Предположим, что приросты D1yt+1 являются значениями случайной ве­ личины U с математическим ожиданием M(U) и дисперсией D(U). Тогда их оценками будут средняя приростов D1y и статистическая дисперсия

	2		n−1	t+1	æ	1			ö	2
S		=						1
	1y		å	Cn	çD yt+1		- D y÷ .
			t=1		è				ø

Применив неравенство Чебышева, можно записать:

Pì		D1y - M(U)		ñaS	üá1 a 2	,
í		t+1			ý
î					1y þ

где a — заданное положительное число: S 1y = S21y . Так как значения

(11.13)

(11.14)

D1yt+1

коррелированы между собой, то а в неравенстве Чебышева является величиной переменной, вычисляемой по формуле

	τ+1	Cn−t+1
	a(t) = a å		,				(11.15)
				t = 0, n - 1.
	t=1	n

Прогнозирование методом гармонических весов производится путем при­ бавления к последнему значению ряда динамики y jt среднего прироста D1y , т.е.

	y*t+τ =			+
			jt		D1y.			(11.16)
		y
Доверительный интервал прогноза
æ y*	- a(t)S ; y* + a(t)S						ö.	(11.17)
ç	1y				t+τ		÷
è t+τ							1y ø

ТЕМА 12. НАДЕЖНОСТЬ И ТОЧНОСТЬ ПРОГНОЗА

12.1. Понятие надежности и точности прогнозов.

12.2. Меры точности прогнозов. Стандартная ошибка прогноза.

12.3. Средняя абсолютная процентная ошибка (ошибка аппроксимации). 12.4. Средние ошибки.

12.5. Сравнительные и качественные показатели точности прогноза.

133

12.1. Понятие надежности и точности прогнозов

Точность прогноза оценивается величиной ошибки прогноза — разности между прогнозом и фактическим значением исследуемого показателя. Такой подход возможен, когда период упреждения уже окончился и исследователь имеет фактические значения переменной и когда прогнозирование осуще­ ствляется для некоторого момента времени в прошлом, для которого имеются фактические данные. Таким образом поступают для проверки разработанной методики прогноза. При этом динамический ряд разбивают на две части: первая часть принимается за период предыстории и служит для оценивания парамет­ ров прогностической модели, вторая — за прогнозируемый период (ее данные рассматриваются как реализации соответствующих прогностических оценок). Построив модель прогноза по первой части динамического ряда, прогнозируют уровни второй части ряда. Рассматривая разности фактических уровней второй части динамического ряда и спрогнозированных, получают ошибки прогноза, которые характеризуют точность построенной прогностической модели и могут оказаться полезными при сопоставлении нескольких методов прогнозирования, Ошибку ретроспективного прогноза нельзя рассматривать как окончательное решение о пригодности или непригодности применяемого метода прогнозиро­ вания, так как она получена с использованием лишь части данных.

В качестве мер точности прогноза используются различные показатели, которые будут рассмотрены ниже.

Проверка точности единичного прогноза мало что говорит исследовате­ лю, так как на формирование исследуемого явления влияет множество факто­ ров. Поэтому полное совпадение или значительное расхождение прогноза и его реализации может быть следствием благоприятного или неблагоприятного стечения обстоятельств. Хороший единичный прогноз может быть получен и по плохой модели. Поэтому вводятся качественные показатели точности прогноза. О качестве прогнозов можно судить лишь по совокупности сопостав­ лений прогнозов и их реализаций. Наиболее простои мерой качества прогнозов является отношение числа случаев, когда фактическая реализация охватывалась интервальным прогнозом, к общему числю прогнозов:

η = p(p + q) ,

где р – число прогнозов, подтвержденных фактическими данными; q — число прогнозов, не подтвержденных фактическими данными.

Проверка качества точечных прогнозов осуществляется рядом статисти­ ческих характеристик, предложенных Г. Тейлом. При этом измерители качества и точности прогнозов рассматриваются при условии, что исследователь распо­ лагает информацией об истинных значениях показателей, которые он прогнози­ ровал. В практической работе точность прогноза нужно оценить, когда гори­ зонт прогнозирования еще не достигнут и истинное значение прогнозируемого показателя неизвестно. Поэтому точность и качество прогноза рассматриваются

134

априорно. При прогнозировании статистическими методами понятие точности связывается с длиной доверительного интервала. Прогностическая модель, да­ ющая более узкий доверительный интервал при одной и той же доверительной вероятности, считается более точной. Сопоставление моделей можно связать и со степенью смещенности параметров, получаемых при альтернативных мето­ дах их оценивания.

На практике для оценивания прогнозных свойств модели наибольшее рас­ пространение получили тесты двух видов: первый основан на оценке ошибок ретроспективных прогнозов модели, второй — на оценке ошибок перспектив­ ных прогнозов.

Ретроспективные прогнозы включают внутрибазовые (ex-post) и внеба­ зовые (ex-post) прогнозы. Внутрибазовые прогнозы описаны на реальных на­ чальных условиях и значениях экзогенных переменных в прогнозируемый пе­ риод, закономерности которого отражены в параметрах модели. Взаимосвязи переменных во внебазовых прогнозах в данный период не учтены в параметрах. Эти прогнозы основаны на предварительной информации о начальных услови­ ях и прогнозе экзогенных переменных. Поэтому для оценки прогностических моделей наибольший интерес представляют перспективные (ex-ante) прогнозы, но для их сопоставления необходимо время, чтобы получить реальную инфор­ мацию в прогнозируемый период.

Надежность прогноза определяется вероятностью того, что прогнозируе­ мый показатель примет соответствующее значение. Чем выше эта вероятность, тем выше и надежность прогноза.

Вероятность прогноза может быть оценена с помощью экспертных оце­ нок или доверительных интервалов.

Понятия точности и надежности прогнозов, связанные с доверительными интервалами, являются в значительной мере условными показателями. Их мож­ но использовать в том случае, когда прогностичная модель имеет серьезное теоретическое обоснование и спецификация моделей корректна.

Так как универсальных критериев точности и надежности прогнозов не существует, то при оценке прогностических свойств моделей целесообразно сравнение точности прогнозов, полученных с помощью различных моделей. При этом к оценке точности может быть три подхода: 1) теоретические довери­ тельные интервалы прогноза, определяемые точностными характеристиками модели; 2) эмпирически оцениваемая точность ретроспективных прогнозов; 3) оценка ошибок перспективных прогнозов, реализованных на модели.

Рассмотрим меры точности прогноза и качественные показатели ошибок прогнозов.

12.2. Меры точности прогнозов. Стандартная ошибка прогноза

Известно, что рассеяние значений некоторой переменной вокруг средне­ го, как правило, измеряется стандартным отклонением. Стандартное отклоне­ ние вычисляется как корень квадратный из дисперсии. Дисперсия — это сред­

135

нее квадратов ошибок. При вычислении дисперсии, возводя в квадрат ошибки, получаем неотрицательные величины. Существует и другой способ сделать ошибки неотрицательными, независимо от того, были они первоначально отри­ цательными или положительными. Для этого рассматривается модуль ошибки. И тогда стандартное отклонение можно оценить следующим образом.

	Назовем разность между фактическим значением yt									и прогнозом y*t
	ошибкой прогноза et т.е. et = yt				- y*t . Тогда в качестве меры разброса есте­
	ственно взять среднее абсолютное отклонение ошибки
				1	n		yt - y*t
	et =								,	(12.1)
					å
				n t=1

где n — число уровней ряда динамики.

Так как фактическое значение прогнозируемого показателя неизвестно, в качестве среднего нужно взять экспоненциально взвешенную среднюю, а сред­ нее абсолютное отклонение можно вычислить по формуле экспоненциально взвешенной средней абсолютных значений ошибок

~		et		+ (1 − α)MADt			−1			(12.2)
MADt = et = α
(значение α лежит в пределах от 0,05 до 0,3). Так как						et			— величина неотри­

цательная, среднее абсолютное значение всегда неотрицательно.

Из практики известно, что для довольно большого класса статистических распределений значение стандартного отклонения несколько больше значения среднего абсолютного отклонения и строго пропорционально ему. Константа пропорциональности для различных распределений колеблется между 1,2 и 1,3. Для нормального распределения константа пропорциональности равна

p2 = 1,2533. Поэтому

~	(12.3)
St = 1,25et .

Итак, процедура оценивания стандартной ошибки прогноза состоит из следующих действий:

1)вычисляется ошибка прогноза как разность между фактическим значе­ нием уровня и его прогнозом: et = yt - y*t ;

2)вычисляется новое значение среднего абсолютного отклонения по фор­ муле (3.71); 3)для получения стандартного отклонения значение среднего абсолютно­

го отклонения умножается на 1,25.

Стандартная ошибка прогноза — один из основных показателей измере­ ния точности прогноза. При относительно малом горизонте прогнозирования с

136