v0.5.7.final / Тема 2

21 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Регрессионный анализ проводится после того, как определён вид уравнения регрессии и найдены значения его коэффициентов

Этот анализ состоит в следующем:

•проверяется значимость всех коэффициентов уравнения регрессии

•устанавливается адекватность уравнения регрессии

При проведении регрессионного анализа принимаются следующие допущения:

•	входные переменные x измеряются с пренебрежимо малой ошибкой
•	результаты наблюдений выходной переменной y эксппредставляют собой

независимые нормально распределённые случайные величины

• при проведении экспериментов с объёмом выборки п при условии, что каждый опыт повторён одинаковое число раз, выборочные дисперсии S12 ,....Sn2 однородны

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

22 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

§3. Построение эмпирических моделей по данным пассивного эксперимента

3.1.Определение вида приближённого уравнения регрессии

Вобщем случае необходимо анализировать графики зависимостей экспериментальных данных выходных переменных y от входных x и по их виду выбирать конкретную форму приближенного уравнения регрессии.

Для случая одной входной переменной х по опытным данным рекомендуется

построить эмпирическую линию регрессии и с её помощью выбирать вид
приближенного уравнения регрессии.	Y
							y j

x		j	X
x j

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

23 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

При этом весь диапазон изменения x разбивается на s равных интервалов x.

Все точки, попавшие в данный интервал				x j , относят к его середине		x j .
После этого подсчитывают частные средние					y j для каждого интервала:
			n j
			y ji
	y		i 1	,	j 1,...s
	j		n j
n j	число точек в интервале x j .

В результате объём выборки определяется по формуле:

s

n j n

i 1

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

24 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Эмпирическая линия регрессии y по x получается в виде ломанной линии путём последовательного соединения отрезками прямой линии точек:

x , y ,	j 1,...s
j j

При выборе вида приближенного уравнения регрессии для случая нескольких входных переменных

x x1,...xm T

может быть применён Брандона, который здесь не рассматривается.

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

25 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

В общем случае различают два вида уравнений регрессии (эмпирических моделей) –

нелинейные по параметрам	a,
	статистический анализ которых осуществляется
методом «нелинейной регрессии» и линейные по параметрам		a,

статистический анализ которых проводится методом «линейной регрессии».

Линейные по параметрам модели могут быть представлены в следующем виде:

m

yˆ a j j x

j0

j x - линейные или нелинейные функции входных переменных

Определение параметров (коэффициентов) линейных моделей и их регрессионный анализ существенно проще, чем для нелинейных моделей.

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

26 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Поэтому нелинейные модели, по возможности, стараются линеаризовать и привести к виду.

Частными случаями уравнения линейной регрессии являются:

•полиномиальная регрессия, когда		j	x x j	j 0,1,...m

и её разновидности – линейная регрессия от одной переменной (m = 1):

yˆ a0 a1x

и параболическая регрессия (m = 2):

yˆ a0 a1x a2 x2

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

27 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
•трансцендентная регрессия и её разновидности в виде зависимости
	ˆ		x
			a0a1
показательного типа:	y

	ˆ		ln a0		x ln a1
которая линеаризуется логарифмически:	ln y

	ˆ	a1
и дробно-показательного типа:	y a0 x
			ˆ		ln a0		a1 ln x
которая также линеаризуется логарифмически:			ln y

•множественная регрессия, когда число входных переменных больше 1:

yˆ a0 a1x1 ... am xm x0 1

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

28 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

3.2. Определение коэффициентов регрессии – параметров эмпирических моделей (первый этап регрессионного анализа)

В соответствии с методологией регрессионного анализа в этом случае решается задача аппроксимации экспериментальных данных методом наименьших квадратов (МНК)

Для случая регрессии от одной переменной х графическая интерпретация МНК:

Y
y p
э
n
yn
y1э
y1p
	x1					xn	X

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

29 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

При этом эксперимент проводится с использованием следующей таблицы:

n	p		x		yэ
1			x1		y1э
2			x2		y2э
n			xn		ynэ

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

30 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Критерий МНК имеет вид:

	n	2
	Cr yip yi
где yip и yi	i 1
	определяются при одном и том же значении элементов вектора

xi i 1,...n

n – общее число опытов (объём выборки).

Согласно приближенному уравнению регрессии yip yˆi , поэтому критерий МНК также является функцией многих переменных от параметров

a a0 , a1,...am T

Cr Cr a0 , a1,...am

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования