книги из ГПНТБ / Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие

3.	Для того, чтобы функция f(x) была непрерывна в точ­
ке х0, необходимо и достаточно,		чтобы
	\ m f ( x ) —f(xo)~\imf(x).		*
	х->ха—О	х->х,-{-0

Точки, в которых равенство (*) не имеет места, называ­ ются точками разрыва функции f(x). (Подробнее о точках разрыва см. в § 14). На черт. 28 изображена точка Хо раз­ рыва функции f(x), в которой эта функция имеет оба од­ носторонние предела А и В, но в которой А=^В.

У

Й

X

Черт. 28

При вычислении односторонних пределов функции можно использовать все перечисленные выше приемы, ибо все тео­ ремы о пределах остаются справедливыми и для односто­ ронних пределов. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Вычислить

lim	у х * - З х + 2
	sin лх
*-1
Р е ше н и е . ' Так как х 2—З х + 2 — (х — 1) ( х — 2) >			0 при
X < 1 и X > 2, и, следовательно,		функция У х 2—Зх+2	опре­
делена лишь слева от точки х = Л		и справа от точки х = 2, то

в данном случае речь может идти только о левом односто­

роннем	пределе	при х -> 1—0. В обычном смыеле предела
при X ->-1 просто не существует. Сделав замену переменной
X—1 =у	и учитывая, что у		->-0—0		при х -* 1—0, будем
иметь			1
	..	V *а—Зх+ 2		Ѵу{у—1) ’
			’
	lim	---------------- = lim —			— 1— —
	д:-*.1'—0	Sinn*	J/-.0-0	Sin Л (tj + 1)

=iim ІИ._»<ыа..	(Л -	/1 - у	) о о , I
0-.О-О \ —sinлу	у — у/ *-»о-о \ sinity	Ѵ~У	)

90

так	как	функция		имеет		предел		при	у-+ 0, а
				sin яу			л
функция		/ Т ^ Г является бесконечно					большой		в точке
у —О		Ѵ- у
	слева.
Пример 2.			Вычислить lim		/ я — /		arccos X
				*-*-1+0		/ а + 1
Р е ш е н и е .			Так	как функции		/arcco s*		и / х	+ І оп­

ределены соответственно для —1 < х < 1 и * > — 1, можно

говорить о пределе функции в точке								* =	— 1	справа.
Положив	arccos х — у		и	учитывая,		что		при	я -> — 1+0
у —*■я —0,	и cos у = х, будем				иметь	,
	lim	/ я - /	arccos X		= lim	/ я	— / у		_
*-*—1+0		/ а +1			у - * п - 0	у /	c o s у
— lim		- у			1			lim		У _
0-*Я—0 у —		( / я	+ у	у )	2-/2 л		I/-WI-0		COS-
/ 2 -cos
2 / 2 я	• lim				— 7= -	-'lim		■
	—{~0 COS( ^ )				2 у 2 я	г—*0+0		sin	JL	/2 я
(здесь положено л — у ~ г \					при у л	^ 0		г ->-0+0).
					1
Пример 3.		Вычислить		lim 2 ~ .
				*-*0
Р е ш е н и е .		Вычислим		в точке * = 0			отдельно правый и
левый односторонние пределы:
		—	Пт		—			оо.
	П т 2 х ~		2*- *°+0 х —2 + “ =с +							,
	* —* 0+0

11

—lim —

П т 2 х =2*-*°-°* = 2 - ~ = 0 .

* - * 0—0

Так как получены различные ответы, то справедливо за-
	1
*	X
ключение. Функция 2	предела в точке * = 0 не имеет. Рас1-

X

смотренный предел любопытен еще тем, что функция 2

91

является в точке х=0 бесконечно большой справа и одно­ временно бесконечно малой в этой же точке слева. График этой функции изображен на чертеже 29.

Заметим, что функция у = 2 дает нам еще один пример функции, неограниченной в любой окрестности точки я = 0, но не являющейся бесконечно большой в этой точке. Реко­ мендуем читателю обосновать это утверждение.

Остановимся еще на некоторых понятиях, связанных с понятием одностороннего предела.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [а, Ь]

(а<Ь), если она непрерывна в каждой		точке интервала (а,,
Ь), непрерывна^ в точке х = а	справа и	непрерывна в точке
х — Ъ слева.	функцию	f(x) непрерывной в
Если условиться считать

каждой изолированной точке, а непрерывность в граничных точках понимать как одностороннюю, то можно упростить формулировку теоремы о непрерывности элементарных функций и сформулировать-ее так:

Каждая элементарная функция непрерывна в любой точ­ ке своей области определения.

Значение этой теоремы огромно и состоит в том, что на­ хождение областей непрерывности элементарных функций сводится к нахождению их областей определения.

I

Вопросы для самоконтроля

1. Каково определение предела функции в точке х0 сле­ ва? Дать геометрическую иллюстрацию.

92

I•

2. Каково определение бесконечно малой в точке х0 функ­

ции	справа? Дать геометрическую иллюстрацию
3.	Каково определение бесконечно	большой в точке Хо
функции слева? Дать геометрическую		иллюстрацию.
3.	Каково определение бесконечно большой в точке Хо
Хо справа?

5.Какая функция называется непрерывной на отрезке?.

6.Как читается теорема о непрерывности элементарных функций? При каких соглашениях?

7.Существуют ли функции, одновременно являющиеся бесконечно, большими и бесконечно малыми в одной точке? Приведите примеры.

8.Что означают равенства

а)	lim f(x)= 4;		б) lim /(х) = оо;	в) lim /(х) = — оо;
	*-*3—0		* - 0 + 0	* - * - 2 - 0
г)	lim tgx = + оо; д) lim [flxa-f- Ax)—/(x 0)] =0;
	n	„	Д*-*0+0 '
	*-* —	- 0

e)lim f(x) — 0?

*-*4-0

9.Как сформулировать предложение о том, что функция

/(х) не является бесконечно большой в точке. х0?

10.Как сформулировать предложение о неограниченное-'

ти функции f(x) в окрестности точки х0?

Примеры для упражнений

Вычислить пределы:

1)	lim	—------------------		;
	*-*2—0			2 — X
оч	1-		tg3Jt*
2)	11 m *ъ/=Г - Г = f='
	*-5+о	К	х	—4х—5
3)	lim	■		arccos-2х—3
				У 8xa—6* +1
-*- і- +о

1

4) lim /’-5L±V*-4 • *—*2±o \ 2x—3 ,

ei+ ^ —e

5) lim

*-*0 + 0 sin Y X

93

6)	И		Шn sinam плnx	m >0); '
		m ---------- (n > 0 ;
	л:—0 -4-0 ln sin mx
7)	lim ----------
	x-->±3		—
			\+2x~3

t8) lim arctg — ;

*-*0± 0 X

9) lim	. 5—X	X
л_*_і±о 7 - x
Б е р м а н	M s	221, 223.		(а—e),	506 (а), 526,
Д е м и д о в и ч		№№	403, 405, 407
595, 596.
	11. Сравнение бесконечно малых
Если функция		f(x)	бесконечно	мала	в точке дг0, то
1іт/(х)=0. Однако бесконечно малые можно					сравнивать по
х-*-х0

«.скорости» их стремления к нулю. Так, качественно ясно, что бесконечно малая х стремится к нулю «медленнее», чем бесконечно малая я100 при х->-0, ибо значения функции

X100 при соответствующих значениях x ( j x j < 1)					гораздо бли­
же к нулю, чем значения функции х.				малых служит
. . Критерием	для	сравнения бесконечно
значение предела их отношения.
О п р е д е л е н и я .			Пусть функции а(х)	и ß(x) бесконеч-.
но малы в точке х0.
1. Если lim —		=	А - - 0, то функции а(х)		и ß(x) назы-
х—*х9	р(^)

ваются бесконечно малыми одного порядка малости в точке х0. (В этом случае обе функции стремятся к нулю со срав­

нимыми «скоростями»).	,
2. Если І і т - ^ =0, то функция а(х)	называется беско-
х-*Хо РМ

нечно малой высшего порядка малости по сравнению с ß(x) при х-ѵх0. (В этом случае бесконечно малая а(х) стремится к нулю с «большей скоростью», чем ß(x)).

Возникает вопрос, а нельзя ли дать количественную оцен­ ку «порядка малости»' одной функции по сравнению с дру­ гой. Оказывается, можно.

94

3. Функция и(х)			называется	бесконечно малой		k-го по­
рядка	малости по сравнению			с ß(x)	при х	х0,	если
.. а(£) -		,.	а(х)
lim —— =0,		но lim—-—. существует и отличен от нуля.
4.	Если	lim -^ = o o , то функция и(х)			называется		беско-
		х->х„ ß(*)

нечно малой низшего порядка малости по сравнению с ß(x) при X -»■ х0.

	а(х}		не существует,			то бесконечно малые а(х)
5. Если lim——
	X-+Xt р(Л')					Рассмотрим примеры:
и ß(x) называются несравнимыми.
Пример 1. Доказать,				что	функции			a ( x ) =e sinr—1 и
ß(x=ln(l +3tgx)		являются бесконечно					малыми одного			по­
рядка малости при * -> 0.					предел		отношения		данных
Доказательство.			Вычислим
функций при X -»■ 0:
lim	eSln*~ 1		г0sіп л* _ і			3tg*		cos*	1	_1_
л-ч)	ln (l+3tg х)	х-я [ sin л-			ln (l+ 3 tg * )			3	J	3
Так как lim - ^ =			то	функции «(*)			и	ß(x) — одного		по-
	д:->0 §(*)		3							s
рядка малости.

Пример 2. Доказать, что функция а(х) = Ѵ 1+2х4—1 яв­ ляется бесконечно малой высшего порядка малости по срав­ нению с функцией ß(x)=x при х -*-0. Определить порядок малости «(я) по сравнению с ß(x).

Доказательство.

1• а (*)	lim	V 1+ 2*4 —1		= lim	2х*
lim ——					х ( / Т + 2 ^ +1)
*-ч> ßM	х-М)			ДГ-+0
		= 'lim	2а:3		=0.
		х-*0 у 1 + 2 * « + 1
Следовательно, а(х) — бесконечно малая .высшего поряд­
ка малости по сравнению			с ß(x). Выяснцм порядок			малос-
~					/1+2*1—1
ти. С этой целью установим, при каком k предел hm ------ ------
будет конечен и отличен от нуля.					*->0	Xя
Так как	/1+2*1 _!
11т			lim
.Ѵ-М)			х-O **-4(/1+2*4 +1) ’

то нетрудно сообразить, что при k = 4 ответ будет конечен и отличен от нуля. Он будет равен 1.

95

I

Пример 3. Убедиться, что функции		а(х) = x2-sin— и
I'	несравнимыми бесконечно малыми при
ß(x)= x2 являются
X —>0.
	I
	.v2-sin—
Действительно,	отношение -------— = sin ---- ни к какому
	X2	.V'

пределу при х ->0 не стремится. А это и значит, что функ­ ции x2-sin — и X 2 — несравнимые бесконечно малые при

X —>■0'.

Другой пример несравнимых бесконечно малых при х-*-0 дают нам функции а(х)=х и ß(x) = |х |. Действительно,

lim— не существует.

А '- > 0 | X [

Примеры для упражнений

Б е р м а н №№ 405—414.

12. Использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов

Если функции а(х) и ß(x) бесконечно малы в точке х0 и

если lim ДІАІ = 1, то функции а(х) и ß(x) называются экви-

А'-АѴо §(Х)

валентными (или равносильными) бесконечно малыми в точ­ ке х0. В этом случае пишут а(х) ~ß(X).

Заметим, что отношение эквивалентности обладает свой­

ствами:

1° а(х) ~ а(х ) (обратимость);

2° Если а(х) — ß(x),

то ß (x )~ a(x )

(симметричность);

3° Если a(x)~ ß(x),

а ß(x)~ y(x),

то

а(х) — у (х)

(тран­

зитивность)

При

раскрытии неопределенностей

вида

бесконечно

малые можно заменять

им эквивалентными, что обосновы­

вает следующая

Теорема. Если функции а(х), ß(x),

а'(х),

ß '(х) беско­

нечно малы

в

точке л'0; причем

а (х) ~

а ' (х);

ß(x)~ ß'(x),

и если

существует конечный

или

бесконечный

предел

lim

и' (х)

-

то

.. а (х)

..

а ' (х)

lim —— = lim — — .

X -* X Q ß'W

ß(x)

X -+ X o

ß' (X)

96

Пример 1.		Вычислить lim tg X					— sin X	(A)
					x->0 l n ( l + . V 3)
Р е ш е н и е .			t g а — s i n a = t g je • ( 1 — c o s x ) = 2 s i n * — • t g a .
Так	как tgjc~jc;			sin-		, ln (1 —j—.Vs) — X 3		при a -*-0, а
следовательно,				^sin2-|	--tg	x'j —	-А, тс
I •	.			sm* — • tg *			m .
	tg X — s in X			.	2
lim —-----------			=21im ----------------			=21im-
x-K} l n ( l + . t 3)				,v->0	ln (1 -)-	-V3)	.v-_0

При вычислении пределов с помощью сформулированной выше теоремы полезно иметь в виду следующее утвержде­ ние. Если функции а\(х), а.2 (х),... сх„(а) являются бесконеч­ но малыми высшего порядка малости по сравнению с а(х)

при А —►а0і то а (а) -)-ах (а) + сса (а) + • • • + а,, (а) — а (а).

А это означает, что при вычислении пределов слагаемые высшего порядка малости можно отбрасывать:

lirn°tW +«iW + «.(-t)+ ■ •			• + a n(A) _	1іт	а (а)
А—X ,		ß ( х )		г-»дг, ß ( х )
Пример 2.	Вычислить lim ----------:— .
		* - 0	Sin X
Р е ш е н и е .	Здесь бесконечно малая			а2 имеет высший
порядок малости		по сравнению с бесконечно			малой е*—1;
поэтому ей можно пренебречь. Учитывая,				что	sinx~x, е* —
—1~ а, будем иметь
	lim	е-ѵ -/1— Xs =	lim е Л' — 1
	х-Л	sin X	i-O Sin А"

З а м е ч а н и е . Поскольку всякую дробь можно предста­ вить в виде произведения двух функций, то и при вычисле­ нии пределов произведений бесконечно малые можно заме­ нять им эквивалентными.- Однако предостерегаем читателя от таких замен при вычислении пределов отношений сумм и разностей.

Так lim tg* ~ smА. — _L но если бы при вычислении это-

х - о

1 п ( 1 + х 3)

2

го предела мы воспользовались соотношениями tgA — а,

7—*2518

"97

s in x ~ x

i i

заменили бы tgx и sin*

на £ ,

то'получили

бы

неверный

ответ:

lim —-----------=

lim --------=0.

Х -Я

ln (1 +

-X3)

х -Л

X3

Пример 3. Вычислить

1іш (arcsin х- ctg ях).

х-»0

arcsinх — х,

Р е ш е н и е .

Так как

при х->0

tgnx — ^A:,

то данный предел

равен

lim (x-ctg ях) = lim ----—— = lim —

= — .

x-»0

x->0

tg

3tX

x-*l

ЯХ

Я

При вычислении

пределов

более сложных функций сле­

дует пользоваться

следующей

таблицей

эквивалентностей.

Если

а (х )— произвольная

бесконечно

малая

в

точке

х0

функция, то при X -V х0:

1.

s in a (x )~ a (х);

6.

еа(ѵ>—1~ а(х );

2. tg а (х) ~ а (х);

7. аа<х)—1— а(х)-1по;

3.

1

cos сс (х) ~

— а2 (х);

8.

1п[1 + а (х )| ~ а (х );

4.

arcsin а (х) ~

а(х);

9.

loga [l-f «(*)]

а(х)

In а

5.

arctg а (х) ~

а (х);

10.

[1+а(х)]*

l 'Tr' ja(x).

Рассмотрим

примеры.

2arctg”sKx _j

Пример 4- Вычислить lim

x-o УТТзГ* -1

Р е ш е н и е .

Так как 2arct^ 3Vx — 1— arctge3Kx

• 1п2-

~

(3і/~х)Мп 2 =

хМ п2

при JC—>0, а 3] /і -f-Зх2 — 1 =

2_

= (14-Зх2) 3 — Л'----— -Эх2 =

X2

при х - ь - 0 ,

то

3

lim

2 &rctge * Y x __j

■=

lim x * -ln 2

=

ln 2.

"x-*-o

3]/T f3 x » —1

x - > 0

Пример 5-

lim ■

pSin’ X

1

s in 2 X

X1

_________= l i m ----------- =

h m --------

x—*o

ln (1—tg2x2)

X—*0

—tg 2xä

x-»0 —2xa

98

			i
Пример 6-	Вычислить lim	1— cos'[l — ces (1— cos x)l
	,v->o		(ev + e--v —2)3-x2
Р е ш е н и е .	Так как при х-*0		1—cos [1—cos (1— cos,v)j^
---- ^-[1—cos (1 — eos x)]2~			-y -|~ -(1 — cos ,v)2j2 ~
t { ^	x2)'}'= " f r и e	+	e“ v —2= e~v (e3-v—2e-v + 1 )=

e~x (é*x —l)2 — e~x-(2x)2 = 4e~ vx2,. то данный предел равен

lim

х8 ■2~7

=

2~13.

t-*o (4е--*-х2)8.ха

Пример 7-

eV i+3iv-

lim

У i+3r t> -e

л.

-1

arcsin2

.

= —= e*lim

x-*o

у X

x—*o

arcsin2 3^Лх

,.

і Л + Ѵ * 2 - 1

e

• l i m—

2

e

= e-lim ------ .ä-.v-=Tö------=

— = —

A'-»-0

(V

* ) 2

V^o'

(VT)*

Пример 8.

Вычислить lim

ln cos ax

л;->0

ln cos g>:

Р е ш е н и е .

Так как при ,ѵ->0 ln cos ах =

ln [1 + (cos ca-

1)] —■coi ax — \ ------ Y (ca)2,

а

ln cos ßx'-

4 - ( ß y

TO

lim

l n c o s a x __ . .

( a x ) 1

ln cos ßx

lim -2—c- = —

*->o

(ßX)2

ß2

Пример 9.

Вычислить lim

V u + 8 x

- 3

____

x-2

,8/3 0 - f x - 2

Р е ш е н и е .

Так

как при х

->-2

У 11 + 8* —3 = Ѵ27+(8.ѵ—16) —3 =

1

8 ( х - 2 ) - \

- 3 - - ------ Ë_(*_2) =

27

3

27 v

=

{x —2), а

У 3 0 + х - 2 = У

3 2 + (а-- 2 ) - 2 =

■=-чѵс /

X— 2

~ 2

X— 2

1+ 32

-2- - L . x32

80

99