14. Оценка случайных погрешностей косвенных измерений. Коэффициент корреляции, доверительные границы, критерий ничтожных погрешностей.

За результат косвенного измерения принимается Q=f(x1,x2,…xn). Оценка Q, и Xn аналогичны как и для прямых измерений.

СКО определяется по формуле:

,- частные производныеx_i высчитанные при косвенных измерениях

- СКО.

_Rxi,xj – среднее значение корреляционной функции, равное оценке корреляции между погрешностями xi и xj

- частная погрешность xi при косвенных измерениях.

Значение этой производной и характеризует вес этой погрешности оценки СКО и является числовым коэффициентом.

Коэффициент корреляции определяет степень статистической связи между случайными величинами x_i и x_j. Его возможные значения от -1 до 1.

В процессе обработки косвенных измерений наблюдается 2 случая:

1. Случай независимых частных измерений.

R_ij = 0.

Такой случай имеет место на практике, когда x_i и x_j измеряются с помощью различных средств в разное время, разными операциями.

2. R_ij≠0. Случай зависимых частных погрешностей. Они имеют место, когда x_i и x_j измеряются одним оператором, при одновременном измерении.

Тогда коэффициент корреляции определяется по формуле:

где n – наименьшее из чисел наблюдения.

Доверительные границы случайных погрешностей для косвенных измерений определяются по формуле:

При проведении косвенных измерений вводится понятие ничтожных погрешностей – погрешности относительно малые по сравнению с другими.

Критерий ничтожных погрешностей:, если удовлетворяет данному критерию, то погрешность можно отбросить.

15.Обработка результатов измерений с многократными наблюдениями.

Все неисключенные систематические погрешности необходимо просуммировать между собой для оценки доверительных границ неисключенной систематической погрешности результата измерения Δ_с производится по формуле

Где Δ_с граница i-й неисключенной систематической погрешности; m – число суммируемых погрешностей; k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. При Р=0,95 k=1,1, а при Р=0,99 k=1,4. Следует отметить в виду, что при m<4 значения Δ_с вычисленное по формуле может оказаться больше значения

Чего не может быть. Поэтому в качество оценки границы неисключенной систематической погрешности результата измерения при m<4 нужно принять значения которое меньше. Неисключенные систематические погрешности X_i косвенных измерениях можно оценить по формуле

А доверительные границы неисключенных систематических погрешностей результатов косвенного измерения по прошлым формулам.

2) С помощью критериев проверяется принадлежность исправленных результатов наблюдений к нормальному распеределению.

3) В случае прямых равноточных измерений по формуле

рассчитывается значения X, которое принимается за результат измерения. Для прямых неравноточных измерений таким образом вычисляются значения X_j , а при косвенных измерениях – значения X_i и X_j.

4) По формуле

находятся случайные отклонения v_i и с помощью соотношения ∑ _vi = 0 проверяется правильность расчетов X, X_i, X_j и v_i.

5) По формуле

вычисляются оценки σ_x σ_xi σ_xj . С помощью критеря проверяется наличие грубых погрешностей. Наблюдения содержащие грубые погрешности, исключаются из ряда, и вычисления по 3 – 5 повторяются.

6) По формуле вычисляются оценки σ_x- , σ_xi-, σ_xj-.

7) По формуле

для прямых неравноточных измерений или по формуле

для косвенных измерений рассчитываются значения X и Q, которые принимают за результат соотвествующих измерений.

8) В случаем косвенных измерений рассчитываются значения весовых коэффициентов df/dX_i|x_i=xi и по формуле

определяются частные погрешности Ex_i-. Если они не коррелированны, то по формуле вычисляется значения σ_Q. При коррелированных частных погрешностях по формуле вычисляется оценка R_ij и затем по формуле

=

рассчитывается искомое значение

9) По заданной доверительной вероятности Р и числу наблюдений n определяется коэффициент Стьюдента t. Его нужно смотреть в таблице. Если же n<30 то надо рассчитать (n-1)_эф.

10) По формуле для прямых измерений или по формуле для косвенных измерений рассчитывается доверительные границы случайных погрешности результата Δ^o.

11) В случае прямых равноточных измерений рекомендуется далее вычислить отношение Δ_с/ σ_x- . Если оно меньше 0.8, то значением Δ_с можно пренебречь по сравнению с Δ^o и принять, что доверительные границы погрешности результата измерения Δ= Δ^o. Если же Δ_с/ σ_x- > 8 то пренебрегают Δ^o и принимают Δ= Δ_с. Если эти неравенства не выполняются, значения Δ рекомендуется вычислить по формуле

(33 1.41 ипануцца).

погрешностью не более 10% формула заменяется на которая может считаться универсальной для всех рассматриваемых видом измерения.

12) Записывается окончательный результат измерений по одной из стандартных форм.