Учебник

20. Инварианты и типы кривых

связан с этим инвариантом. Так, инварианты I2 è I3 могут быть однозначно связаны с тем же выражением (20.1) для площади эллипса в произвольной системе отсчета:

S = π	I 2
	3	.	(20.2)
	I23

Мы получим это соотношение в задаче, приведенной в следующем разделе.

Âпоследующих курсах алгебры вы познакомитесь с методами определения инвариантных величин. Мы же с вами будем доказывать существование инвариантов простой проверкой. Такой способ плох, потому что он позволяет лишь проверить, является ли данная величина инвариантом. Он, к сожалению, не дает никакого рецепта по их обнаружению.

Âпредыдущем разделе мы убедились, что при поворотах не меняются такие величины, как след и определитель матрицы, составленной из старших коэффициентов:

I1

a

a

= a11

+ a22

≡ Sp

aij

, ãäå: i, j =1, 2.

= Sp 11

12

(20.3)

a12

a22

a

a

a

a

I2

=

=

= det 11

12

11

12

a12

a22

a12

a22

= a11a22 −a12 a12 ≡ det

aij

, ãäå:

i, j =1, 2.

(20.4)

Можно показать, что эти величины не изменяются и при параллельных переносах, то есть они действительно являются инвариантами.

Более того, оказывается, что если составить определитель из всех коэффициентов уравнения кривой второго порядка, то он также будет инвариантом:

	a11	a12	a13
I3 =	a12	a22	a23	≡ det	aij	,	(20.5)
	a13	a23	a33

ãäå: i, j =1, 2,3.

293

III. Кривые и поверхности второго порядка

Убедиться в инвариантности величины I3 можно прямой проверкой.

В выражениях (20.3)–(20.5) использовано краткое обозначение aij матрицы, составленной из коэффициентов aij , причем в нашем случае все матрицы симметричны, то есть a31 = a13 , a32 = a23

èa12 = a21.

Теперь сведем все приведенные выше утверждения в одну те-

орему.

Теорема об инвариантах кривых второго порядка

При поворотах и параллельных переносах не изменяются значения следующих функций коэффициентов общего уравнения заданной кривой второго порядка.

I1 = Sp

aij

,

ãäå

i, j =1, 2;

I2 = det

aij

,

ãäå

i, j =1, 2;

I3 = det

aij

,

ãäå

i, j =1, 2,3.

Доказательство

Для доказательства этой теоремы достаточно выписать формулы, которые связывают коэффициенты уравнения кривой в старой и новой системе координат после поворота на угол ϕ :

b	= a		cos2	ϕ + 2a	cosϕ sinϕ + a				sin2	ϕ ,
11	11			12				22
b	= a		sin2	ϕ −2a	cosϕ sinϕ + a				cos2	ϕ ,
22	11			12				22
	b	= a		cos 2ϕ −		1	(a	− a )sin 2ϕ ,
	12		12		2		11	22

b13 = a13 cosϕ + a23 sinϕ , b23 = −a13 sinϕ + a23 cosϕ , b33 = a33

или параллельного переноса на вектор ( X0 ,Y0 ) :

c11 = a11, c12 = a12 , c22 = a22 ,

294

20. Инварианты и типы кривых

c13 = a11 X0 + a12Y0 + a13 , c23 = a12 X0 + a 22Y0 + a 23 ,

c33 = a11 X02 + 2a12 X0Y0 + a22Y02 + 2a13 X0 + 2a23Y0 + a33.

Далее прямой подстановкой можно убедиться, что значения величин I1, I2 è I3 как функций коэффициентов уравнения заданной кривой в различных системах отсчета не изменяются. То есть

I1 = Sp aij ≡ a11 + a22 = b11 +b22 = c11 + c22 ,

ãäå

i, j =1, 2 ;

I

2

= det

a

≡

a11

a12

=

b11

b12

=

c11

c12

,

ij

a21

a22

b21

b22

c21

c22

ãäå

i, j =1, 2 ;

I3 = det

aij

= det

bij

= det

cij

,

ãäå

i, j =1, 2,3 ,

а значит, I1,

I2 è

I3

являются инвариантами. ■

Прямой проверкой можно также убедиться, что при поворотах сохраняется и сумма квадратов коэффициентов при линей-

	ных членах:
	b2	+b2	= (a cosϕ + a	23	sinϕ )2		+
	13	23	13					(20.6)
	+(−a sinϕ + a cosϕ )2 = a2					+ a2 .
		13	23		13		23

Этот факт, а также учет того, что коэффициент a33 при поворотах тоже не изменяется, позволяет нам утверждать, что существует еще одна величина, которая сохраняется, по крайней мере, при поворотах:

K = I a		−(a2	+ a2	) ≡	a11	a13	+	a22	a23	.	(20.7)
1	33	13	23		a13	a33		a23	a33

295

III. Кривые и поверхности второго порядка

Эта комбинация коэффициентов называется полуинвариантом кривой второго порядка. Смысл такая комбинация коэффициентов приобретает только в том случае, когда она оказывается инвариантом, то есть когда она не изменяется и при параллельных переносах. Информация о таком частном случае содержится в следующей теореме.

Теорема о полуинварианте кривых второго порядка

Функция K коэффициентов общего уравнения заданной кривой второго порядка

K =	a11	a13	+	a22	a23
	a	a		a	a
	13	33		23	33

является инвариантом при поворотах, а для кривых, у которых второй и третий инварианты равны нулю

I2 = 0 è I3 = 0,

функция K инвариантна и при параллельных переносах.

Доказательство

Доказательство инвариантности K при поворотах мы уже привели при получении соотношения (20.7). Теперь докажем, что в случае I2 = 0 è I3 = 0 функция K сохраняет свой вид и численное значение при параллельных переносах. Причем это достаточно сделать для любого частного случая, например, для переноса на вектор с одной нулевой координатой, например ( X0 ,0). В этом случае коэффициенты в новой системе отсчета выглядят следующим образом:

c11 = a11, c12 = a12 , c22 = a22 , c13 = a11 X0 + a13 , c23 = a12 X0 + a 23 ,

c33 = a11 X02 + 2a13 X0 + a33.

296

20. Инварианты и типы кривых

Построим K в новой системе:

K(c )

=

c11

c13

+

c22

c23

= I

(c )c −(c2

+ c2

) =

ij

c13

c33

c23

c33

1

ij

33

13

23

= I (a )(a X

2 + 2a X

0

+ a ) −(a

11

X

0

+ a

13

)2

−(a

12

X

0

+ a

23

)2

=

1

ij

11

0

13

33

=I1(aij )a33 −(a132 + a232 ) + 2X0 (I1 (aij )a13 − a11 a13 − a12 a23 ) +

+X02 I1(aij )a11 −a112 − a122 =

=I1 (aij )a33 −(a132 + a232 ) ≡ K(aij ).

Мы видим, что, действительно, функция K не меняет своей зависимости от коэффициентов при переходах в другие системы координат, а значит, является в частном случае I2 = 0 è I3 = 0 инвариантом.

При последнем преобразовании мы использовали тот факт, что выражения в фигурных и квадратных скобках оказались равными нулю. Для выражения в квадратных скобках это следовало из условия I2 = a11a22 −a12a12 = 0, òàê êàê

I1 (aij )a11 −a112 −a122 = (a11 + a22 )a11 − a112 − a122 = a22a11 − a122 = 0.

Выражение в фигурных скобках оказывается равным

I1(aij )a13 −a11 a13 −a12 a23 =

= (a11 + a22 )a13 − a11 a13 − a12 a23 = a22a13 − a12 a23.

Чтобы определить значение этой разности, необходимо полу- чить явное выражение для третьего инварианта. Здесь мы сделаем это, раскрыв определитель по третьей строке, чтобы сразу использовать равенство I2 = 0 :

297

III. Кривые и поверхности второго порядка

	a11	a12	a13
I3 =	a12	a22	a23	=
	a13	a23	a33

= a I	2	−a	23	a11	a13	+ a	a12	a13	=
33				a	a	13	a	a
				12	23		22	23

=−a23 (a11a23 −a12 a13 ) + a13 (a12a23 − a22 a13 ) =

=−a13 (a22 a13 − a12 a23 ) + a23 (a12 a13 − a11a23 ).

Выражение в скобках во втором слагаемом переписывается в виде

a12 a13 −a11a23 =

a11

a11a12

= a12

a13

−

a23 = a12 a13 −

a23

=

a12 a12

a12

a11a12

a12

(a13a22 − a12a23 ),

= a12

a13

−

a23

=

a11a22

a22

а следовательно,

I

3

=

−a

+ a

a12

(a

a

− a

a ) = −

1

(a

a

− a a

)2

. (20.8)

13

23

a22

22 13

12

23

22

13

12

23

a22

Таким образом, если

I3 = 0,

то и разность (a22 a13 −a12a23 ) òàê-

же равна нулю, а вместе с ней равно нулю и выражение в фигурных скобках. Только что полученное выражение для I3 в случае I2 = 0 окажется нам полезным при дальнейшем исследовании кривых второго порядка. ■

298

20. Инварианты и типы кривых

20.2.Классификация кривых второго порядка

спомощью инвариантов. Типы кривых

Существование инвариантов помогает, не производя никаких преобразований координат, определить, какую кривую описывает заданное уравнение второго порядка. Давайте посмотрим, например, на эллипс и гиперболу в канонической системе отсчета.

Для эллипса имеем

x2 + y2 −1 = 0, a2 b2

следовательно, у эллипса не равняются нулю следующие коэффициенты:

a11 = a12 , a22 = b12 , a33 = −1.

Для гиперболы

x2 − y2 −1 = 0, a2 b2

следовательно, у гиперболы не равняются нулю следующие коэффициенты:

	a =	1	, a = −	1	,	a = −1.
		a2		b2
	11		22			33

Очевидно, что второй инвариант I2 у этих кривых имеет разные знаки. У эллипса он положителен, а у гиперболы — отрица-

телен: эллипс — I2 = a12 b12 > 0; гипербола — I2 = − a12 b12 < 0.

Таким образом, если мы для заданного уравнения кривой вы- числим второй инвариант, и он окажется положительным, то мы сразу можем сказать, что это, по крайней мере, не гипербола. А если он окажется отрицательным, то эта кривая никак не может быть эллипсом.

299

III. Кривые и поверхности второго порядка

Аналогично дело состоит и с параболой, каноническое уравнение которой можно записать в виде

y2 −2 px = 0,

и, следовательно, нулю не равны следующие коэффициенты:

a22 =1, a13 = −p.

Вычисляя в канонической системе отсчета второй инвариант, мы обнаруживаем, что он равен нулю: I2 = 0 1 = 0. Значит, и в любой другой системе отсчета уравнение для параболы будет таким, что второй инвариант, вычисленный по коэффициентам этого уравнения, будет равен нулю. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять, например, параболу, знакомую со школы: y = x2 ,

у которой не равны нулю коэффициенты a =1,	a = − 1		,
11	23	2

и вычислить для нее второй инвариант.

Таким образом, мы видим, что величина второго инварианта позволяет нам отличать друг от друга уже известные кривые второго порядка: эллипс, параболу и гиперболу.

В то же время, если кривая задана своим общим уравнением, то она может не являться одной из этих кривых. Например, уравнению y2 = x2 соответствуют две перпендикулярные прямые, а уравнению y2 + x2 = 0 — вообще только одна точка с координатами (0,0). Таким образом, определенные значения второго инварианта I2 , например I2 > 0, необходимы для того, чтобы кривая была эллипсом, но не достаточны для этого. Поэтому мы с помощью инварианта I2 можем разделить кривую второго порядка на различные типы. Например, среди кривых, у которых I2 > 0, находится эллипс, поэтому такие кривые назовем линиями эллиптического типа. Кривые, у которых I2 < 0, называются линиями гиперболического типа, а кривые с I2 = 0, среди которых есть и парабола, логично назвать линиями параболического типа. Сведем определения типов кривых в одну таблицу.

300

20. Инварианты и типы кривых

Таблица 20.1

Классификация типов кривых по значению инварианта I2

I2 < 0	I2 = 0	I2 > 0
Гиперболический тип	Параболический тип	Эллиптический тип

20.3. Кривые гиперболического типа

Теперь рассмотрим отдельно кривые каждого из типов и на- чнем с гиперболических кривых. У этих кривых в приведенной системе отсчета старшие коэффициенты (как у гиперболы) имеют разный знак: a11a22 = I2 < 0. Однако и знак, и величина коэффициента a33 может быть произвольной. Если этот коэффициент противоположен по знаку коэффициенту a11, то уравнение

кривой в приведенной

системе

отсчета в точности

совпадает

с каноническим уравнением гиперболы:

a11x

2

+ a22 y

2

+ a33

= 0

a11

x2 −

a22

y2 =

a33

a11a33 < 0

a

a

22

=

I

2

< 0

11

x2

−

y2

=1.

(20.9)

a

a

33

33

a11

a22

Åñëè a33 è a11 имеют одинаковый знак, то уравнение в приведенной системе отсчета является уравнением сопряженной гиперболы в канонической системе отсчета:

a11x

2

+ a22 y

2

+ a33

= 0

a11

x2 −

a22

y2 = −

a33

a11a33 > 0

a

a

22

= I

2

< 0

11

301

III. Кривые и поверхности второго порядка

			x2		−		y2			= −1.
			a				a
			33				33		(20.10)
			a				a
			11				22

В этом случае каноническая система отсчета отличается от приведенной системы поворотом на 90 градусов.

Если же коэффициент a33 равен нулю, то приведенное уравнение вообще не будет описывать гиперболу. Действительно, при a33 = 0 получаем:

a11x

2

+ a22 y

2

+ a33

= 0

a33 = 0

a

a

=

I

2

< 0

11

22

a

x2

−

a

22

y2

= 0

y = ±

a11

x.

(20.11)

11

a22

Это есть не что иное, как уравнение двух прямых, пересекающихся в начале координат приведенной системы отсчета.

Таким образом, величина коэффициента a33 в приведенной системе отсчета однозначно определяет вид кривой второго порядка. Осталось только вычислить эту величину, не совершая перехода в приведенную систему отсчета. Здесь нам на помощь опять приходят инварианты. Давайте определим величину третьего инварианта в приведенной системе отсчета:

I3 = a11a22a33 = I 2 a33.

(20.12)

Очевидно, что величина a33 может быть найдена из отношения

a =	I3	.	(20.13)
33	I 2

Такая величина всегда существует, так как в числителе стоит величина I 2 ≠ 0, которая не равна нулю для кривой гиперболи- ческого типа.

Однако, для того, чтобы отличить гиперболы (20.9) и (20.10) от двух пересекающихся кривых (20.11), нам достаточно было опреде-

302