5. Дисперсионный анализ: однофакторная модель.

Дисперсионный анализ объединяет значительное число задач математической статистики, в которых анализируется влияние тех или иных факторов на конечный результат. Предлагается к рассмотрению простейшая модель, в которой проверяется гипотеза о влиянии одного фактора.

Пусть имеется k независимых выборок

(5.1)

Все параметры m₁; m₂; …; m_k; σ² – неизвестны.

Проверяются гипотезы – H₀ : m₁ = m₂ = … = m_k = т ,

альтернативы – H₁ :  i ≠ j, такие, что ≠_. .(5.2)

Такая задача возникает, например, в следующей ситуации. Пусть на k однотипных станках производятся или обрабатываются одинаковые детали. На выходе у каждой детали замеряется некоторый параметр (например, диаметр). Он является случайной величиной вследствие неизбежных отклонений от стандарта. Получаются те самые k выборок, причём индекс i = 1 ÷ k нумерует станки, а индекс j= 1 ÷ перечисляет детали, прошедшие через конкретный станок.

Гипотеза H₀ утверждает, что неважно через какой станок прошла конкретная деталь – фактор станка не играет роли. Это соответствует тому, что средние значения всех выборок совпадают. Конкурирующая же гипотеза утверждает о наличии систематических отклонений для некоторых станков.

В более общем случае, можно трактовать рассмотренные выборки как отдельные группы в общем множестве наблюдений. Тогда гипотеза H₀ утверждает, что это множество однородно – точнее, все наблюдения извлечены из одной генеральной совокупности, распределённой нормально с Φ(m, σ²). Альтернативная гипотеза говорит о том, что на множестве наблюдений действует хотя бы один посторонний фактор, что и вызывает расслоение множество наблюдений на неоднородные группы.

Для решения поставленной задачи рассмотрим следующие величины:

–выборочные средние; – общее среднее, гдеN = ; Q₁ = – сумма квадратов отклонений между выборками (группами) – характеризует степень расхождения систематических ошибок, т. е. рассеивание по факторам ; Q₂ = – внутригрупповая (выборочная) сумма квадратов отклонений – характеризует остаточное рассеяние, т. е. погрешности отдельных опытов; Q = – полная сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего.

С помощью простых преобразований можно показать: Q = Q₁ + Q₂.

Если верна гипотеза H₀, то Q /(N – 1) является несмещённой оценкой для σ², а величина Q /σ²  χ²_{N – 1} , т. е. имеет хи-квадрат распределение с N – 1 степенью свободы. Также в предположении верности нулевой гипотезы все независимы и распределены нормальноN(m, σ²/). Тогда их среднее арифметическое (т. е. общее среднее) имеет оценку дисперсии /(k – 1) = kQ₁/N(k – 1), т. е. величина Q₁ /σ²  . Но и величинаQ₂ /σ² = Q /σ² – Q₁ /σ² = /σ² =–

Нетрудно доказать, что Q₂ и Q₂ – независимы. Тогда справедлива теорема.

Теорема 5.1. Если верна гипотеза H₀, то приведённая ниже величина имеет распределение Фишера с (k – 1) и (N – k) степенями свободы, т. е.

. (5.3)

Соотношение (5.3) задаёт критерий для проверки гипотезы H₀ для однофакторного дисперсионного анализа. Задаваясь уровнем значимости гипотезы 1 – ε = 1 – q/100, по таблице распределения Фишера находим q – процентное критическое значение F_q . Гипотеза H₀ принимается с вероятностью 1 – ε, если выполняется неравенство F ≤ F_q. Критическая область для данной гипотезы соответствует области решений уравнения P{ F > F_q} = ε = q/100.