книги из ГПНТБ / Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие

lim

V 1 1 + 8 * -3

..

27

( X - 2 )

6 4 0

■

^

-----=

lim ---------------r

л->2 « /3 0 + Л - 2

1

’

2 7

8 0

(

Пример 10.

„

i)a

Вычислить lim —- -------------

,v-*2

ln cos тех

Р е ш е н и е .

Так

как

при х->2

У 3 ^ 7

-

1 =

У

і + ( 2 - * ) — 1 ~

■(2—х), а

lncos iw = ln [1 -f (cos n x — l)]~cositx —1==

= co sn (x —2)—1 ~ ----л2• (x—2)2, то

lim (У 3=5-1)»

=

lim

У Ч

•V— 2

ln COS Л.Ѵ

.c-2

- — n*(*-2)*

9 л *

I

. «TA

Пример 11.

Вычислить

lim [2

ÖT

---- —)

Л'—HI \

&/

Р е ш е н и е .

Здесь неопределенность

вида 1“. Поэтому

X

jrp-

lim ( l -----—)• tg —

—

lim (a -.c )c tff

( — -

— ]

a )

- ° ax-*a

l i m ( 2 — —a 1

= e * ^ “ '

2a

^ 2

20

— •lim -

. May)

— «lim —

Q*->asin £(£=*>

’

2ö

1 , .

a —X

a

= e

2 a

На стр. 98 было высказано замечание, что в суммах и разностях заменять бесконечно малые им эквивалентными нельзя. Однако следующий пример показывает, что иногда такую замену все же делать можно. Действительно,

lim	sin 2 * + sin 8х	..	sin2x	..	sin8x	=	2 , 8	_
	------- —-------- =	lim	---------sin5x	|- lim	-------		------ 1-----	=2. (Б)
*-»o	sin5x	*-*o		*->о sin 5a:			5	5

С другой стороны, замена бесконечно малых эіп2д: и sin8x при х-*-0 им эквивалентными 2х и 8х приводит к та­ кому же результату

,.	sin 2х + sin 8х	..	2х + 8х	0
lim	------ —------- =	lim -----	sin-----Ъх	—2.
ж—*о	sin Ъх	*-»о

100

Следующая теорема дает ответ на вопрос, в каких слу­ чаях бесконечно малые можно заменять им эквивалентны­

ми в суммах и разностях.
Теорема. Если функции а(х), а'(х),			ß(x), ß '(x )— беско­
нечно малы		в точке х0 а а (х) — а' (х),	ß (х) — ß' (х ), причем
lim	существует и отличен от —1, то а(х) -H ß(x)~
х-*„	ß(x)
~ а 7(х) + ß' (х).
Доказательство. Действительно:
	lim	+
	х - х „	а ' (X) + ß' (X)

,•	ß (JC>	lim	( Ш + 0
		X—’KVо	U w	I	_
lim -1- 2—
x-*x,	ß' (x)	lim	<»'(*)
		X-+X*	ß' w
,.	а ' (x)	,.	а (x)	,	,
так как lim — — = lim —— =4=— 1.
X-*X„ ß' (x)		А--Ы-, ß (X)

, ,	..	<*(x)
1+ hm "n /Т			= 1.
	Х->Хц	ß ( x )
. ,	..	a'M
1 +	lim —------

x-х. ß' (x)

Доказанная теорема позволяет заключить, что при вычис­ лении предела (Б) бесконечно малые sin2x и sinèx можно

заменить им эквивалентными, так как lim ------							ф —1, и, сле-
довательно,					х->о sin 8х
		sin2x + sin8x~2x+8x= 10х,				а	при вычислении
предела	(А )	бесконечно малые tgx и —sinx нельзя заменить
им эквивалентными, так как lim .tgx-					=	— 1; поэтому функ-
				х-*0 —sin X
ция tgx—sinx не эквивалентна функции х —х=0.
Пример 12.
	2Sin» X_ 3tg* X		=	/2Sin"X _ ! ) _			(3{в* X
lim ------------				l i m —5--------- 1 .			—-— =
x-0	(4X5	_ / 1 - 2x3		x-*o (4X= _1) -		( Y l_ 2 x a - 1 )
	..	sin2X'ln 2 — tg2X'ln 3			x2-In 2 — xMn 3
	X—o	xM n4 +	x2	X—ю		X2 (ln 4+1)
		_		ln 2 — ln 3
				ln 4+1

Здесь мы воспользовались только что доказанной теоре­

мой. Рекомендуем читателю обосновать приведенные вык­ ладки.

101

		1
Пример 13. Вычислить lim	V ах -1	Ѵьх
	2
■ѵ-»о \

Решение. Здесь неопределенность вида 1°°. Поэтому

lim

а \

+ Ь

2

- 2

Г

о ' " 1

- lim

ь2 -1

л-*0

2 х

І.]па4-і-]п6

---

— е 4

4

= Ѵ а Ь .

Пример 13.

е-Ѵ.1пдг _ еаігш,

,

е .ѵ»Іп.ѵ-яіпа__ 1

..

х л — аи ..

e“

• lim

---------- =

lim

------------------

X — a

--

" • lim

X — а

X-*a

x —О

x->a

„

jc*ln X — я ln я

=

да. Ilm

-----------------

X -* Q

X —

О.

,r

,,

i x A n x —.vlna

.

.Vln а — а ln а \

= a“ ■li m I--------------------

X — а

X

1-----------------

X — a

-jI =

=

aa •

\

lim

[лМп —

j- ln а j —

------------X — а

x-+a

lim

x -ln (l+

* —- Л

f- Ina

-----

-----------------X — а

x-*a

x — a

= aa ( lim

x — a

-j- Ina

U

»

; (1+ Ina).

x-H,

Примеры для

упражнений

,

Вычислить пределы:

1) iim

2)

lim

sin" rnx

; 3) lim

1

x-A) In (І-рЗ&х)

x-A)

x —A)

arctg2 2.V

4) lim

3arcsin*.t —[

7y l+ 2 x —1

;

5) lim—

------

•

x—*o

ln(l+3tg2jt)

x-A)

г Ѵх - \

102

6) lim

ln cos 3x

7)

lim

sin (Зл; —6)

1+ tg2 X

— 1

X2—4

Ж-O V

x-*2

■ I o

Я2

\

'

sin Ix2 -----— J

lim ctgn x -ctg |—----л)

8)

lim -----------------;

9)

7t

1 —2 cos X

*->1

\

2

j

10) lim

ln

tg

-i+ax j

, , % .

sin 4л

i n\

1 •

cos ■

; ll)

lim

. — ;

12)

lim

.r-*0

sinßjc

’

'

Д.--73-

sin З л '

'

л-—*i

1—

У

X

13) lim

У з 2 л ь - л 8

, ^ . .

2 tg je — л 4 + X 2

r "“л—

14)

lim

arctg 3x

•

*->0

е6л' —1

’

x-o

, r ,

ln (jtr+1) — sin2*

1C. ..

sin2x — tg4 JC

;

iS) !■»

arcsin

..------ : i6>

i"?

^

+ 5l,—

x->0

X

>o

e3arctg>j; — cos3x

i a ,

11111

e3.v»

- X 1

j

17) hm —Т7Г77====—;— I

*8) lim

ln (1-r3arcsin2 x)

x-*o

lü K c o s 5 x — 1

*->0

19) lim

(X3 — Jt3) •

sin 5л

;

20)

lim

j / 2

-sinл — 1

„sin5*— 1

’

*-»7I

16л3 — я2

2 1 )

І ш

;

^

-

V

;

22)

lim sln& “ ls2 '

* - o

V l — y

- i

x-tf

ln (1+ Я3)

23)

lim —

2-^— 1

;

24)

lim

sin*7* ~ sin!5*

; 25) l i m ^ -

я

я-иэ

__е " 2*5

п

tg

З х

Л

26)

lim J - Y

l i -У .У 1- 5* ..

27) lim

Y i + з ^ - і 1

’ x-*0

X

’

’ r-o

OOX

V

4 1 4 2 0 л - 3 .

29) lim

Y 11 + 8 л - Ѵ79+л .

2.0)

l i m —

г—

..-------------,

x-*2

У 3 0 + Л - 2

x-*2 6/ 3 x —5 — Y x — 1

30) lim Ѵх+2 —3/х+Ш

OI4 ..

1— созл -У cos2л

31)

lim

-----------

--------- ;

V x+ 9 -2

'

i -Ч)

X*

32)

lim

(з^з=Г _1)4

33)

narccos (1—л;*)

i

lim —s ....

------- ;

л-*2

1 — COS (1 — COS HX)

*-4j

5]Л + З л2- 1

34)

lim

■jtg3*.

„arcsiru5

;

35) lim

■ >Vl+2x*

e-cosX

у 32+x3 -2

ln cos Л

*-л

J!-*0

36)		o s i n j 3 l/ .v		n s 3 ! ' a r c t g ' . v		; 37)				,	tff 2b .
	lim — -у-— —				-			lim (2 +
.	. v - M i	s in 2 y^x — 5		a r c t g 1 x			'	x->-b \
o n .			c o s 2л' + 1 — c tg X			o n .			3 V4 - 3 _V— 2
38) l i m			----------------	2— ;		39)	lim —			-------
			ln tg X
				V — zx		Y			z.	.
			40)i n , lim —-—о		■ — T—i - r-/--------J C —
			*->o	V	2 - ^ - 5/ F

Кроме перечисленных советуем решить еще следующие примеры из задачников:

Б е р м а н №№ 334—348; 366, 368—375, 397—401;

Д е м и д о в и ч №№'452, 456, 547—550, 566(a), 567, 574.

13.

Пределы функций при х-^ + оо

Нас

будет

интересовать

поведение

функции,

определен­

ной для

достаточно

больших

\х\

при х

- ѵ ± о о .

Введем сле­

дующие

определения.

1.

Число

А

называется

пределом

функции

f(x)

при

+

если для любого е>0 существует число N > 0 такое,

что для

всех х, удовлетворяющих

неравенству x>N,

будет

справедливо

неравенство \ f (х)—А\ <е.

При

этом

пишут

A=\\mf(x).

X —►-}-=»

2.

Число В

называется

пределом

функции

f(x)

при

.Y-+-— со, если для любого е>0 существует число L > 0 такое,

что для всех х,

удовлетворяющих неравенству х < —L,

будет

справедливо

неравенство

j f(x)—В |< е .

При

этом

пишут

ß = limf (х).

ѵ

Л—-'»

3. Если функция f(x)

имеет предел А при x-v-j-oo и пре­

дел В при х-> — о о , причем А — В,

то говорят,

что существует

предел функции f(x)

при х-> о о

и пишут A = Umf(x).

\imf(x)=A

Х'-ьоо

Геометрически, существование

означает, что

график функции f(x)

X —

У»

при неограниченномвозрастании аргу­

мента

приближается

к горизонтальной

прямой

(асимптоте)

у=А;

причем для всех абсцисс x >N

ординаты f{x) отлича­

ются от А меньше, чем на е (черт. 30), а график целиком рас­ полагается в полосе А—е< у< А + е-

104

/

Если limf(x)=B, то график	функции f(x) при х-^ —оо
X - * — оо	к горизонтальной асимптоте
неограниченно приближается
у —В (черт. 30).

4.	Функция	f(x)		называется	бесконечно		малой		при
je -’■> - f	о ° (л: - > — о о j ,		е с л и І і т / ( л : ) = 0 ( 1 і т / ( л г ) = 0 ) . А с и м п т о т о й
				X —* ■j- оо
б е с к о н е ч н о м а л о й п р и				+ оо ф у н к ц и и с л у ж и т о с ь х.
5.	Функция f(x)			называется	бесконечно		большой		при
х->-\-оо (X->—оо),			если для любого числа			М >0		(хотя бы
как угодно большого)				существует число N > О			( L > 0) такое,
что для всех X ,		удовлетворяющих неравенству x> N						(х < —L)
будет справедливо			неравенство		\[(х)\ >М	( ч е р т .		3 1 ) .	При
э т о м п и ш у т l i m / ( я ) —■то ( l i m / ( x - ) = о о ).

105

Если в предыдущем определении неравенство \f(x)\ >М заменить на f(x)>M, то мы получим определение положи­ тельной бесконечно большой функции при х ->■ + оо оо), а если то же неравенство заменить на f(x) < —М, то мы по­

лучим	определение отрицательной	бесконечно		большой
функции	при X' ->-+ оо (х -і— эо). В первом		случае	пишут
limf(х) — + оо (limf(х) —■-foo); во		втором	limf(x) = —оо
*~|-оо	д ;_ > _ со		х ~ * -\-е о

(limf(x) ——оо). На черт. 31 изображен график функции по-

Х —>— оо

ложительной бесконечно большой при х-+ -f =о и отрицатель­ ной бесконечно большой при х-> — оо.

6.	Функция f(x)	называется бесконечно	большой при
л-)-оо (без указания знака), если для любого Л1> 0 сущест­
вует число N > 0 такое,		что для всех х, удовлетворяющих не­
равенству	будет справедливо неравенство		\f(x)\>M.

При этом пишут lim f(x)= оо. Различают также положитель-

Х-+СО

ные и отрицательные бесконечно большие при х->оо. Сове­ туем читателю сформулировать соответствующие определе­ ния и рассмотреть их геометрическую иллюстрацию.

Многие, рассмотренные ранее приемы вычисления преде­ лов функций при X - * Хо, используются и при вычислении пределов при х->±оо. Однако некоторые приемы имеют свою специфику. Остановимся подробнее на случае замены переменной при вычислении limf(x).

X —» го

Теорема. Пусть функция f(x) определена при достаточно больших по абсолютной величине значениях аргумента. Если

существует limff —|= Л , то существует и предел limf(x) так- г-ЮVZj Х-М

же равный А: limf(х) —А.

X -♦<»

Доказательство.Так как limf(-) —А,				то для любого		е>0
	9	*->о \zj			1	1\
найдется число		(обозначим	его
	б>0			символом —: Ь— — ]
такое, что для всех г ф 0 и удовлетворяющих					N	N I
					неравенству
|г |< 6 = '— будет	справедливо неравенство				<е. По­
ложим х = —. Тогда неравенство				равносильно		нера­
венству J-J-	или	|* |> М , и, следовательно,			справедли­
вость неравенства |х|> Л / влечет			за собой справедливость

106

неравенства |f(x)—А ]<е. А это и означает, что limf(x)=A.

	Теорема	доказана.		X->f»
			теоремы состоит в том,
	Огромное значение доказанной
	что вычисление всякого предела вида			liraf(x) с помощью
		1		Л,'—і>ео
	замены		к	вычислению предела
		переменной х= — сводится

функции в точке, а способы вычисления последних уже изу­ чены. Кроме того, доказанная теорема позволяет сделать вы­ вод о справедливости всех теорем о пределах функции в точке (например, теорем о пределах суммы, произведения, частного и т. п.) и для пределов функции при х-э-зо.

	Перейдем к рассмотрению примеров.
			2х*_1	Каким долж-
	Пример 1. Доказать, что П т ---------- =2.
	I	*-,оо	ха +2
	но быть N, чтобы из I X | > /V следовало
	2 х * - 1	<	е? .	{А)
	х 3 + 2

Доказательство. Зададимсяпроизвольным е>0 и попы­ таемся найти такое N > 0, чтобы из | x | > W следовало нера­ венство (А). Для этого решим неравенство (А) относи­ тельно |х|

2 х 3 — 1— 2дія — 4	< е;	[5		< е;		а	^	5—2а
X* +2					ха + 2 > — ; ,ѵ3		>	-------;
		Xs +2				а		е	(Б)
Положим N —			, если		е <	и N =1, если е > —
									2

Тогда неравенство |x|>JV повлечет за собой справедливость неравенства (А). Действительно, при е< утверждение

справедливо в силу равносильности цепочки неравенств (Б) и неравенства (А), а при е > — неравенство (А) удовлетво-

ряется всеми х и N можно брать произвольно.					что для	всех
Итак, для любого е>0 существует N такое,
\х \ > N справедливо неравенство			(А).	Это	означает,	что
lim ---- —= 2.				^
х—►«	Функция f ( x ) = 2* является
Пример 2.				бесконечно боль­
шой при х	-г	Действительно,	каково	бы ни было число

107

Л4>0,	существует число N —		ІпАІ	такое,	что из	х>	ІпМ
следует			1п2	'	оо Эта	же	21п
		Следовательно, 1іт2-е= +					функ-
шія	является		X —*■+			так как
		бесконечно малой		при х-*-—эо,

Ьт2г =0. Отсюда следует,		что при х->оо (независимо от зна-
ка) она предела не имеет.
Пример 3. функция f(x) — arctgx					имеет различные пре­
делы при X —э- + оо и л:->— оо: lim arctgx 1= — ;							lim arctgx =
					2		Х - ь — оо
= — —. Предела при х ->■со она не имеет.
Пример 4. Выяснить поведение целого относительно х
многочлена Рп(х) при х-*~± 00.
Р е ш е н и е ,	lim (спхп +		сп^ 1хп~’1 -f сп_гхп~2-f- .					. . +
	Х - + ± оо
4- сгх 1-ф с±х 4- с0) = lim		Г*" (сп 4—		X	4—		4-	■ • •	4-
	Ci	L	\		X*
		4 - — )		=	lim cn
	+
			Л" I		ЛГ-*± oo
Действительно,	второй множитель			внутри		квадратных			ско­
бок-ограничен	при я-»- + оо,		так как		имеет	пределом число

с„; поэтому поведение многочлена при х-*-± оо определяется

его старшим членом.
Таким образом,						4- оо,	если сп > 0
	lim	Рп(х) =		lim с„хп =
						— оо, если сп <0;
lim Р„ (x) ±=			lim спхп =
* —►— оо		X —»— оо
I T-оо при с„ > 0				и я =2k		и при сп < 0 и я = 2~k— 1
\ —оо при сп > 0 и n = 2 k — l						и при	с „<0 и n —2k.
Пример 5. Вычислить предел отношения двух многочле­
нов при X -*■оо.
Г,			, .	Р„ (х)
Р е ш е н и е . Пт				Qm (ж)	=
= П т — Сп—~+ Сп~іХ—1 + •					ClX~t£?—		(неопределенность
х-~ ртхт +				+ . . . + Pix + Po
вида	оо N	.	*
	----

10»

Рассмотрим три сЛучая.

1.

на

п>т. Поделив

все

члены

числителя

и

знаменателя

дроби

X”

получим

Сп +

Сл—1

+ . .

+

__£i_ , _£о_

, •

Рп (х)

lim

X

Хп~1

x n

lim —

Pm

pm-i

Pi

Pp

Д--ЮО

Qm (х)

,

’

"T”

'

jjTi-яг

"T" xn-m'1

xn~l

xn

так как в числителе стоит ограниченная функция, а в знаме­

нателе — бесконечно малая функция.

числителя

и знаменателя

2.

на

п<т. Поделив

все

члены

дроби

хт получим

lim

Рп (X) _

X —*оо Qm (х)

сп

+

Сп-1

сі

+

Со

■= lim

хт-п

•х т-п+і

+ . . . + Х т -1

хт

- 0 .

Рт- 1

Р1

I

Ро

Pm

X —»■=»

Рт +

+ ■

•

X

х т~1

3.

п —т. В этом случае

П

т

Рп М

=

1 і т

спхп +

с „ _ іл - " - і

+

. .

. +

сгх +

с0

_

•г-»»

Qn (х)

х-*<»

Рпхп -Г Рп-1*п "1 -г

■ •

■ +

РіХ +

Ра

сп + Сп-1

+ -È T + хп

сп

Со

=Пт-

рі

_Ро_

Рп

г

I

Рл + РпX-1

+ •

^п-1 +

З а м е ч а н и е .

При

вычислении

пределов

отношений

конкретных многочленов при х->- со числители и знаменатели дробей следует делить на старшую степень л:. А еще луч­ ше запомнить следующее:

			оо,	если	/г >	т;
1 •		Р П (Х)	См	, если	п — т;
П т —			Рп
х-*°°	Qm W				п <	т.
			. 0,	если

Если степени числителя и знаменателя равны, то предел от­ ношения данных многочленов при х-*-ж равен отношению коэффициентов при старших степенях х.

109