v0.5.7.final / Тема 2

61 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

р - число значимых выборочных коэффициентов регрессии

SR2 - остаточная дисперсия - характеризует погрешности уравнений (или моделей)

ипогрешности экспериментов;

ˆ-определяются с помощью коэффициентов по уравнению регрессии;

y

yэ - экспериментальные значения;

SSR - сумма квадратов остаточной дисперсии;

fR - число степеней свободы остаточной дисперсии;

n - число опытных измерений;

p - число значимых коэффициентов регрессии;

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

62 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Остаточная сумма квадратов SSR равна сумме квадратов дисперсии адекватности SSad , характеризующей погрешность уравнения регрессии и сумме квадратов дисперсии воспроизводимости SSe , характеризующей погрешность экспериментов.

SSR SSad SSe

Соответственно для числа степеней свободы остаточной дисперсии SR2 будет справедливо:

n

fR ki p fad fe

i 1

б) Определение дисперсии воспроизводимости Se2 .

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

63 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Дисперсия воспроизводимости		Se2 определяется из параллельных опытов,
когда их число различно в каждой экспериментальной точке и равно ki (i 1,...n) :
	n	ki	yi 2
	yiu				SSe
S 2	i 1 u 1
e		n			fe
		ki	1

i 1

	ki
	yiu
y	u 1
i	ki

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

64 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

в) Определение дисперсии адекватности Sa2d

В этом случае в соответствии с приведёнными ранее равенствами

	2		SSad
	Sad
			fad
	SSad SSR SSe		fad fR fe n p

4.4.2.Определение оценок дисперсий с одинаковым числом параллельных опытов в каждой точке k с изменением независимых переменных

Возьмём i –ую строку из предыдущей таблицы пассивного эксперимента и повторим в ней опыты k раз:

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

				k
				yij
		y	j 1		i 1,...n
		i		k
65 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
x, y		xi1					xir	yi
n
1		xi1					xir	yi1
k		xi1					xir	yik
		k
		yij yi 2				SSei
2		j 1					i 1,...n
Sei		k		1		fei

при этом среднее значение

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

66 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Se2i -дисперсия воспроизводимости – характеризует погрешность эксперимента в i-ой опытной точке;

yij - экспериментальные значения, полученные в параллельных опытах в i-ой точке;

yi - усреднённое экспериментальное значение в i-ой точке;

SSei - сумма квадратов дисперсии воспроизводимости в i-ом эксперименте;

fei k 1 - число степеней свободы дисперсии воспроизводимости в i-ой точке;

k - число параллельных опытов в i-ой экспериментальной точке.

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

67Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

4.4.3.Определение оценок дисперсий, когда параллельные опыты

проведены в любой отдельно взятой точке

Если k параллельных опытов проведены во всех экспериментальных точках первой таблицы эксперимента, то в соответствии со свойством однородности

дисперсии:						n	k	yi 2
						yij				SSe
			2			i 1	j 1
			Se
							n k 1			fe
			n
	Se		Se2i			и	fe n k 1 .
			i 1
т.к.	2

n

Для одинакового числа параллельных опытов в каждой экспериментальной точке ( k ) дисперсия адекватности определяется:

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

68 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

n

ˆ

2

k yi

yi

SSad

2

i 1

Sad

k

n

p

fad

yiu

k

u 1

yi

yi

y

k

2

2

j 1

SSe

Se

k

1

fe

В этом случае остаточная дисперсия

SR2

равна дисперсии адекватности Sa2d

n

2

yi

yi

SSad

SSR

S 2

S 2

i 1

R

ad

n p

fad

fR

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

69 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Для оценки дисперсий	y2 целесообразно использовать Se2 , а при отсутствии
параллельных опытов -	Sad2 .

Для определения оценок дисперсий коэффициентов используют оценку y2 -
остаточную дисперсию	S 2	, дисперсию воспроизводимости Se2	и дисперсию
адекватности Sa2d .	R

4.5. Определение значимости коэффициентов регрессии. (Выполнение второго этапа регрессионного анализа)

Для этого используется нормированная случайная величина:

			ˆ		ma j
t			a			,
	j
				a j

подчиняющаяся t –распределению Стьюдента.

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

70 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Воспользовавшись оценкой дисперсии

	S 2		S 2C		jj
	a	j		e
	S
						S 2
	a j			a j		a j

можно записать вероятностное соотношение:

			ˆ		ma j
P			a j						t таблfe .
			Se		C jj

В этом случае табличное значение t берётся при доверительной вероятности β (чаще всего 0,95) и числе степеней свободы дисперсии воспроизводимости fe .

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования