Математика Сизов 2011

7.3. Задания на контрольную работу

Задание 1. Найти все частные производные 1-го порядка:

1. а)

z 2xy tg x

y,

б)

z

cos(2x)

,

1 y

2

2. а)

z

x3

ctg(xy)

1

,

б)

z

sin( y3 )

,

6

y

x4

3. а)

z ctg(xy) ex2

1

,

б)

z tg( y4 )

,

y

7

x

4. а)

z ctg(xy)

1

e 2 y2 ,

б)

z

x4

,

x

cos 3y

1/ x

5. а)

z x7

cos(2xy)

y3 ,

б)

z e

2 ,

y

в) z (1 ctg y) x .

в) z (cos x)ln y .

в) z (cos y)ln x .

в) z (1 3y )ln x .

в) z (cos x)ctg y .

6. а) z exy tg x3 4 y,	б)	z ln(1 y2 )	,	в) z (sin y)x2 .
		x

7. а)

z

6

ctg

y

1

,

3

x

x

y5

1

y2

8. а)

z tg(4xy)

e 4 ,

x3

x

9. а)

z xy2 tg

y7 ,

3

1

10. а) z sin(xy)

lg y,

5

x

Задание 2. Найти xz

1. x2 4 y2 z2 6x 0 ;

3. x2 tg y cos z 10x 0 ; 5. x3 5 y2 z2 8 y 0 ;

7. x2 ln y sin z 9x 0 ; 9. x3 ctg y cos z 2 y 0 ;

б)	z sin y	,	в) z (cos 2x)1/ y
	1 x

б)	z	1 x3			,	в)	z (ln x)sin y .
		cos 6 y
б)	z sin(42		x)		,	в)	z (ctg x) y .
		y 4
б)	z ctg(x5 )				,	в)	z (1 ln x)1/ y
		3 y2

и yz , если

2. exy 4 cos x z2 0 ;

4. exy3 4sin z x2 0 ; 6. exy 5sin x z3 0 ;

8. ex2 y 6 cos z x3 0 ; 10. exy2 3ln x z3 0 .

.

.

111

Задание 3. Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков и проверить равенство zxy zyx для функции z f (x; y) :

2

1.

z e2 x / y ;

2.

z sin

x

;

3.

z ln x2 4 y4 ;

y

z y sin(xy) ;

x

z y sin(3x 5 y) ;

4.

5.

z sin 1

;

6.

y

7.

z e1 x / y ;

8.

z sin x2 y ;

9.

z ln 3x4

y5 ;

10. z y cos(xy) .

Задание 4. Исследовать функцию на экстремум:

1. z 2x3 xy2 5x2 y2 ;

2. z x3 y3 15xy ;

3. z x3 3xy2 15x 12 ;

4. z x3 8y3 6xy 5 ;

5. z x3 xy2 6xy ;

6. z x3 y3 3xy ;

7. z x3 y3 3xy ;

8. z x3 xy2 3xy ;

9. z 3x2 x3 3y2 4 y ;

10. z x3 y3 12xy .

Задание 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

1.

z 6xy x2 y xy2

в

области,

ограниченной

линиями

x=0, y=0, x+y=12;

2.

z x2 2xy 4x 8y

в

области,

ограниченной

линиями

x=0, y=0, x= –5, y=7;

3.

z x2 2 y2 5

в

области,

ограниченной

линиями

x=1, y= –1, x–y+1=0;

4.

z xy x y

в

области,

ограниченной

линиями

x=0, x= –2, y=0, y= –2;

5.

z x2 3y2 x y

в

области,

ограниченной

линиями

x= –1, y=0, x+y=1;

6.

z x2 4xy 2x 4 y

в

области,

ограниченной

линиями

x=0,y=0, 3x–2y+6=0;

7.

z x2 2 y2 x 2 y

в

области,

ограниченной

линиями

x= –1, y=1, 2x–2y= –1;

8.

z 5xy 10x y 1

в

области,

ограниченной

линиями

x=0, x=1, y= –3, y= –1;

9.

z x2 xy y2 4x

в

области,

ограниченной

линиями

x=0, y=0, 2x+3y–12=0;

10.

z x2 4xy y2 4x

в

области,

ограниченной

линиями

x=0, y=0, 4x–y+4=0.

112

Задание 6. Найти градиент функции z
				,
и производную по направлению вектора MM 1
1.	z x3	3xy 2 y2 , M (1;1), M1(4;6) ;
2.	z 3x2		2xy 2 y3 , M ( 1;1), M1(4;2) ;
3.	z 5x2		4xy y2 , M (1; 1), M1( 4;3) ;
4.	z 3x3		2xy y3 , M (1;1), M1(4;3) ;
5.	z x3	3x2 y y2 , M (2;1), M1(5;6) ;
6.	z 2x3		4xy2 y2 , M (2;2), M1(4; 6) ;
7.	z 7x2		xy 6 y2 , M (1;1), M1( 2; 1) ;
8.	z x3	4xy2 2 y2 , M (1;1), M1( 2; 2) ;
9.	z x3	x2 y 3y2 , M ( 1;2), M1(3;3) ;

10. z 5x2 4xy 7 y , M (1; 2), M1(3;5) .

f (x; y) в точке M (x; y)

если

Задание 7. Методом наименьших квадратов подобрать функцию y ax b по табличным данным и сделать чертеж.

1.	x	0	1	1,5	2,1	3
	y	2,9	6,3	7,9	10,0	13,2
2.	x	0	3	6	9	12
	y	0,3	4,1	5,7	13,4	28,5
3.	x	1	2	3	4	5
	y	11,2	9,2	7,9	4,1	2,5
4.	x	1	3	5	7	9
	y	14,1	12,5	9,7	4,6	0,3
5.	x	0	0,5	1	1,5	2
	y	1,2	3,5	4,1	8,5	14,9
6.	x	2	4	6	8	10
	y	7,2	17,3	25,4	38,1	55,6
7.	x	0	0,5	1	1,5	2
	y	1,1	2,3	9,7	16,2	25,4
8.	x	1	4	7	10	13
	y	17,2	8,7	5,6	4,5	3,5
9.	x	1	3	5	7	9
	y	2,1	9,8	13,7	14,5	15,2
10.	x	1	4	7	10	13
	y	23,7	12,5	10,1	8,8	7,1

113

8. Неопределенный и определенный интегралы

8.1. Неопределенный интеграл

Определение

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на (a; b), если F'(x) = f(x) для любого x (a;b).

Если F(x) и Ф(x) две первообразные функции f(x), то Ф(x)=F(x)+C, т. е. две любые первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную величину C.

Совокупность всех первообразных F(x) + C функции f(x)

называется неопределенным интегралом от функции f(x) и

обозначается символом

f (x)dx т.е.

f (x)dx F(x) C .

(8.1)

В равенстве (8.1) f (x) называется подынтегральной функцией, а f (x)dx – подынтегральным выражением.

Нахождение неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции есть действие интегрирования. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой множество плоских кривых y = F(x) + C, которые называют интегральными кривыми.

Свойства неопределенного интеграла:

1.f (x)dx f x .

2.d x x C.

3.af x dx a f x dx.

4.f x x dx f x dx x dx.

5.f x dx f y dy f t dt f u du.

Таблица основных неопределенных интегралов:

xn 1
1. xndx n 1 C,	n 1 .

115

2.dxx ln x C.

3.exdx ex C.

4. a	x	dx	ax	C.
			ln a

5.sin xdx cos x C.

6.cos xdx sin x C.

7.cosdx2 x tgx C.

8.sindx2 x ctgx C.

9.sindxx ln tg 2x C.

10.

dx

x

π

ln

tg

C.

cos x

4

2

11.

dx

arcsin

x

C.

a2 x2

a

12.

dx

x2 a2

C.

ln

x

x2 a2

x

13.

dx

1 arctg

C.

x2 a2

a

a

14.

dx

1

x a

C.

ln

a2 x2

2a

x a

Основные методы интегрирования неопределенного интеграла

1. Метод подстановки

Если интеграл f(x)dx не является табличным, то часто его

можно упростить путем введения новой переменной t. Пусть x=φ(t). Это монотонная и непрерывно дифференцируемая функция на некотором промежутке. Если на указанном промежутке функция f(x) интегрируема, то справедливо:

f x dx f t t dt.

116

После того, как интеграл найден с помощью подстановки, следует возвратиться к первоначальной переменной x.

Иногда вместо подстановки x = φ(t) применяют подстановку t =

ψ(x).

Примеры:
а)	e3 x	dx	б) ex2 1xdx.
	3 2
	x
Решение:
а) Подстановка: x t3 , тогда				dx 3t2 dt .

e3 x dx =

3 x2

	et 3t2dt	3 etdt 3et C		t 3 x		3e	3	x C.
	t2
						dt = 2xdx, xdx = dt .
	б) Подстановка: t x2		1, тогда
								2

ex2 1xdx et dt2 12 etdt 12 et C 12 ex2 1 C.

2. Интегрирование по частям

Если u(x) и v(x) – дифференцируемые функции, то справедлива формула:

udv uv vdu.

Данную формулу интегрирования по частям применяют в том случае, когда интеграл vdu более простой в вычислении по сравнению с udv.

При этом следует иметь в виду, что если под знаком интеграла стоит произведение многочлена на тригонометрическую или показательную функции, то к u следует отнести многочлен, а оставшееся выражение к dv. Если же подынтегральная функция содержит сомножителем логарифмическую или обратную тригонометрическую функции, то их следует принимать за u, а остальное выражение за dv.

Примеры:	б) x2 ln xdx.
а) x cos xdx,
Решение:

117

а) xcos xdx

u x, dv cos xdx,

xsin x sin xdx

du dx,v sin x.

x sin x cos x C.

2

u ln x, dv x2dx,

x3

x3

dx

б) x

ln xdx

dx

x3

ln x

x

3

3

du x , v 3 .

x3

ln x 1 x2dx

x3

ln x

1

x3

C.

3

3

3

3 3

3. Интегрирование рациональных дробей

Дроби следующих четырех типов называются простейшими:

I.		A	,		II.		A		,
						(x a)m
	x - a
III.		Mx N		,	IV.		Mx N			,
							ax2	bx c n
		ax2 bx c

где m, n – натуральные числа, а ax2 + bx + c не имеет действительных корней.

Интегрирование дробей первых двух типов производится непосредственно. При интегрировании дробей третьего типа могут возникать две ситуации:

а) если выражение MX + N является производной от квадратного трехчлена ax2 + bx + c, то интеграл берется по формуле

(2) таблицы основных интегралов;

б) если же выражение MX + N не совпадает с производной трехчлена ax2 + bx + c, то его следует преобразовать так, чтобы из него можно было выделить производную трехчлена. После этого интеграл представляется в виде суммы двух интегралов, один из которых берется по формуле (2) , а другой интеграл приводятся к табличным интегралам (13-14) путем выделения полного квадрата в квадратном трехчлене.

Интегрирование дроби четвертого типа связано с применением рекуррентной формулы вида:

	dt		t		2n 3			dt
									.
	(t2 m2 )n		m2 (2n 2)(t2 m2 )n 1		m2 (2n 2)		(t2	m2 )n 1

Рациональная дробь – это дробь вида:

Pm (x) am xm ... a1x a0 , Qn (x) bn xn ... b1x b0

имеющая действительные коэффициенты.

118

Если m < n, то дробь называется правильной, если же m ≥ n, то

дробь Pm (x) - неправильная.

Qn (x)

В интересах интегрирования неправильной дроби ее необходимо представить в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби:

Pm (x)	L	(x)	Rr (x)	,
Qn (x)	m n		Qn (x)

где Lm – n(x) и Rr(x) – многочлены степени m – n ≥ 0 и r соответственно,

причем r ≤ n-1, т. е. Rr (x) - правильная.

Qn (x)

Выделение целой части в дроби Pm (x) производится делением

Qn (x)

числителя на знаменатель «уголком». Пример. Выделить целую часть дроби

Pm(x) x4 3x2 3x 2 Qn(x) x3 x2 2x

Делим числитель на знаменатель таким образом x4 –3x2 –3x – 2 | x3 – x2 –2x

-	| __________
x4–x3–2x2	| x + 1
________
x3 – x2 –3x – 2

-

x3 – x2 –2x

______________

- x – 2

Следовательно:	x4	3x2 3x 2	x 1			x 2		.
		x3 x2 2x			x3	x2	2x

Целая часть (многочлен) интегрируется просто. Для интегрирования правильной дроби последнюю нужно разложить на простейшие дроби.

Имеет место следующая теорема о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Теорема. Всякая правильная рациональная дробь QP((xx)) ,

знаменатель которой Q(x) имеет разложение

Qn (x) cn (x a)k (x b)m ...(x2 px q)r (x2 p1x q1)s ... ,

может быть представлена единственным образом в виде суммы

119

конечного числа простейших дробей следующим образом:

Pm x

A

A

A

B

B

B

...

Qn x

x a x a2

... x a k

x b

x b 2 ...

x b m

1

2

k

1

2

m

M1x N1

M2 x N2

...

Mr x Nr

x2 px q

x2 px q 2

x2 px q r

D1x E1

D2 x E2

...

Ds x Es

... .

x

2

x2 p1x q1

2

x2 p1x q1

s

p1x q1

Для нахождения неопределенных коэффициентов

A1 , A2 ,...,Ak ,B1 ,B2 ,...,Bm ,M1 ,M2 ,...,Mr ,N1 ,N2 ,...,Nr ,...

поступают следующим образом: приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x у многочлена P(x) и многочлена, который получается в числителе правой части после сложения всех правильных дробей. Этот метод получил название-метод неопределенных коэффициентов.

Продолжим рассматривать предыдущий пример:

P (x) x4			3x2 3x 2		x 2
m				x 1		.
Q (x)			x3 x2 2x		x3 x2 2x
n

Полученную правильную дробь представим в виде суммы простейших дробей

x 2		x 2		A		B	Ñ
									.
x3 x2 2x		x(x 2)(x 1)		x		x 2		x 1

Приведя правую часть к общему знаменателю, определив дополнительные множители к каждой дроби, формируем числитель правой части и приравниваем его к числителю левой части:

x 2 A x 2 x 1 Bx x 1 Cx x 2

( A B C)x2 ( A B 2C)x 2 A.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему

A B C 0,A B 2C 1,

2A 2.

Откуда A 1, B 2 ,C

1.

Следовательно:

3

3

x4 3x2 3x 2

x 1

1

2

1

.

x3 x2 2x

x

3(x 2)

3(x 1)

x4

3x2 3x 2

dx 2

dx

dx

dx xdx

dx

x 3

x3 x2 2x

x 2

3 x 1

120

x2

x ln

x

2

ln

x 2

1

ln

x 1

C

x2

x ln

x

C.

2

3

3

2

3 x 2 2 x 1

121