Учебник

20. Инварианты и типы кривых

лить, не равняется ли a33 нулю. А для этого, согласно (20.12), достаточно определить, равняется или нет нулю величина I3. Таким образом, величина третьего инварианта позволяет полностью различать между собой кривые гиперболического типа. Если третий инвариант не равен нулю I3 ≠ 0, то кривая гиперболического типа является гиперболой, а если этот инвариант равен нулю, то такой гиперболи- ческой кривой второго порядка дают следующее, вполне очевидное, название — пара пересекающихся прямых. Приведем классификацию кривых гиперболического типа в следующей таблице.

										Таблица 20.2
Классификация кривых гиперболического типа
			Гиперболический тип: I2 < 0
		I3 ≠ 0 :						I3 = 0 :
гипербола						пара пересекающихся
							прямых
	x2		−	y2	=1		x2	−	y2	= 0
	a2			b2			a2		b2

В нижней строке приведено уравнение данной кривой в канонической системе отсчета, а параметры в этих уравнениях определены следующим образом:

a =		a33		è b =			a33			.	(20.14)
		a					a
		11					22

20.4. Кривые эллиптического типа

Аналогичным образом третий инвариант поможет нам различать между собой кривые эллиптического типа. Здесь, как и в случае с линиями гиперболического типа, большое значение имеет соотношение между знаками коэффициента a33 и коэффициентов a11 è a22 в приведенной системе отсчета.

303

III. Кривые и поверхности второго порядка

Основным свойством кривых эллиптического типа является положительность второго инварианта I2 = a11a22 > 0. Поэтому знак величины a33 = I3 / I2 совпадает со знаком третьего инварианта:

sign a33 = sign I3.

Теперь осталось определить знаки коэффициентов a11 è a22 через инварианты.

Из положительности инварианта I2 также следует, что коэффициенты a11 è a22 имеют одинаковый знак,

sign a11 = sign a22 ,

а следовательно, и их сумма имеет тот же знак:

sign (a11 + a22 ) = sign a11 = sign a22.

Сумма же этих коэффициентов есть не что иное, как первый инвариант, а, следовательно, знак коэффициентов a11 è a22 полностью определяется знаком первого инварианта:

sign a11 = sign a22 = sign I1.

Таким образом, соотношение между знаками коэффициентов a11, a22 è a33 в приведенной системе отсчета полностью определяется соотношениями между инвариантами:

a11a33	> 0( a22 a33	> 0)	I1I3		> 0;
a11a33	< 0( a22a33	< 0)		I1I3	< 0;
a11a33	= 0( a22 a33	= 0)		I1I3	= 0.

Значит, это соотношение само является инвариантной вели- чиной и, следовательно, может быть вычислено в любой системе отсчета. Очевидно, что нам удобнее всего будет вычислять эти инварианты в исходной системе отсчета, прямо используя данные коэффициенты уравнения, не переходя к другим координатам.

304

20. Инварианты и типы кривых

Рассмотрим, каким образом знаки коэффициентов a11, a22 è

a33 связаны с видом кривой эллиптического типа.

Если коэффициент a33 равен нулю, то есть I1I3 = 0, то приведенное уравнение приобретает вид a11x2 + a22 y2 = 0. Но так как коэффициенты a11, a22 у кривой эллиптического типа имеют одинаковый знак, то это соотношение может быть переписано так:

2

2

a11x

+ a22 y

+ a33 = 0

a11

x2 +

a22

y2 = 0

a33 = 0 I1I3 = 0

a

a

22

= I

2

> 0

11

	x = 0, y = 0
				a			.	(20.15)
	y = ±i			11			x
				a22

Вещественным решением полученного уравнения a11 x2 + a22 y2 = 0 являются только нулевые значения координат x = 0 è y = 0. Поэтому эллиптическая кривая второго порядка, у которой I1I3 = 0, вырождается в одну точку! Эта точка находится в начале координат приведенной системы отсчета.

Âто же время уравнение этой кривой может быть записано

âвиде уравнения кривой с мнимым коэффициентом:

	y = ±i	a11		x.
		a
		22

Поэтому для такой эллиптической кривой также используют следующее наименование: пара пересекающихся мнимых прямых.

Теперь рассмотрим случай, когда произведение инвариантов

положительно

I1I3 > 0,

то есть коэффициент a33 имеет тот же

знак, что и коэффициенты a11 è a22 .

В этом случае общее урав-

нение можно переписать в следующем виде:

a11 x

2

+ a22 y

2

+ a33

= 0

a11

x2

a22

y2 = −

a33

I1I3 > 0

+

a

a

= I

2

> 0

11 22

305

III. Кривые и поверхности второго порядка

x2

+

y2

= −1.

(20.16)

a

/

a

a

/

a

33

11

33

11

Очевидно, что этому соотношению не удовлетворяют координаты ни одной из точек на плоскости. Однако, если переписать его с использованием мнимой единицы следующим образом:

(ix)2

+

(iy)2

=1,

a

/

a

a

/

a

33

11

33

11

то уравнение приобретет вид уравнения эллипса. Поэтому такая кривая называется мнимый эллипс.

Наконец рассмотрим случай, когда коэффициент a33

противо-

положен по знаку коэффициента a11

è a22 . В этом случае произ-

ведение инвариантов I1I3 < 0

отрицательно и приведенное урав-

нение может быть записано в виде уравнения эллипса:

2

2

a11x

+ a22 y

+ a33 = 0

a11

x2 +

a22

y2 =

a33

I1I3 < 0

a

a

22

= I

2

> 0

11

x2

+

y2

=1.

(20.17)

a

/

a

a

/

a

22

33

11

33

Представим полученные результаты в виде одной таблицы.

Таблица 20.3

Классификация кривых эллиптического типа

Эллиптический тип: I2 > 0

I1I3 < 0 :

I1I3 = 0 :

I1I3 > 0 :

точка

эллипс

(ïàðà

мнимый эллипс

пересекающихся

x

2

y

2

x

2

y

2

+

=1

мнимых прямых)

+

= −1

a2

b2

x2

+

y2

= 0

a2

b2

a2

b2

306

20. Инварианты и типы кривых

Параметры в приведенных

уравнениях,

представленных

в нижней строке таблицы, определены следующим образом:

a =

a33

è

b =

a33

.

(20.18)

a

a

11

22

Теперь займемся кривыми параболического типа.

20.5. Кривые параболического типа

Нам осталось рассмотреть кривые, у которых второй инвариант равен нулю I2 = 0, или кривые параболического типа. Приведенное уравнение для этих кривых может быть представлено в двух различных видах:

a22 y2 + 2a13 x = 0,

если эта кривая — парабола, и

a22 y2 + a33 = 0,

если это две параллельные прямые.

Мы должны ответить на тот же вопрос, что и для кривых гиперболического и эллиптического типов — можно ли с помощью инвариантов однозначно определить вид кривой параболического типа. С этой целью вычислим инварианты, исходя из приведенных уравнений.

Для параболы получаем:

I = a , I		2	= 0, I	3	= −a a2		,
1	22				22	13

а для двух параллельных прямых

I1 = a22 , I2 = 0, I3 = 0.

Мы видим, что если величина инварианта I2 позволяет определить принадлежность кривой к параболическому типу, то величина третьего инварианта I3 = 0 позволяет различать между

307

III. Кривые и поверхности второго порядка

собой эти кривые. То есть если инвариант I3 ≠ 0, то кривая является параболой, а если I3 = 0, òî ýòî — пара параллельных прямых. Таким образом, и в случае с линиями параболического типа инварианты дают возможность определять вид кривой второго порядка прямо по ее общему уравнению без перехода в приведенную систему отсчета! При этом можно определить не только вид кривой, но и все ее основные параметры.

Единственным исключением пока остались параллельные пря-

мые, потому что, исходя из значений инвариантов I1 = a22 , I2 = 0,
I3 = 0, невозможно определить коэффициент a33 ,	который стоит
в приведенном уравнении для этих кривых a y2	+ a = 0.
22	33

Здесь нам на помощь приходит полуинвариант K. Вычислим его в приведенной системе отсчета, исходя из определения (20.7):

K =

a11

a13

+

a22

a23

=

a22

0

= a

a .

(20.19)

a13

a33

a23

a33

0

a33

22

33

Отсюда уже можно найти величину a33 :

a =

K

= K .

(20.20)

33

a22

I1

Теперь мы видим, что полуинвариант K понадобился нам именно тогда, когда он является полным инвариантом, то есть для кривых, у которых и I2 = 0, è I3 = 0. Таким образом, полуинвариант K позволяет определить параметры кривой второго порядка, когда она оказывается парой параллельных прямых. Так, например, если коэффициент a33 оказывается равным нулю, а вместе с ним и полуинвариант K зануляется, то эти параллельные прямые совпадают:

a y	2	+ a
				= 0		a22 y2 = 0.	(20.21)
22			33
a			= 0
	33

Если коэффициенты в приведенном уравнении a22 y2 + a33 = 0 имеют одинаковые знаки, то есть a22a33 > 0, то это уравнение может быть переписано в виде a22 y2 = − a33 . Как и в случае с мнимым эллипсом, этому уравнению не удовлетворяют коорди-

308

20. Инварианты и типы кривых

наты никакой из точек на плоскости. Однако, если переписать его с использованием мнимой единицы, то уравнение примет вид a22 (iy)2 = a33 , соответствующий двум параллельным прямым. Поэтому такая кривая второго порядка называется пара параллельных мнимых прямых. Заметим, что условие a22 a33 > 0 также является инвариантным условием, так как оно может быть выражено через инварианты. Действительно, согласно (20.19),

a22a33 = I1 K = K.

I1

Следовательно, знак произведения a22a33 совпадает со знаком полуинварианта K.

Рассмотрим оставшийся случай, когда коэффициенты в при-

веденном уравнении a											y2 + a = 0 имеют разные знаки, то есть
K < 0.									22		33
			В этом случае это уравнение может быть переписано в
âèäå		a	22		y2	=		a		и оно, очевидно, описывает пару вещественных
								33
параллельных прямых.

Таким образом, мы показали, что существуют четыре кривые второго порядка параболического типа, которые сейчас приведем в одной таблице.

					Таблица 20.4
Классификация кривых параболического типа
	Параболический тип: I2 = 0
I3 ≠ 0 :			I3 = 0 :
		параллельные прямые
парабола	K < 0 :		K = 0 :		K > 0 :
y2 = 2 px	вещественные		совпадаюшие		мнимые
	y2 = h2		y2 = 0		y2 = −h2

309

III. Кривые и поверхности второго порядка

Уравнения кривых в приведенной системе отсчета, которые представлены в нижней строке таблицы, содержат параметры, заданные следующими соотношениями:

p = −	a13	,	è h2 =			a33			.	(20.22)
	a					a
22						22

Теперь мы убедились, что инварианты действительно позволяют отличать друг от друга все виды кривых второго порядка без перехода в каноническую систему отсчета.

Однако, в соотношениях (20.14), (20.18) и (20.14) параметры кривых определяются через коэффициенты приведенных уравнений. Но ведь эти параметры являются геометрическими характеристиками кривых, например a è b — это полуоси эллипса, а параметр h — это расстояние между параллельными прямыми. Поэтому величина этих параметров не должна зависеть от системы координат, а, следовательно, эти параметры являются инвариантами кривых второго порядка. Значит, все они должны выражаться некоторым образом через инварианты кривых второго порядка I1, I2 , I3 , K. В следующем разделе мы займемся получением таких выражений.

В конце раздела сведем все полученные результаты в итоговую таблицу, а также приведем один из возможных алгоритмов определения типа кривой по инвариантам.

20.6. Итоговая классификация кривых второго порядка. Распадающиеся кривые

Исходя из этой общей классификации кривых второго порядка, сведенной в таблицу 20.4, мы видим, что кривые второго порядка, у которых третий инвариант равен нулю, фактически сводятся к кривым первого порядка (прямым) или даже к одной точке. Про такие кривые говорят, что они вырождаются. Поэтому кривые, у которых I3 = 0, называют-

310

20. Инварианты и типы кривых

ся вырожденными, а кривые, у которых I3 ≠ 0, — невырожденными кривыми второго порядка. Кроме того, все кривые, у которых I3 = 0, можно описывать как две прямые, вещественные или мнимые, параллельные, совпадающие или пересекающиеся. Поэтому про такие кривые говорят, что они распадаются на две прямые и сами кривые называют распадающимися.

Таблица 20.4

Классификация кривых второго порядка

	¹	Тип кривой	Название	Уравнение
			кривой

I3 I1 < 0

x2

y2

=1

1

эллиптический

эллипс

a2

+ b2

I

I

точка

> 0

2

2

(пара мнимых

2

≠ 0

I3 = 0

x

+

y

= 0

пересекающихся

2

2

2

прямых)

a

b

2

3

центральные

I3 I1 > 0

мнимый эллипс

x2

+

y2

= −1

I

гиперболический

a2

5

I3 = 0

щихся прямых

− b2

= 0

a2

b2

4

I3 ≠ 0

гипербола

x2

−

y2

=1

0

a2

b2

<

2

x2

y2

пара пересекаю-

6

0

I3 ≠ 0

парабола

y2

= 2 px

=

параболический

9

нецентральныеI

I

K < 0

пара параллельных

y2

= −h2

7

2

пара параллельных

y2

= h2

прямых

8

0=

K = 0

пара совпадающих

y2

= 0

3

прямых

K > 0

мнимых прямых

311

III. Кривые и поверхности второго порядка

Алгоритм определения вида кривых второго порядка с помощью инвариантов