Погрешности косвенных измерений.

Выше мы рассматривали погрешности так называемых прямых измерений.

Прямыми измерениями называются измерения, при которых значение измеряемой величины считываются непосредственно со шкалы прибора.

Косвенными измерениями называются измерения, при которых измеряемая величина получается в результате вычислений.

Пусть f (a,b,c) – косвенно измеряемая величина, а величины a,b,c – результат прямых измерений. За истинное значение величины f принимается результат вычислений f (< а >, < b > , < c > ) . Поскольку прямые измерения выполнены с погрешностями D а, D b , D c , то и результат косвенных измерений имеет погрешность измерения D f.

Методика вычисления абсолютной погрешности косвенных измерений предполагает вначале расчет относительной погрешности. При этом расчете конечная погрешность D f заменяется на бесконечно малую величину, т.е. дифференциал d f. После вычисления дифференциала d f для функции трех переменных f (a,b,c) , бесконечно малые дифференциалы вновь заменяются на конечные погрешности .

D f d f 1 ∂ f ∂ f ∂ f

ε = ¾¾ ≈ ¾¾ = ¾ { ¾¾ d а + ¾¾ d b + ¾¾ d c } ≈

f f f ∂ а ∂ b ∂ c

1 ∂ f ∂ f ∂ f

≈ ¾¾ { ¾¾ D а + ¾¾ D b + ¾¾ D c} (1.11).

f ∂ а ∂ b ∂ c

Более точно относительная погрешность рассчитывается по формуле

_________________________________________________________

ε = √ (1/ f )² { (∂ f/∂а)² (D а)² +( ∂ f/∂ b )² (D а)² + ( ∂ f/∂с)²(D с)²} (1.12).

Результаты относительной погрешности, вычисленные по формулам (1.11) и (1.12), отличаются на 20%. Поэтому чаще всего относительная погрешность будет вычисляться по формуле (1.11).Например, если величина f = а b ² / с² , то

ε = D а / а + 2D b/ b + 2 D с /с (1.13).

Относительная погрешность произведения или частного равна сумме относительных погрешностей результатов прямых измерений.

После определения относительной погрешности абсолютная погрешность косвенно измеряемой величины определяется как

D f = ε f (< а >, < b > , < c > ) (1.14).

В том случае, когда f равна сумме или разности ( f = а ± b ), абсолютную погрешность следует вычислять непосредственно:

D f = D а + D b

10. 7.3 Содержание лабораторных работ

Лабораторная работа № 1. Определение массы цилиндра.

Цель работы: Вычисление абсолютной и относительной погрешностей результата косвенных измерений массы цилиндра.

Приборы и принадлежности: стальной или дюралевый цилиндр, штангенциркуль, микрометр.

Указания по организации самостоятельной работы.

Изучить методику расчета погрешностей измерений по лекциям и учебнику.

Подготовить тетрадь для выполнения данной лабораторной работы:

выписать рабочие формулы с обозначением всех используемых размерностей;

подготовить рекомендуемые таблицы для записи результатов измерений и вычислений.

Подготовить ответы на вопросы к допуску и к защите лабораторной работы:

1. Как проводить измерения штангенциркулем?

2. Чему равна цена деления штангенциркуля? Чему равна погрешность при измерении штангенциркулем?

3. Как проводить измерения микрометром?

4. Чему равна цена деления микрометра? Чему равна погрешность при измерении микрометром?

5. Как вычисляется среднее арифметическое значение измеряемой величины?

6. Как вычисляется средняя арифметическая погрешность измерения диаметра?

7. Как вычисляется средняя квадратичная погрешность измерения диаметра?

8. Как вычисляется относительная погрешность определения массы цилиндра?

9. Как вычисляется абсолютная погрешность массы цилиндра?

10. С какой надежностью проводились измерения?

11. Как изменится выражение для относительной ошибки измерения веса цилиндра по сравнению с относительной ошибкой массы?