумма мгновенных значений токов, направленных к любому узлу цепи, в любой момент времени равна сумме токов, направленных от узла.

2-й закон Кирхгофа устанавливает связь между напряжениями ветвей, входящих в произвольный контур: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений всех ветвей входящих в любой контур моделирующей цепи, в каждый момент времени равна нулю.

Уравнение баланса напряжения ветвей:

, l= 1,2, …N

где к, l – номера ветвей и контуров; p, N – число ветвей и контуров. Коэффициент b _lk=1, если k-я ветвь входит в l – й контур и направление напряжения ветви совпадает с направлением обхода контура; b _lk= -1, если направление противоположно току; b _lk=0, если к-я ветвь не входит в l-й контур.

Другая формулировка: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на всех элементах на всех элементах любого контура моделирующей цепи, за исключением источников напряжения в каждый момент времени, равна алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС источников напряжения, действующих в этом контуре.

Общее число уравнений баланса токов, напряжений равно сумме числа узлов и числа контуров исследуемой цепи.Определение числа независимых узлов, контуров, а также выделение систем соответствующих узлов, контуров являются главными задачами топологии цепей.

Решение этих задач производится с привлечением понятий теории графов, являющейся мощным инструментом исследования топологических свойств сложных систем: электрических, транспортных, информационных и других.