9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

О: Элементарной функцией называется функция, записанная одной формулой и составленная из основных элементарных функций с помощью символов четырех арифметических действий +, -, ´, : и операции суперпозиции функций.

2cos x

Например, y = 1+log2x — элементарная функция.

Мы в основном будем изучать элементарные функции.

Литература: [1. С. 4–8, 18–30]; [2. С. 77–108]; [3. С. 16–28]; [5. С. 84–100, 104–125].

7. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Опорный конспект ¹ 7

7.1. Предел последовательности

xn = f(n), n Î N, lim xn = a Û
	x®¥
Û " e > 0	$N = N(e): n > N Þ |xn - a| < e

Геометрически:

n> N Þ xn Î (a - e, a + e)

7.2.Предел функции в точке

lim f (x) = b Û " e > 0 $d = d(e):

x®a

0 < |x - a| < d Þ |f (x) - b| < e

Геометрически:

	a - e		a		a + e
	Y
	b+e
	b
	b -e						X
	O		a -d a		a +d

xÎ (a - d, a + d) Þ f (x) Î (b - e, b + e)

7.3.Бесконечно малые и бесконечно большие функции

a(x) — á.ì., x ® a Û lim a(x) = 0,

x ®a

f (x) — á.á., x ® a (lim f (x) = ¥) Û

x ®a

'

Ы "M > 0 $d = d(M): |x - a| < d Ю |f (x)| > M Связь б.м. и б.б.: 1/0 = ¥, 1/¥ = 0

7.4. Леммы о б.м.

Ë.1: a, b, g — á.ì., x ® a Þ (a + b — g) — á.ì., x ® a

Ë.2: |f (x)| < M, a(x) — á.ì., x ® a Þ Þ f (x)a(x) — á.ì., x ® a

7.5. Теоремы о пределах

Ò.1: lim c = c, c — const

x ®a

T.2: (о связи функции с ее lim)

f (x) = b + a(x), a(x) — á.ì., x ® a Û lim f (x) = b

x ®a

Ò.3:

Ò.4:

Ò.5:

lim [ f1(x)

x ®a

lim [ f1(x)

x ®a

lim f1(x)

x®a f2 (x)

± f2 (x)] = lim f1(x) ± lim f2 (x)
		x ®a		x ®a
× f2 (x)] = lim f1(x) × lim f2 (x)
		x ®a		x ®a
	lim f1(x)
=	x®a		,	lim f2 (x) ¹ 0
	lim f2 (x)			x®a

x®a

7.6. Неопределенности

{0}

{¥}

{

}

{

}

{

}

0

,

¥

,

0

× ¥ ,

¥ - ¥ ,

1¥

sin x

ì0ü

I замечательный предел:

lim

= í

ý = 1

x

x®0

î0þ

II замечательный предел:

n

æ

1 ö

1 / n

¥

lim ç1 +

÷

= {1

} = lim

(1 + n)

= e

n

n®¥ è

ø

n®0

7.7. Сравнение б.м.

ì0 Û a = o(b), x ® a

a(x)

ï

¥ Û a, b

– одного порядка

lim

ïA ¹ 0,

= í

x®a b(x)

1 Û a

: b

ï

ïî$ Ы a, b – несравнимы

'

Ò.: a(x) ~ a¢(x), b(x) ~ b¢(x), x ® a Þ

Þ lim	a(x)	= lim	a¢(x)
x ®a b(x)		x ®a b¢(x)

7.1. Предел последовательности

О: Последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве N натуральных чисел, т.е. xn= f (n).

Пример: xn = 1/n, n Î N; xn = n2, n Î N.

О: Число a называется пределом последовательности xn ïðè

неограниченном возрастании n (a = lim xn ), åñëè äëÿ ëþ-

n®¥

бого числа e > 0 найдется номер N, зависящий только от e и такой, что при n ³ N(e) выполняется неравенство |xn - a| < e.

Символическая запись определения:

a = lim xn Û "e > 0	$N (e): n ³ N (e) Þ |xn - a |< e.
n®¥
Пример: Интуитивно lim		1	= 0.
	n®¥ n

Докажем это, т.е. что для любого числа e > 0 существует N(e) такое, что при n ³ N(e) выполняется |1/n - 0| < e. Из последнего неравенства следует, что n > 1/e, т.е. N(e) = [1/e]

Введем геометрическое истолкование определения предела последовательности, используя понятие окрестности точки.

Неравенство |xn - a| < e Û a - e < xn < a + e Û xn О (a - e, a + e), т.е. начиная с некоторого N(e), члены последовательности нахо-

дятся в e-окрестности т. a: U (a).

e

7.2. Предел функции в точке

Введем понятие предела функции f (x), когда независимая переменная х приближается к т. а.

'!

О: Число b называется пределом функции y = f (x) при х ® a, если для любого числа e > 0 существует такое число d, зависящее только от e, что из неравенства 0 < |x - a| < d следует неравенство | f (x) - b| < e.

Символическая запись определения:

b = lim f (x) Û "e>0 $d = d(e): 0< x - a < d Þ f (x) - b < e.

x®a

Дадим геометрическое истолкование предела функции в точ- ке. Имеем 0 < |x - a| < d Ы x О (a - d, a + d)\a, | f (x) - b| < e Ы Ы f (x) О (b - e, b + e), т.е. если х содержится в d-окрестности т. a, то график функции находится в полосе между y = b - e и y = b + e (рис. 7.1). Отметим, что если функция имеет предел при х ® a, то он единственен. Действительно, в силу определения функции при наличии двух пределов b1 è b2 при х ® a график функции не мог бы находиться сразу внутри двух полос: f (x) О (b1 - e, b1 + e), f (x) Î (b2 - e, b2 + e), åñëè e < (b1 + b2)/2.

Y
b +e
b
b- e
O	a - d	a	a + d X
		Ðèñ. 7.1

Аналогично определению предела последовательности вводится

èпредел функции при х ® ¥.

7.3.Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Важную роль в математическом анализе играет понятие бесконечно малых (б.м.) функций.

О: Функция y = a(x) называется б.м. при x ® a, если

lim a(x) = 0.

x®a

'"

Функция	y = f	x	x ® a (lim f (x) = ¥),
		( ) называется б.б. при
			x®a

если для любого числа M > 0 существует такое число d, зависящее только от М, что из неравенства 0 < |x - a| < d следует неравенство | f (x)| > M.

Символическая запись определения:

f (x) — б.б., x ® a Ы "М > 0 $d = d(M): 0 < |x - a| < d Ю | f (x)| > M. Между б.м. и б.б. функциями существует тесная связь.

Т: Функция, обратная к бесконечно малой, является б.б. и

наоборот: a(x) — б.м., x ® a Ы 1/a(x) — б.б., x ® a (a(x) ¹ 0

(

â U (a)) n

qПусть lim a(x) ® 0, тогда "e > 0 $d = d(e): 0 < |x - a| < d Ю

x®a

Þ|a(x)| < e. Из последнего неравенства имеем, что в той же d-окрестности т. a: |1/a(x)| > 1/e.

Обозначая 1/e = М, по определению б.б. функции имеем: 1/a(x) — б.б., x ® a. x

Примеры: 1) Функция (x - 1)2 — á.ì. ïðè x ® 1, à 1/(x - 1)2 —б.б. 2) Последовательность 1/n2 — á.ì. ïðè n ® ¥, à n2 — á.á.

7.4. Леммы о бесконечно малых

Установим важные вспомогательные теоремы.

Л.1: Алгебраическая сумма конечного числа б.м. при x ® a является б.м. u

q Пусть U(x) = a(x) + b(x) — g(x), где a(x), b(x), g(x) — б.м. при x ® a. Тогда для любого числа e/3 > 0 найдется (по определению б.м. и предела функции) такая d-окрестность т. a, в которой |a(x)| < e/3, |b(x)| < e/3, |g(x)| < e/3. Используя неравенство |a + b| £ |a| + |b|, имеем

|U(x)| = |a(x) + b(x) - g(x)| £ |a(x)| + |b(x)| + |g(x)| < < e/3 + e/3 + e/3 = e.

Отсюда по определению предела функции limU (x) = 0 x

x®a

Прежде чем сформулировать следующую лемму, дадим определение ограниченной функции.

'#

О: Функция y = f (x) называется ограниченной в окрестности т. а, если существует число М > 0, такое что |f (x)| < M в этой окрестности ($M > 0: |f (x)| < M "x О (a - d, a + d))·

Отметим, что функция f (x), имеющая предел при x ® a

(lim f (x) = b), ограничена в окрестности т. а. Действительно, в d-

x®a

окрестности т. а используем определение предела функции, имеем

| f (x)| = | f (x) - b + b| £ | f (x) - b| + |b| £ e + |b|.

Обратное не верно, т.е. ограниченная функция может не иметь

предела. Например, lim sin	1	$,	õîòÿ	sin	1	£ 1. Но для монотон-
x®0 x					x

ной последовательности {xn}, n О N, имеет место теорема.

Т: Ограниченная монотонно возрастающая (убывающая) последовательность {xn} имеет предел. Доказательство см. в [10. С. 48]. n

Л.2: Произведение ограниченной в окрестности т. а функции на б.м. при x ® a является б.м. u

q Обозначим b(x) = f (x)a(x), где | f (x)| < M в окрестности т. а,

lim a(x) = 0. Согласно определению предела функции для любого

x®a

числа e/M > 0 найдется d-окрестность т. а, в которой |a(x)| < e/M. Имеем |b(x)| = | f (x)||a(x)| << Me/M = e, откуда по определению пре-

дела функции lim b(x) = 0 x

x®a

Ñл е д с т в и е. Произведение конечного числа б.м. при x ® a является б.м.

Следствие вытекает из леммы 2 и ограниченности функции, имеющей предел.

7.5. Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы о правилах предельного перехода. Т.1: Предел постоянной равен самой постоянной n

Доказательство следует из определения предела функции, так как |c - c| = 0, если с = const.

'$

Т.2: (о связи функции с ее пределом). Для того чтобы

lim f (x) = b, необходимо и достаточно выполнение равен-

x®a

ñòâà f(x) = b + a(x), ãäå a(x) — á.ì. ïðè x ® a (lim f (x) = b Û

x®a

Û f(x) = b + a(x), a(x) — á.ì., x ® a) n

q Запишем цепочку равносильных утверждений, следующих из определения предела функции и определения б.м.:

lim f (x) = b Û ("e > 0 $d = d(e): 0 < |x - a| < d Þ

x®a

Þ | f (x) - b| < - e) Û f (x) - b = a(x):

lim a(x) = 0 Û f (x) = b + a(x), a(x) — á.ì., x ® a x

x®a

Т.3: Предел суммы конечного числа функций, имеющих пределы при x ® a, равен сумме их пределов n

q Пусть lim f1(x) = b1,	lim f2(x) = b2, тогда по теореме 2 име-
x®a	x®a

åì f1(x) = b1 + a1(x), f2(x) = b2 + a2(x), ãäå a1(x), a2(x) — б.м. при x ® a, следовательно, f1(x) + f2(x) = (b1 + b2) + (a1(x) + a2(x)).

Используя лемму 1 о б.м., заключаем, что a1(x) + a2(x) — á.ì. ïðè

x ® a, и по теореме 2 получаем равенство lim[ f1(x) + f2(x)] =
= b	+ b	x	x®a
1	2

Т.4: Предел произведения конечного числа функций, имеющих пределы при x ® a, равен произведению пределов n

Методика доказательства аналогична доказательству Т.3.

С л е д с т в и е. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Т.5: Предел отношения двух функций, имеющих пределы при x ® a, равен отношению их пределов (если предел знаменателя не нуль), т.е.

	f1(x)		lim f (x)
lim		=	x®a 1
				(x) n
x®a f2(x)			lim f2
			x®a

q Пусть lim f1	(x) = b1,lim f2(x) = b2, тогда, используя Т.2, ана-
x®a	x®a

логично доказательству Т.3 запишем

'%

f1(x)

-

b1

=

b1 + a1(x)

-

b1

=

b2a1(x) - b1a2(x)

,

f

2

(x)

b

b

+ a

2

(x)

b

b2

+ b a

2

(x)

2

2

2

2

2

ãäå lim a1(x) = 0,	lim a2(x) = 0. Числитель последней дроби по
x®a	x®a
леммам о б.м. является б.м. Покажем, что (b22 + b2a2(x))-1		являет-

ся функцией ограниченной, тогда дробь по лемме 2 о б.м. явля-

åòñÿ á.ì., è ïî Ò.2: lim f1(x) = b1 . x®a f2(x) b2

Имеем в некоторой d-окрестности т. а для любого e > 0 вследствие справедливости |a - b| ³ |a| - |b|:

		1			£		1				<		1	,
	b2	+ b a	2	(x) b2			- | b a	2	(x) |			b2	- e
2		2		2			2				2
т.е. ограниченность				(b22 + b2a2(x))-1						доказана x

7.6. Понятие о неопределенностях. I и II замечательные пределы

Основные теоремы о пределах облегчают нахождение пределов. В простейших случаях оказывается достаточным подставить в функцию предельное значение аргумента. Если же при такой подстановке получается неопределенное выражение вида

ì0ü ì¥ü

¥

í

ý,í

ý,{ 0 × ¥} ,{ ¥ - ¥} ,{1 } , то нахождение предела для таких

î0

þ î¥þ

случаев называют раскрытием неопределенности.

Примеры:

1)

lim

x2 - 2x 0

0;

=

=

x ®2 x + 2

4

2)

lim

x2 - 2x

0

= lim

x(x - 2)

= lim x = 2.

=

{0}

x ®2 x - 2

x ®2 x - 2

x ®2

Рассмотрим, как раскрываются неопределенности в так называемых I и II замечательных пределах. Предварительно сформулируем теорему о пределе промежуточной функции.

'&

Т: Если j(x) £ f (x) £ y(x) в окрестности т. а и lim j(x) =

x®a

= lim y(x) = b, òî è lim f (x) = b n

x®a x®a

q По определению предела функции для любого e > 0 в некоторой d-окрестности т. а: |j(x) - b| < e, |y(x) - b| < e, т.е. | f (x) - b| £

£ min(|j(x) - b|, |y(x) - b)|) < e è		lim f (x) = b x
		x®a
		sin x		ì0		ü
I замечательный предел:	lim			= í		ý = 1.
		x
	x®0			î0		þ

q Пусть 0 < x < p/2, построим в тригонометрическом круге радиусом R = 1 угол х = AOB и в т. А проведем касательную до пересечения ее с радиусом ОВ (рис. 7.2). Очевидно, что выполняются неравенства для площадей DОАВ, сектора ОАВ и DОАС: SDÎÀÂ < SсектораОАВ < SDÎÀÑ .

YC

B

x

OA

Ðèñ..77.2.2

1

sinx

1

2

x

Òàê êàê

SDOAB =

|OA| |OB|sin x =

,

SсектораOAB =

R

x =

,

2

2

2

2

SDOAÑ =

1

|OA| |AC| =

tgx

, то неравенство принимает вид

2

2

sin x

<

x

<

tg x

Û 1 <

x

<

1

Û cos x <

sin x

< 1.

2

2

2

sin x

cos x

x

Если -p/2 < x < 0, то в силу равенств cos(-x) = cosx, sin(-x)/(-x) =

= (sinx)/x неравенство сохраняется. Так как lim cos x = 1, то по тео-

x®0

реме о промежуточной функции получим доказываемое равенство.

(Справедливость параллельного перехода lim cos x = 1 следует из

x®0

непрерывности функции y = cos x, см. ниже п.8.1.) x

Прежде чем перейти ко II замечательному пределу, введем понятие натурального логарифма.

О: Касательной к графику функции y = f (x) в т. М (x, y) называется прямая, занимающая предельное положение секущей MN, когда т. N ® т. М по графику y = f (x) (рис. 7.3).

''

Обозначим буквой A основание а той логарифмической функции y = logax, для которой касательная к ее графику в т. М (1, 0) образует угол a = 45° с осью OX (рис. 7.4).

	Y
Y
N			N
				y = ln x
M	M	45o
O	1	h	K	X
X
O
Ðèñ. 7.3	Ðèñ. 7.4
Ðèñ. 7.3		Ðèñ. 7.4

Значение е подсчитано: оно заключено между 2 и 3 и е » 2,71828... Логарифмы чисел по основанию е обозначаются lnx и называются натуральными логарифмами.

1 / h	} = e.
II замечательный предел: lim (1 + h) = {1¥
h®0

qПостроим на графике y = lnx (рис. 7.4) секущую MN, для

· ln(1 + h)

которой N (1 + h, ln(1 + h)). Тогда tgNMK =

. Ïðè h ® 0

h

·

ln(1 + h)

N ® M, tgNMK ® tg45° = 1, и следовательно,

lim

= 1.

Èñ-

h®0

h

пользуем далее равенство elny = y. Тогда

1

h

1 / h

lim

ln(1+h)

æ

ö

ln 1+h

h

lim ç1 +

= lim e

= eh®0

= e.

h

÷

h®¥ è

ø

h®0

Здесь мы применили предельный переход lim ey = elimy, справедливость которого следует из непрерывности показательной функции (см. ниже п.8.1) x

Отметим, что при замене h = 1/x, где х ® ¥, получаем другую

		æ	1	öx	¥
	запись II замечательного предела: lim	ç1 +		÷	= {1	} = e.
			x
	x®¥	è		ø