v0.5.7.final / Тема 2

71 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Если предположить, что математическое ожидание коэффициента ma j	0 (т.е.
истинное его значение равно нулю), то условие незначимости коэффициента a j
имеет вид:

	ˆ
	a j				t таблf
Se C jj					e

Для значимых коэффициентов, раскрывая неравенство, получим следующий доверительный интервал:

ˆ

Se

табл

ma

ˆ

Se

табл

a j

C jj t f

a j

C jj t f

e

j

e

Это означает, что вместо оценки коэффициентов регрессии a j можно пользоваться их крайними значениями. Это в свою очередь приведёт к различным величинам yˆ в уравнении:

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

72 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

m

yˆ aˆ j j x

j1

Врезультате на графике вместо одной кривой, полученной по оценочным значениям коэффициентов регрессии, получается три: одна - минимальных

значений a j , вторая – максимальных значений a j и третья – сплошная, для оценочных значений коэффициентов регрессии:

y a min

ˆ

a

a max

x

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

73Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

4.5.1.Процедура исключения незначимых коэффициентов

регрессии

Незначимые коэффициенты следует исключать из уравнения регрессии. Однако так как матрица C в общем случае недиагональная, и коэффициенты статически зависимы, то после исключения одного коэффициента необходимо пересчитать оставшиеся и рассчитать сумму квадратов остаточной дисперсии. Если она не ухудшилась (не стала больше), то исключение было правомочным. В противном случае исключение было неправомочным.

В случае незначимости нескольких коэффициентов всегда исключается только один (т.к. существует статистическая зависимость коэффициентов), причём тот, для которого отношение

aˆ j

Se C jj

является наименьшим.

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

74 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Остальные коэффициенты пересчитываются, и, как указывалось выше, определяется SSR .

Исключение незначимых коэффициентов по одному производится до тех пор, пока остаточная сумма квадратов не ухудшается.

В случае незначимости нескольких коэффициентов в активном эксперименте изза диагональности матрицы C можно одновременно исключать все незначимые коэффициенты.

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

75Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

4.6.Проверка адекватности уравнения регрессии - математической модели. (Выполнение третьего этапа регрессионного анализа).

В результате успешного решения задачи идентификации (параметрической и структурной) должна получиться адекватная математическая модель (ММ).

Под адекватностью ММ понимается:

1.Качественное и количественное соответствие поведения ММ и объекта моделирования.

2.Выполнение этого соответствия как при одном наборе режимных параметров (адекватность состояния), так и при различных наборах режимных параметров (адекватность поведения).

3.Возможность интерполяции и экстраполяции свойств реального объекта с помощью ММ.

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

76Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

4.6.1.Оценка адекватности уравнения регрессии

Отношение дисперсии адекватности к дисперсии воспроизводимости

F	расч		Sad2
			S 2
			e

используется для статистической оценки адекватности уравнения регрессии. Для этой цели применяются таблицы F – распределения Фишера при доверительной вероятности β (0,9; 0,95; 0,99) и двух числах степеней свободы – дисперсии адекватности ( fad ) и дисперсии воспроизводимости ( fe ).

При использовании статистического распределения Фишера всегда рассматривается отношение большей дисперсии (в данном случае - Sad2 ) к меньшей (в данном случае - Se2 ).

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

77 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Это отношение равно F и для адекватной модели её рассчитанное значение должно быть не больше стандартного (табличного) значения распределения Фишера:

F расч F табл

fad , fe

В противном случае модель считается неадекватной.

Если нет параллельных опытов, то либо сравнивают для моделей остаточные дисперсии

		n	ˆ			2
		yi				yi
S 2		i 1
R			n	p

либо сравнивают эту величину с оценкой разброса опытных данных относительно среднего значения

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

78 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

n

yi

yср.

n

i 1

- дисперсией среднего:

n

ˆ

y

ср.

2

yi

SSср.

S 2

i 1

ср.

n

1

fср.

Так как последняя дисперсия больше

SR2

, то для критерия Фишера

рассматривают отношение

Sср2 .

к

SR2

и условие адекватности будет иметь

вид:

S

2

табл

ср

F

fср . , f R

S

2

R

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

79Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

4.6.2.Качественное и количественное соответствие свойств ММ и

объекта моделирования

Качественное соответствие – это когда тенденции изменения переменных в реальном объекте и ММ совпадают.

При оценке количественного критерия соответствия следует использовать аппарат статистического (в нашем случае – регрессионного) анализа.

Получаемый в результате количественный критерий соответствия не должен компенсировать качественное несоответствие.

Строго говоря, при анализе количественного критерия соответствия должны сравниваться:

yij	- экспериментальные значения случайной величины yij , полученные в
j – ом параллельном опыте i – го эксперимента
с	myˆi - математическим ожиданием рассчитанной по модели величины

выходной переменной yˆi для значений входных переменных xi в i – ом эксперименте.

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

80 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Если также ввести среднее значение в i – ом эксперименте

yi и рассчитанное

по ММ (уравнению регрессии) это же значение yˆi , полученное при тех же

величинах входных переменных

xi , что и в эксперименте, дающем

yi , то

будет справедливо:

эксп

myˆi

эксп

эксп

эксп

ˆ

ˆ

yij

yij

yi

yi

yi

yi

myˆi

S 2

Sa2d

S

2

e

y

Оценкой первых разностей будет дисперсия воспроизводимости

Se2 , которая

характеризует ошибку экспериментов.

Оценкой вторых разностей будет дисперсия адекватности Sad2 , которая характеризует ошибку уравнения (модели) в сравнении с экспериментальными величинами yi (если нет параллельных опытов в каждой экспериментальной точке – это не среднее значение, а просто измеренная величина).

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования