период от середины первого цикла до середины последнего. Предполагается, что чем выше колеблемость уровней ряда динамики и чем больше параметров содержит уравнение тренда, тем продолжительнее должен быть временной пе­ риод, охваченный наблюдением.

7.2. Этапы построения трендовых моделей

Построение трендовых моделей динамических рядов предполагает соче­ тание качественного экономического анализа и математико-статистических ме­ тодов и состоит из следующих этапов.

1.Выбор класса функций, которые могут быть использованы для описания тренда. Вид функций, описывающих тренд, определяют, исходя из каче­ ственного анализа сути изучаемого явления, таким образом, чтобы функ­ ции отражали главные особенности динамики исследуемого показателя. Если фактические данные не содержат какую-нибудь явную, ярко выра­ женную тенденцию, то необходимо использовать широкий спектр функ­ ций.

2.Оценивание параметров отобранных функций по фактическим данным. После того как кривые будут отобраны, вычисляют их параметры с помо­ щью метода наименьших квадратов или более сложных методов нелиней­ ного оценивания.

Расчет значений критериев для выбора наиболее подходящей функции, описывающей исследуемый динамический ряд. Для характеристики близости функции-тренда к аппроксимируемому динамическому ряду применяют несколько критериев: значение коэффициента детерминации, значение F-крите­ рия, значение средней квадратичной ошибки, вычисляемой по формуле

		n				)2
		å (y	t	- Y					(7.48)
S =		t=1			t		,
		n - k - 1

где yt — фактические уровни динамического ряда; Yt — теоретические (рас­ четные) уровни динамического ряда; n — число уровней динамического ряда; k

—число параметров в функциях, описывающих тренд.

4.Анализ остаточной компоненты динамического ряда. Остаточная

компонента ε(t) должна быть независимой, иметь постоянную дисперсию, под­ чиняться нормальному закону распределения.

После выполнения указанных этапов строят несколько функций тренда для исследуемого динамического ряда. Из построенных функций выбирают лучшую путем сопоставления значений критериев аппроксимации, свойств остаточной компоненты, учитывая при этом возможности экономической ин­ терпретации и использования ее в ретроспективном анализе и прогнозирова­ нии. Если построенная функция будет использоваться лишь в ретроспективном

105

анализе, то нужно выбирать функцию, для которой значение средней квадра­ тичной ошибки наименьшее. Если же функция тренда будет использоваться для прогнозирования, то предпочтение отдается функции, имеющей лучшие оценки аппроксимации для последней части динамического ряда, так как на тенденцию развития наибольшее воздействие оказывают уровни последней части динами­ ческого ряда. Рассмотрим теперь ряд примеров выбора типа кривой.

Пример. Производство ткани (млн м2) в Беларуси характеризуется дина­ мическим рядом, представленным в табл. 7.2 (первый и второй столбцы). Это характеризуется устойчивым ростом. Для выбора формы кривой вычислим ко­ нечные разности и характеристики приростов исследуемого динамического ря­ да. Результаты вычислений сведены в табл. 7.2.

Таблица 7.2

t j	ytj	1		2		3
			yt,t−		yt,t−i		yt,t−		Y			1	yt			2	yt	ln		1	yt			1		yt					1
									t																					ln		yt
								(m=7)
																															Yt
																								Yt
1975	315		-		-		-	-			-				-					-		-									-
1976	322		7		-		-	-			-				-					-		-									-
1977	329		7		0		-	-			-				-					-		-									-
1978	340	11			4		4	340,3			11,0				-			2,3979				0,0323								-3,4319
1979	350	10		-1		-5		352,1			121,86				1,86			2,5541				0,0365								-3,3098
1980	371	21		11		12		365,9			14,96				2,10			2,7054				0,0409								-3,1970
1981	378		7	-14		-25		382,2			16,18				1,22			2,7838				0,0423								-3,1622
1982	399	21		14		28		399,9			16,89				0,71			2,8267				0,0422								-3,1645
1983	420	21			0	-14		417,9			15,71				-1,18			2,7543				0,0376								-3,2809
1984	435	15		-6		-6		435,7			14,79				-0,92			2,6940				0,0339								-3,3830
1985	451	16			1		7	448,2			12,82				-1,97			2,5510				0,0286								-3,5542
1986	457		6	-10		-11		-			-				-					-		-									-
1987	467	10			4	14		-			-				-					-		-									-
1988	480	13			3	-1		-			-				-					-		-									-

Как видим из третьего, четвертого и пятого столбцов табл. 7.2, конечные разности заметно варьируют. Следовательно, полиномы первой, второй, тре­ тьей и более высоких степеней не подходят в качестве кривых, описывающих тренд динамического ряда.

Для выбора формы кривой применим метод характеристик приростов, ко­ торый состоит из трех этапов:

1)сглаживание ряда семилетней скользящей средней (шестой столбец), которое дает возможность наметить тенденцию изменения ряда;

2)определение средних приростов по формуле

		=	1	(− 3yt−3 − 2yt−2 − yt−1 + yt+1 + 2yt+3 + 3yt+3 );
	1yt				(7.49)
			28

106

3) определение характеристик приростов:

1yt

1y

t

1y

2 y

t

,

, ln 1y

t

, ln

t , ln

.

(7.50)

Y2

Yt

Yt

t

В табл. 7.3 приведены значения средних приростов и их характеристик,

анализ которых показывает, что отношения

1y

примерно одинаковые.

t

Y

t

Следовательно, в качестве кривой тренда можно выбрать экспоненциальную функцию yt = a 0a1t .

Пример. Введение механизации на предприятии позволило увеличить производительность труда. Производительность труда с февраля 1988 г. по ап­ рель 1989 г. характеризуется динамическим рядом, представленным в табл. 7.3 (первый и второй столбцы).

																																			Таблица 7.3
															2 yt,t
Месяц		Производи­					yt					1yt								1yt			ln			1y		t					1y		t					1y	t
и год t тельность тру­						(m=7)																									ln						ln
																			Yt
																																Yt							Yt2
			да yt
1			2					3		4					5			6								7						8							9
02.1988			20					-		-					-			-								-						-							-
03.1988			24					-		-					-			-								-						-							-
04.1988			28					-		-					-			-								-						-							-
05.1988			30			29,9				2,25					5,06			0,07							0,81						-2,66						0,003
06.1988			31			31,4				1,93					3,72			0,06							0,66						-2,73						0,002
07.1988			33			32,9				168					2,82			0,05							0,52						-3,00						0,002
08.1988			34			34,5				1,71					2,92			0,05							0,54						-3,00						0,001
09.1988			37			36,5				1,71					2,92			0,05							0,54						-3,00						0,001
10.1988			38			38,1				1,68					2,82			0,04							0,52						-3,22						0,001
11.1988			40			39,8				1,71					2,92			0,04							0,54						-3,22						0,001
12.1988			41			41,1				1,79					3,20			0,04							0,58						-3,22						0,001
01.1989			43					-		-					-			-								-						-							-
02.1989			45					-		-					-			-								-						-							-
03.1989			48					-		-					-			-								-						-							-
Семилетнюю скользящую среднюю вычислим по формуле
		=	1	(− 2y		+ 3y				+ 6y					+ 7y		+ 6y								+ 3y						− 2y						).		(7.50)
	Y				t−3			t−2					t−1			t					t+1						t+2							t	+3
	t		21

Тогда:

107

			=		1		(- 2 × 20 + 3 × 24 + 6 × 28		+ 7 × 30 + 6 × 31 + 3 × 33 - 2 × 34) = 29,9;	(7.51)
	Y
	4				21
				=		1		(- 2 × 24 + 3 × 28 + 6 × 30	+ 7 × 31 + 6 × 33 + 3 × 34 - 2 × 37) = 31,4	(7.52)
		Y
	5				21

и т.д. Анализируя значения семилетней скользящей средней, можно сделать вы­ вод о том, что тенденция приближается к линейной. Для проверки этого вывода вычислим характеристики приростов (см. табл. 3.20) и построим соответствую­ щие графики (рис. 3.5). Средние приросты вычислим, используя формулу

		=	1	(- 3yt−3 - 2yt−2 - yt−1 + yt+1 + 2yt+2 + 3yt+3 ).
	D1yt				(7.53)
			28

Анализ значений характеристик приростов и их графиков подтверждает сделанное предположение о том, что тенденция динамического ряда описыва­

ется линейной функцией yt = a 0 + a1t .

Таблица 7.4

Год t	Производство холодильников yt , тыс шт.
1	2
1975	557
1976	567
1977	603
1978	614
1979	582
1980	607
1981	605
1982	605
1983	601
1984	603
1985	608
1986	600
1987	602
	Таблица 7.5
Год t	Производство ковров и ковровых изделий yt , млн м2
1	2
1975	7,7
1976	8,7

108

Окончание табл. 7.5

1	2
1977	9,1
1978	9,6
1979	12,4
1980	15,1
1981	15,9
1982	16,1
1983	16,0
1984	16,2
1985	16,4
1986	15,9
1987	16,0

Рис. 7.1

109