v0.5.7.final / Тема 2

101 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

- ортогональности: скалярное произведение двух любых столбцов матрицы равно нулю

n
z Tj zu zij ziu	0	( j, u 0, 1,..., m	u j);

i 1

- нормировки: скалярное произведение двух одинаковых столбцов матрицы

равно n ( n 2m в ПФЭ)
n
z Tj z j zi2j	n	( j 0, 1, ..., m).
i 1

Благодаря перечисленным оптимальным свойствам матрицы планирования информационная матрица в ПФЭ при m=2 равна

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

102 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

				T										n	0	0
													0 n			0 ,
					Z							Z
~	~				~						T
3 3	3 4				4 3			3 4			4 3
															0
														0		n

т.е. она является диагональной с одинаковыми элементами на главной диагонали, равными n = 22 = 4.

Соответственно, корреляционная матрица C также будет диагональной и с одинаковыми элементами главной диагонали:

																	n	1	0	0
						T			1						1
~				~			~					T							n 1
C										Z Z						0				0
3 3																	0		0	n	1

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

103 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Результатом подстановки последних соотношений в матричную формулу для определения кодированных коэффициентов регрессии будет простая формула:

~	n
	zij				эксп	n ,			j 0, 1, ..., m
a j					yi
	i 1
При учёте взаимодействия двух факторов z1								и	z2 кодированное уравнение
регрессии принимает вид:
	ˆ ~				~			~		~
	y a0 z0				a1 z1			a2 z2		a12 z1 z2
и в матрицу планирования z				включается ещё один дополнительный последний

столбец, каждый элемент которого равен произведению элементов столбцов, соответствующих взаимодействующим факторам:

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

104 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

~

4 4

				z10
				z20
	Z
				z30
				z40

z		z		z		z				1	1	1	1
11		12			11	12
z		z		z		z				1	1	1
													1
	21		22		21		22
z31		z32		z31z32						1	1	1
													1
z41		z42									1	1
				z41z42					1				1

При этом матрица планирования сохраняет все три оптимальных свойства – симметричности, ортогональности и нормировки, а кодированный коэффициент уравнения регрессии при члене, характеризующем взаимодействие факторов, определяется по формуле:

~	n
	эксп	n,	j, u 1, ..., m	u j
a ju	zij ziu yi
	i 1

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

105 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

В теории ПФЭ доказывается, что при увеличении числа факторов (m>2) матрица планирования z строится с использованием рассмотренной методики, в том числе и с учётом взаимодействия факторов (не только двойного, но и тройного, четверного и т.д.).

В этом случае число столбцов матрицы p зависит от числа учёта взаимодействий

факторов	m	сохраняет перечисленные
	и матрица(n планирования2 )
оптимальные свойства.
Поэтому для определения кодированных коэффициентов регрессии
используются приведённые выше формулы.

Для расчёта натуральных значений коэффициентов в кодированное уравнение
регрессии вместо кодированных факторов z j j 1,...m	следует подставить

выражения для последних через натуральные значения факторов x j j 1,...m в соответствии с приведённой выше схемой кодирования.

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

106 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Определение значимости кодированных коэффициентов регрессии

Незначимость кодированных коэффициентов регрессии определяется с

использованием квантиля t – распределения Стьюдента t табл при помощи

неравенства:

fe

		~
		a j			t таблf
S~
					e

a j

где β – доверительная вероятность (в инженерных расчётах равная 0,95);

fe – число степеней свободы дисперсии воспроизводимости (при одной серии параллельных опытов равная k -1).

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

107 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Выборочное значение квадратного корня дисперсии кодированного коэффициента регрессии определяется по формуле:

S~

~

S

,

C

jj

e

a j

где Se

- квадратный корень из дисперсии воспроизводимости, определяемой

по k параллельным опытам в центре плана эксперимента:

k

2

ycэксп

y0экспj

SSe

2

j 1

Se

k

1

fe

SSe -

сумма квадратов дисперсии воспроизводимости;

fe -

число степеней свободы дисперсии воспроизводимости.

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

108 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Как было показано выше, диагональные элементы корреляционной матрицы в ПФЭ при кодировании факторов одинаковы и равны 1/n, вследствие чего

S~	Se
a j		n

В результате условие незначимости кодированных коэффициентов регрессии

принимает вид:		~
		a j
					n t таблf
		Se
						e

~

Так как корреляционная матрица C в этом случае является диагональной, то кодированные коэффициенты регрессии статистически независимы и при одновременной незначимости нескольких кодированных коэффициентов регрессии они (в отличие от процедуры обработки пассивного эксперимента) могут быть сразу, все вместе, исключены из кодированного уравнения регрессии.

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

109 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Проверка адекватности уравнения регрессии

Проводится так же, как и при проведении пассивного эксперимента, с использованием табличного значения критерия Фишера, выбранного при доверительной вероятности β (чаще всего равной 0,95) и числе степеней свободы остаточной дисперсии ( fR ) и дисперсии воспроизводимости ( fe ) .

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

110 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Условие адекватности проверяется с использованием неравенства:

F расч	SR2		F табл
	S	2	β f R , fe
		e

где остаточная дисперсия, характеризующая точность уравнения, определяется по формуле:

				n ˆ I	эксп 2
				yi	yi		SSR
		S 2		i 1
		R		n p			fR
При этом	fR	n p , где n – число экспериментов при различных значениях
факторов;	p - число значимых коэффициентов регрессии.

К недостаткам ПФЭ относится резкое увеличение числа опытов при возрастании количества факторов больше, чем 5 ( при m = 5 n = 25 = 32 ).

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования