v0.5.7.final / Тема 2
.pdf111 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Для проведения регрессионного анализа при пренебрежении целым рядом несущественных взаимодействий факторов достаточно проводить меньшее число опытов. В этом случае можно реализовать часть ПФЭ, т.н. дробный факторный эксперимент (ДФЭ), который здесь не рассматривается.
ОЦКП и обработка его результатов
Ортогональный центральный композиционный эксперимент (ОЦКП) относится к экспериментам II – го порядка, так как описывающее его уравнение yˆ включает факторы в квадрате и поэтому может описывать поверхности функций отклика в окрестности их экстремальных значений.
Для двух факторов ( x1 и x2 ) с учётом только двойного взаимодействия факторов соответствующая эмпирическая модель может быть записана:
yˆ II a0 a1x1 a2 x2 a12x1x2 a11x12 a22x22
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
112 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Всоответствии с методикой ортогонального центрального композиционного плана эксперимента (ОЦКП) здесь, также как и для ПФЭ, осуществляется кодирование факторов по приведённой выше схеме, и для обеспечения
ортогонального свойства матрицы планирования эксперимента в уравнение регрессии yˆ включается некоторая постоянная S.
Врезультате уравнение регрессии при m = 2 принимает вид:
ˆ ~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
2 |
|
S |
~ |
2 |
|
S |
|
y a0 z0 |
a1z1 |
a2 z2 |
a12 z1z2 |
a11 |
z1 |
|
a22 |
z2 |
|
|
Для определения большего числа кодированных коэффициентов, чем при обработке ПФЭ, и описания поверхности функции отклика вблизи её экстремума («почти стационарной области»), количество опытов в этом случае увеличивается.
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
113 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
При этом опыты, проводимые при ПФЭ (n 2m ) , дополняются опытами в
«звёздных» точках факторного пространства (n 2m) и опытами в центре |
|
плана (nc ) с координатами z1 0 и |
z2 0 |
«Звёздные» точки в факторном пространстве располагаются на осях координат на расстоянии +α и –α от центра плана эксперимента; причём величина α называется «звёздным» плечом и её значения, так же как величина S, определяются из условия ортогональности матрицы планирования z для ОЦКП.
Общее число опытов N в ортогональном центральном композиционном эксперименте определяется по формуле:
N n n nc ,
или с учётом приведённых выше равенств:
N 2m 2m nc .
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
114 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Для случая двух факторов (m = 2):
N 8 nc
Расположение опытных точек в факторном пространстве для случая двух факторов в приведённой ранее кодированной системе координат может быть представлено:
( 1; 1) |
( 1; 1) |
|
|
|
|
|
(0;0) |
|
|
|
z1 |
|
|
|
( 1; 1) |
( 1; 1) |
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
115 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
План проведения экспериментов в этом случае может быть представлен:
Матрица планирования z представляет собой часть плана проведения эксперимента без горизонтальных и вертикальных заголовков таблицы и вектора наблюдения y (правого столбца).
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
116 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
2m
2m
nc
|
p |
|
|
|
|
|
|
y |
n |
z0 |
z1 |
z2 |
z1z2 |
z12 S |
z22 S |
||
|
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
1-S |
1-S |
y |
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
1-S |
1-S |
y |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
1-S |
1-S |
3 |
|
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
1-S |
1-S |
4 |
|
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
+1 |
-α |
0 |
0 |
α2-S |
-S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y6 |
|
6 |
+1 |
+α |
0 |
0 |
α2-S |
-S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y7 |
|
7 |
+1 |
0 |
-α |
0 |
-S |
α2-S |
y8 |
|
8 |
+1 |
0 |
+α |
0 |
-S |
α2-S |
y9 |
|
9 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-S |
-S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
0 |
0 |
0 |
-S |
-S |
y |
|
|
N |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-S |
-S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
117 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Определение величины «звёздного плеча» α и S из условия ортогональности матрицы планирования
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Матрица планирования Z |
|
была бы ортогональной, если бы выполнялись |
|||||||||
следующие равенства: |
z j |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
z0T |
|
|
|
|
( j 1, 2) |
||||||
|
S |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
z |
2 |
|
T z 2 |
|
|
0 |
||||
|
S |
S |
|||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
Раскрывая первое равенство, можно получить:
|
|
|
N |
n |
|
z0T z j |
|
|
zi0 zij2 zi0 S n 2α2 NS 0 |
j 1, 2 |
|
S |
|||||
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
118 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП |
|||||||||||||||
Откуда: |
|
|
|
|
|
n 2α2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
S |
||||||||||
|
|
|
|
|
N |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Раскрывая второе равенство, получаем: |
|||||||||||||||
|
z12 |
|
T z22 |
|
z12 T z22 z12 T |
|
|
|
T z22 |
|
T |
|
|
||
|
S |
S |
S |
S |
S |
S |
n n 2α2 S S n 2α2 NS 2 n 2NS 2 NS 2
n NS 2 0
Откуда:
S |
n |
|
|
||
N |
||
|
Последнее выражение используется для определения S.
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
119 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Приравнивая правые части двух выражений для S, можно найти формулу для определения α :
n 2 2 |
|
|
|
|
|
n |
|
||
N |
N |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
Nn n |
|
|
|
|
1 |
||
|
2 |
|
2 |
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате звёздное плечо α можно определить по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
N |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
||||||
|
2 |
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
120 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Определение кодированных коэффициентов регрессии
В соответствии с методом наименьших квадратов эти коэффициенты определяются по матричной формуле:
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
y |
|
, |
где |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
a |
C z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
C |
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из-за свойства ортогональности матрицы планирования z |
необходимо |
|||||||||||||||||||||
определить только диагональные элементы информационной матрицы: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|||
а затем диагональные элементы корреляционной матрицы: |
C |
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |