v0.5.7.final / Тема 2

31 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Для определения (подгонки) коэффициентов (параметров) модели необходимо, чтобы критерий МНК стал наименьшим.

Задача определения коэффициентов модели сводится к реализации одного из алгоритмов оптимизации для определения минимума критерия МНК:

min n yip yi 2

a a доп i 1

a доп - допустимая область изменения параметров a - ограничения первого рода.

Именно так решается задача параметрической идентификации для нелинейных моделей.

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

32 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

В данном случае возможно также воспользоваться необходимым условием экстремума функции многих переменных:

Cr	0;	Cr	0;	...	Cr	0
a		a			a
0		1			m

Для определения искомых коэффициентов эта система в общем случае нелинейных уравнений должна быть решена относительно коэффициентов

.

a0 , a1,...am

Однако, как показывает практика, решение систем нелинейных уравнений ничуть не проще, чем прямое решение задачи оптимизации с поиском минимума критерия МНК.

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

33 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Определение выборочных (эмпирических) коэффициентов регрессии для линейных по параметрам моделей (произвольное число входных переменных

x	xs	s 1,...r
r 1

Таблица проведения экспериментальных исследований в этом случае имеет вид:

	p	x1	x2		xr	yэ
n
1		x11	x12		x1r	y1э
2		x21	x22		x2r	y2э
n		xn1	xn2		xnr	ynэ

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

34 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Для линейных или линеаризованных по параметрам моделей необходимо представить критерий МНК в виде:

n	m		2
Cr a j j x yi
i 1	j 0

и, воспользовавшись необходимым условием экстремума функции многих переменных, решать полученную систему линейных алгебраических уравнений

(СЛАУ):

Cr

n

m

x

y

x

0

2

a

a0

j

j

i

i

0

i

i 1

j 0

Cr

n

m

x

y

x 0

2

a

a1

j

j

i

i

1

i

i 1

j 0

..............................................................

Cr

n

m

x

y

x 0

2

a

am

j

j

i

i

m

i

i 1

j 0

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

35 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Перегруппировав члены в последней системе уравнений, можно записать СЛАУ в виде:

m	n	xi	n	xi	yi
a j j			u xi u			( j,u 0,1,...m)
j 0	i 1		i 1

И, если ввести в рассмотрение информационную матрицу

uj	j 0,1,...m; u 0,1,...m :
n	xi j xi
uj u		j 0,1,...m; u 0,1,...m

i 1

то она окажется квадратной, симметричной и значения её элементов зависят только от входных переменных и конкретного вида функций j x

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

36 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

В матричном виде информационную матрицу можно представить в виде произведения транспонированной и исходной матрицы входных переменных :

T

Матрица, зависящая от входных переменных, имеет вид:

				x			x ...				m	x
			0	1		1	1					1
				x			x	...				x
			0	2		1	2			m		2
n m 1			...			... ...					...
				x			x	...				x
										m
			0	n		1	n					n

Соответственно правую часть рассматриваемой СЛАУ можно записать:

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

37 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

n	xi	yi
bu u			(u 0,1,...m)
i 1

или в матричном виде:

bT y

Врезультате СЛАУ, решаемая для определения коэффициентов эмпирической модели, может быть представлена:

m
uja j	bu	(u 0,1,...m)
j 0

или в матричном виде:

a b

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

38 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Если для определения коэффициентов использовать метод обратной матрицы, то получится:

1 a 1 b

1 ,

								1
	a
								b ,

1

a b

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

39 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Матричная формула для определения коэффициентов линейной регрессии (параметров эмпирической модели):

			T				1			T
ˆ
a								y

Таким образом, для определения коэффициентов линейной или линеаризованной регрессионной модели необходимо выполнить следующую последовательность действий:

• сформировать вектор наблюдений	yи вычислить его компоненты (только для
линеаризованных моделей);

• сформировать и рассчитать компоненты матрицы, зависящей от входных переменных

;

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

40 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

T ;

• транспонировать матрицу

T

:

• перемножить транспонированную матрицу

на исходную матрицу

T

;

T

1

• выполнить обращение информационной матрицы -

;

T

• умножить полученную обратную матрицу на матрицу

;

• умножить полученный результат на вектор наблюдений

и yполучить выборочные

коэффициенты регрессии

ˆ

a

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования