Учебник

19. Приведенные уравнения

b	= a	cos2 ϕ + 2a	cosϕ sinϕ + a	sin2 ϕ ,	(19.7)
11	11	12	22
b	= a	sin2 ϕ −2a	cosϕ sinϕ + a	cos2 ϕ ,	(19.8)
22	11	12	22

b12 = −a11 cosϕ sinϕ + a12 (cos2 ϕ −sin2 ϕ ) + a22 cosϕ sinϕ. (19.9)

Теперь мы можем потребовать, чтобы коэффициент b12 в новой системе координат был равен нулю, а, следовательно, «перекрестный член» будет отсутствовать:

b12 = −a11 cosϕ sinϕ + a12 (cos2 ϕ −sin2 ϕ ) + a22 cosϕ sinϕ = 0.

Отсюда получаем, что

(a11 −a22 )cosϕ sinϕ = a12 (cos2 ϕ −sin2 ϕ ).

После тригонометрических преобразований находим, что

tg 2ϕ =	2a12		.	(19.10)
	a −a	22
11

Это и есть наше искомое выражение, определяющее угол поворота между старой и новой системами координат. При этом, как мы и требовали, уравнение исследуемой кривой будет иметь в общем случае следующий вид:

b x 2		+b	y 2	+ 2b	x	+ 2b	y + a = 0.		(19.11)
11	1	22	1	13	1	23	1	33

Перед тем, как двигаться дальше, исследуем полученные соотношения между коэффициентами в разных системах отсчета.

19.3. Понятие об инвариантах

Если мы сейчас найдем сумму коэффициентов b11 +b22 , используя соотношения (19.7) и (9.8), то получим, что эта сумма совпадает с суммой соответствующих коэффициентов в исходном уравнении:

283

III. Кривые и поверхности второго порядка

b	+b		= a cos2 ϕ + 2a cosϕ sinϕ + a					22	sin2 ϕ +
11		22	11	12
+a		sin	2 ϕ −2a	cosϕ sinϕ + a	22	cos2	ϕ = a			+ a . (19.12)
11			12						11	22

Значит, эта величина не меняет свое значение при поворотах. Такие величины, которые не изменяются при преобразованиях систем координат, называются инвариантами. И соотношение (19.12) показывает, что, по крайней мере, при поворотах сумма a11 + a22 двух старших коэффициентов одинакова, в какой бы системе отсчета ее ни вычислять. Для этой величины можно использовать специальное обозначение

I1 = a11 + a22

(19.13)

и соответствующее название — первый инвариант.

Запишем старшие коэффициенты в виде таблицы, где каждый коэффициент стоит на соответствующем ему месте.

a	a
I = 11	12	.
a12	a22

Такая таблица называется матрицей. Как и в случае с определителями, в нашем курсе мы просто упоминаем о матрицах как об удобном способе записи, а полностью теория матриц, как и их определителей, изучается в последующих курсах математики и физики.

Мы видим, что первый инвариант представляет собой сумму диагональных элементов матрицы I :

I	= Sp	a11	a12		=Tr	a11	a12		= a	+ a .	(19.14)
1									11	22
		a12	a22			a12	a22

Здесь приведены часто используемые специальные обозначе- ния для суммы диагональных элементов матриц — øïóð (Sp), òðåê (Tr) èëè ñëåä матрицы.

Теперь давайте найдем двумерный определитель, составленный из старших коэффициентов. Из соотношений (19.7)–(19.8) следует, что

284

19. Приведенные уравнения

a11	a12	=	b11	b12	.	(19.15)
a	a		b	a
12	22		12	22

То есть определитель матрицы, составленной из старших коэффициентов, тоже является инвариантом при поворотах. Для этого инварианта также есть специальное название: малый, или второй, определитель:

I

2

= det

a11

a12

=

a11

a12

= a a

− a

a .

(19.15)

a12

a22

11 22

12

12

a12

a22

Инвариантам кривых второго порядка будет посвящена следующий раздел. Там будет показано, что I1 è I2 не изменяются и при параллельных переносах, а также, что у кривой второго порядка существует еще один инвариант:

			a11		a12	a13			a11	a12	a13
I	3	= det	a		a	a		=	a	a	a	23	—	(19.16)
				12	22	23			12	22
			a		a	a			a	a	a
				13	23	33			13	23	33

так называемый третий инвариант, или большой определитель.

19.4. Параллельный перенос. Кривые центрального типа

Полученное нами соотношение (19.11) все еще отличается от канонических уравнений (19.1), (19.2) и (19.3) кривых второго порядка. Однако мы видим, что отличия у разных кривых разные. Если мы рассмотрим эллипс и гиперболу, то отличие заключается в присутствии линейных членов, а если обратиться к параболе, то разница сводится к члену, содержащему квадратичный член по x.

Поэтому мы должны рассмотреть отдельно два случая. В первом случае мы предполагаем, что уравнение кривой в новой системе координат содержит оба старших члена:

b11 ≠ 0 è b22 ≠ 0.

285

III. Кривые и поверхности второго порядка

Тогда мы можем провести следующие алгебраические преобразования (сводящиеся к выделению полного квадрата):

b11x12 + 2b13 x1 = b11 x12 + 2 b13 x1 = b11

					2	+ 2 b13		x +			b13		2			b13				2
	= b		x											−								=
		11		1			b	1			b					b
							11				11					11
= b	x + b13				2		−b		b13	2	= b			x + b13							2 − b132 .
11		1	b11				11					11			1			b11				b11
								b11
Аналогично
		b y 2		+ 2b y = b						y + b23					2		− b232					,
		22	1				23 1		22		1		b22						b22

что можно доказать простым раскрытием скобок в правой части. Если мы теперь совершим замену переменных

x → x = x + b13			,	y → y	2	= y + b23		,
1	2 1	b		1		1	b
		11					22

то мы получим выражения, не содержащие линейных членов по новым переменным. Такая замена соответствует параллельному переносу системы координат на вектор r с координатами

reh = − b13 ; b23 .

b11 b22

После такого переноса в новой системе координат уравнение кривой приобретает вид

b x 2		+b		y2	+b = 0.			(19.17)
11	2		22	2		33
Здесь
b	= a		−	b2	−	b2
				13		23	—
33		33		b11		b22

неоднородность в приведенной системе отсчета.

286

19. Приведенные уравнения

Это уравнение уже можно сравнивать с уравнением кривой в канонической системе отсчета с целью определения вида кривой. Оно в общем случае уже не может быть упрощено с помощью поворотов или сдвигов системы координат. Поэтому такое уравнение называется приведенным уравнением, а система отсчета, в которой это уравнение получено, называется приведенной системой отсчета. В частности, уравнение (19.17), в котором оба из старших коэффициентов не равны нулю (b11 ≠ 0, b22 ≠ 0, или, короче, b11b22 ≠ 0) называется приведенным уравнением кривых эллипти- ческого è гиперболического типов, потому что оно имеет такую же структуру, как и канонические уравнения эллипса и гиперболы.

Так как соотношение (19.17) обладает симметрией при одновременной замене x → −x è y → −y, то кривые, которые описываются этим уравнением, имеют центр симметрии. Поэтому такие кривые называются центральными.

Заметим, что приведенная система отсчета может не совпадать с канонической системой. Это происходит потому, что пока не определены величины и знаки коэффициентов b11 è b22. Кроме того, можно совершить еще и повороты на 90, 180 или 270 градусов, при которых вид уравнения (19.17) не будет изменяться (меняться при этом будут только численные значения коэффициентов перед квадратами координат).

19.5. Параллельный перенос. Кривые параболического типа

Рассмотрим другой случай, когда один из старших коэффициентов в (19.11), например, b11 оказывается равным нулю. Тогда параллельный перенос можно произвести только вдоль оси Oy1 на вектор

r	= −		0;	b23		, òî åñòü	y → y		= y +	b23	.
								2
p1				b			1		1	b
			22							22

В итоге в новой системе координат уравнение кривой будет выглядеть следующим образом:

287

III. Кривые и поверхности второго порядка

b y 2	+ 2b x + a −	b2	= 0.
		23
22 2	13 1 33	b
		22

Такие кривые не обладают (единственным) центром симметрии и называются нецентральными линиями, или линиями параболического типа.

Полученное уравнение все еще отличается от уравнения параболы. Такое отличие можно устранить только в случае, если коэффициент b13 перед переменной x1 не равен нулю. Тогда можно провести следующее алгебраическое преобразование:

	b y		2 + 2b x			+ a		−	b2	= b y 2	+
									23
	22 2			13	1		33		b	22 2
									22
			1				b2		≡ b y 2 + 2b x = 0.
+2b	x +			a	−		23

2b13 b22

Âэтом соотношении мы ввели новую переменную33 22 2 13 213

	x = x +	1	a − b232				,
		2b
	2 1			33	b
		13			22

что соответствует параллельному переносу системы координат на вектор

r		= −		1		a	−	b2
								23		;0 .
	p2			2b13		33		b22

Таким образом, в новой, приведенной системе координат уравнение кривой выглядит так же, как и уравнение параболы (19.3):

b	y	2 + 2b	x = 0,	(19.18)
22	2	13	2

причем ни один из коэффициентов в этом соотношении не равен нулю. Такое уравнение называется приведенным уравнением параболы. Заметим, что, как и в случае с линиями центрального типа, приведенная система отсчета в общем случае не совпадает с канонической, так как еще не определены знаки коэффициентов. Другими словами, еще остается свобода в замене направления оси абсцисс на противоположное.

288

19. Приведенные уравнения

В случае, если коэффициент b13 = 0 равен нулю, то только что описанный параллельный перенос невозможен. С другой стороны, он уже и не нужен, так как в этом случае уравнение кривой выглядит следующим образом:

b	y	2 +b = 0,	(19.19)
22	2	33

и не может быть упрощено никакими линейными операциями (поворотом или параллельным переносом). Таким образом, это уравнение является приведенным. После простейшего преобразования видно, что это уравнение является уравнением двух параллельных прямых:

b	y 2	2 +b = 0	y	2	= ± − b33 .	(19.20)
22		33			b22

Уравнение (19.18) и только что полученное уравнение (19.19) называются приведенными уравнениями кривых параболического òèïà.

Приведенные уравнения выглядят практически так же, как и соответствующие им канонические уравнения. Это позволяет использовать приведенные уравнения при классификации кривых второго порядка при определении типа кривой, исходя из общего уравнения, а также для нахождения канонической системы отсчета.

Перед тем, как непосредственно перейти к решению этих задач, попробуем выяснить, а можно ли, не совершая поворота, сразу определить, где находится центр у кривых центрального типа.

19.6. Центр кривой второго порядка

Отличительной особенностью уравнений центральных кривых является возможность замены переменных на их противоположные значения: x → −x è y → −y. Это значит, что у кривой есть центр симметрии. И если мы перейдем в систему отсчета, центр которой совпадает с центром этой кривой, то уравнение этой кривой в этой системе отсчета не должно содержать линейных по переменным слагаемых. Другими словами, если исходным является общее уравнение кривой

289

III. Кривые и поверхности второго порядка

a11x2 + 2a12 xy + a22 y2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0,

у которой есть центр симметрии с координатами ( X0 ,Y0 ), и мы переходим с помощью параллельного переноса в систему отсчета

с началом отсчета в точке ( X0 ,Y0 ) :
x = X		+ x	(19.21)
	0	0 ,
y =Y0 + y0

то в этой системе отсчета уравнение кривой будет иметь следующий вид:

a	x	2 + 2a	x y	0	+ a	22	y	2 +c = 0.	(19.22)
11	0	12	0				0	33

Заметим, что старшие коэффициенты не изменяются при параллельных переносах, а свободный член (неоднородность) и младшие коэффициенты изменяются. Причем выражение для младших коэффициентов можно получить, если подставить формулы преобразования (19.21) в исходное общее уравнение кривой:

c13 = a11 X0 + a12Y0 + a13 .

c23 = a12 X0 + a 22Y0 + a 23

Теперь потребуем, чтобы эти коэффициенты были равны нулю в новой системе отсчета.

a		X		+ a Y + a		= 0	.	(19.23)
	11		0	12 0	13
a12 X0 + a 22Y0 + a 23 = 0

Полученная система есть не что иное, как система уравнений для определения величин ( X0 ,Y0 ) — координат центра кривой второго порядка. Решение этой системы имеет вид

−a13

a12

−a13 a 22 +a 23 a12

−a 23

a 22

X

0

=

=

a11 a 22 −a12 a12

I2

.

(19.24)

a11

−a13

−a 23 a11 +a13 a12

a12

−a 23

Y

=

=

0

a

11

a

22

−a

12

a

12

I

2

290

19. Приведенные уравнения

Как и следовало ожидать, эта система имеет единственное решение, если не равен нулю определитель этой системы, а именно определитель, составленный из коэффициентов перед неизвестными: a11 a 22 −a12 a 12 ≠ 0. В нашем случае этот определитель как раз совпадает с инвариантом I2 , что лишний раз подтверждает необходимость неравенства I2 ≠ 0 для существования у кривой единственного центра симметрии.

Давайте подытожим полученные в этом разделе соотношения

èопределения.

1.Угол поворота при переходе в приведенную систему отсчета:

tg 2ϕ =	2a12
			.
	a	−a
11		22

2. Уравнения для определения координат центра кривых цен-

трального типа:

a11 X0 + a12Y0 + a 13 = 0 .a12 X0 + a 22Y0 + a 23 = 0

3.Приведенные уравнения кривых второго порядка

3.1Эллиптический и гиперболический тип:

a11x2 + a22 y2 + a33 = 0.

3.2 Параболический тип (парабола):

a22 y2 + 2a13 x = 0.

3.3 Параболический тип (две параллельные прямые):

a22 y2 + a33 = 0.

20. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ИНВАРИАНТЫ И ТИПЫ КРИВЫХ

20.1. Инварианты кривых второго порядка

В предыдущем разделе мы рассмотрели изменение общего уравнения кривой второго порядка при простейших преобразованиях системы координат — поворотах и параллельных переносах. При этом самым важным свойством преобразований являлось то, что сами по себе кривые как геометрическое место точек не изменялись. Это значит, что если нарисовать на бумаге, например, эллипс, то никакие вращения и перемещения этого листа бумаги не изменят этот эллипс как геометрическую фигуру. Его размеры и форма останутся прежними, поменяется лишь уравнение кривой. А так как такое уравнение несет в себе всю информацию о параметрах эллипса, например, о величинах полуосей, то из коэффициентов уравнений эллипса наверняка можно составить комбинации, численное значение которых одинаково в любой системе отсчета. Например, представьте себе, что вы с помощью общего уравнения эллипса умеете находить его площадь, то есть площадь есть некоторая функция всех коэффициентов в уравнении кривой:

S = S(aij ).

(20.1)

Так как площадь эллипса не изменяется при поворотах и параллельных переносах, то величина S(aij ) будет некоторым инвариантом.

С другой стороны, если вы доказали с помощью алгебраических преобразований существование какого-то инварианта, то существует какой-то геометрический параметр кривой, который

292