v0.5.7.final / Тема 2

11 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Пример. Определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью 0,95 располагается истинное значение измеряемого параметра, по результатам восьми титрований х, см3

76,48	76,25	76,43	76,48	77,20	76,48	76,45	76,60

Решение. Имеем функцию распределения Стьюдента:

	n
	x xi	n ;	x 76.546 см3 ;				ν 8 1 7
	i 1		t07.975 2.365
	Из таблиц находим
	Рассчитываем	2		n	2			2			3
				(xi x)		/ ν;			0.5543/ 7	0.079 см
		SX						SX
			i 1

Получаем доверительный интервал:

75.546 2.3650.079 / 8 mX 76.546 2.3650.079 / 8

В результате определен доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью 0,95 располагается истинное значение результата титрования:

76.31см3 mX 76.79 см3

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

12 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

§2. Элементы корреляционного и регрессионного анализа

Для иллюстрации метода корреляционного анализа рассмотрим две случайные величины Х и Y, для которых известны законы распределения. Предположим, что для них будет справедливо простейшее приближённое уравнение регрессии

ˆ

a0

a1x

y

Представим поле корреляции Y, Х

Y

Y

а

X

б

X

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

13 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Эмпирическое корреляционное отношение, характеризующее тесноту связи между Y и Х

η	1	(n p)S 2
		R
		(n 1)S 2
		y

Остаточная дисперсия, характеризующая погрешность уравнения регрессии и рассчитывается по формуле

		n
		эксп ˆ		)	2
		( yi	yi
S 2		i 1
R		n p

р – число значимых коэффициентов регрессии

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

14 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Общая дисперсия (дисперсия относительно среднего значения по экспериментальным данным) определяется

n

( yiэксп y)2

S 2		i 1
y			n 1
			n
			yiэксп
	y		i 1
			n

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

15 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Величина η находится в пределах

0 1

Чем больше величина η, тем сильнее связь между случайными величинами Х и Y

Между случайными величинами обычно существует такая связь, при которой с изменением одной величины меняется распределение другой – стохастическая связь

Изменение случайной величины Y, соответствующее изменению величины Х, разбивается при этом на две компоненты: функциональную (связанную с зависимостью Y от Х) и случайную

•Если первая компонента отсутствует, то величины Y и Х независимы

•Если отсутствует вторая компонента, Y и Х связаны функциональной зависимостью

•При наличии обеих компонент соотношение между ними определяет силу

(тесноту) связи

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

16 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Корреляционное отношение для нелинейных моделей и коэффициент корреляции для линейных моделей - показатели, оценивающие те или иные стороны стохастической связи

Величина

COVxy M (X mx )(Y my ) 0

называется корреляционным моментом, моментом связи или ковариацией

случайных величин Х и Y

	Безразмерная величина		M ( X mx )(Y my )
	rXY
			x y

называется коэффициентом корреляции

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

17 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

При этом выборочный коэффициент корреляции вычисляется по формуле

		n
		(xi		ˆ	)( yi		ˆ	)
				mX			mY
ˆ		i 1
rxy		(n 1)S X SY

ˆ

1

n

1

n

ˆ

2

xi

SX

(xi

mX

mX )

n i 1

n 1 i 1

ˆ

1

n

1

n

ˆ

2

yi

SY

( yi

mY

mY )

n i 1

n 1 i 1

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

18 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Коэффициент корреляции может иметь значение в пределах

1 rxy 1

При

rxy 0

существует положительная корреляционная связь между величинами Х и Y

При

rxy 0

связь отрицательная

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

19 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Y

Слабая отрицательная корреляция

между Х и Y

rxy

0.3

Y

X

Сильная положительная корреляция

между Х и Y

0.9

rxy

X

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

20 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Y

							Отсутствие корреляции между Х и Y
							rxy 0
							X

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования