книги из ГПНТБ / Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие

25.Что такое сложные проценты? Как они начисляются при непрерывном росте?

26.Можно ли последовательность задать с помощью

следующих формул для ее общих членов

а) яя = 2 п ; б) é„ = ]/n* + 10Ö'; в) сл = /Ш 0 - / г ;

fn = arcsin

пг

100л + 7

27.Что называется суммой двух последовательностей?

28.Сумма двух сходящихся последовательностей есть по­ следовательность сходящаяся. Справедлива ли обратная теорема? Привести примеры, иллюстрирующие ответ.

29.Что называется произведением двух последователь­ ностей?

30.Известно, что произведение1двух последовательностей есть сходящаяся последовательность. Что можно сказать о сходимости перемножаемых последовательностей? Привес­ ти примеры.

19.Второе определение предела функции в точке

Иногда определение предела функции f(x) в точке х0 вво­ дят иначе (не так как в § 2) с использованием понятия пре­ дела последовательности. Чтобы лучше понять новый под­ ход к понятию предела функции, рассмотрим предваритель­

но следующий пример.
Пусть дана функция f(x) X3 —Зх2 + X -і-1		Составим любую
X —	1	удовлетворяющую
последовательность чисел хи х2). ...,	хп...,
лишь двум условиям:

1)Все члены последовательности принадлежат области определения функции.

2)Ііш хп— 1.

П—►со

Выясним, как будет вести себя соответствующая последова­ тельность

X1— 3X] + Хі +1	xf —3xg + ха -f 1
X i — 1	X j — 1

xn —Зх^ + x„ +1 xn—1

‘ 150

значений данной функции. Очевидно, она будет иметь предел при п - * - с о . Действительно;

lim	х3п - З х 2п + x n + l	=: lim	( X , . - 1 ) .( х ? - 2 х п— 1)
	------------------------		-------------------------=
П—►со	X fi ” ~ I	П—>со	X и - 1

= 1іт(л:*— 2хп—1) = (Птх,,)2—21ітхп—1 = 1— 2— 1= —2.

П —>оо

Л —*©о

Заметим, что полученный результат не зависит от вида последовательности, а только от двух требований, предъяв­ ленных к ней. То есть, какой бы ни была последователь­ ность {лг„}, сходящаяся к 1, последовательность {/(я,,)} со­ ответствующих значений функции сходится к числу —2. Это число естественно назвать пределом функции f{x) в точ­ ке х— \.

Рассмотренный здесь подход к понятию предела, разу­ меется, не меняет существа задачи, поставленной в § 2: попрежнему понятие предела функции в точке Хо дрлжио от­ вечать на вопрос, к чему «стремятся» значения функции, ког­ да значения аргумента начинают как угодно мало отличать­

ся	от х0.	введем новое определение	предела	функции в
	Итак,
точке.		функция f(x) определена на	некотором	множестве
{.к}	Пусть
	действительных чисел, таком, что любая			окрестность

точки хо содержит бесконечно много точек, принадлежащих данному множеству.

Число А называется пределом функции f(x) в точке Ха, если для любой сходящейся к х0 последовательности {*„} значений аргумента такой, что хп ф х0, соответствующая по­ следовательность ( f(xn) } значений функции сходится к А.

Из такого определения предела функции немедленно вы­ текают следующие теоремы.

1. Функция f(x) в данной точке может иметь только один предел (это следует из того, что все последовательности {хп ) имеют общий предел).

2. Если f(x) = C — есть постоянная функция, то lim f ( x ) =

— С	(действительно, (для любой	сходящейся	Х —>Х0‘
			к х0 последова-
тельности {хп} соответствующая		последовательность значе­
ний	функции имеет вид С, С,	.... С, ..., и,	следовательно,
lim С= С).
П -* Х 0

151

3. Какова бы ни была точка x q , всегда Ііш x = x q (это еле-

Х - + Х 0

дует из совпадения последовательностей значений аргумента и значений функции для f(x)=x).

Аналогично с помощью понятия предела последователь­ ности вводятся понятия правого и левого пределов функции в точке, а также понятия пределов функции при х-^-+ 00.

Разумеется, рассмотренная трактовка понятия предела функции требует предварительной разработки теории преде­ лов последовательностей. Но это уже не представляет труд­

ностей.	Приемы же вычисления					пределов, основанные на
теоремах о пределах, остаются прежними.
Рассмотрим			еще	некоторые		примеры.
					1
1. Вычислить 1іт(1+Зл:)Х .
			*->0
Р е ш е н и е .			Какова •		бы ни была последовательность
{дг„} (л'„ =?^0),		для	которой		lirnx„=0, имеем:
				_L	П—►со	_L
		lim (1+ 3 * /" = [lim				(1+ у„)У''Р ==es
		п—►со			/г—
(здесь положено уп —Ъхп. Поэтому lim(l-f3x)							х ==,е®.
,	V	2_X — I		1		*-►0
							последова-
2. lim —------------=				— , так как для люоой
*-» і		X— 1		з

тельности {хп}{хп ф \), для которой limx„ = l, справедливо.

3У2—хп —\

------------ „

(хп

1)

..____

lim —-------------- = lim

______

2

,

-

Я—

* п -

1

я ->

(

x

„

-

l ) - ( Y

(

J r n)s + y 2 - j

1

У

(2— lim хп)~ +

У

( 2 -

Пт хп) +

1

t

_1

1

так

как для

любой бесконечно

3. l i m— —--------= — ,

я-*«,

2х3 — х2 4-3

2

(лг„->оо) имеем

большой

последовательности

х3„ + 4 х п — 1

,.

1“Ь ■4

1

1

lim

=

xl

X3

п

■n

п

lim

п .

— —-

°2х:

4 + 3

Я-»»

1 3

2

2--

х„

152

4. lim sin — не существует, ибо для различных после-

Л'—»0	X	{х„} (хп =£0',				для которых lim х п ~ 0 ,после-
довательностей
							П—>«
довательности		jsin ——|			ведут себя по-разному. Действи­
тельно, если хп =			1		то	1	=эіпя/г=і0, и, следовате­
			ля	'		sin —
						хп
льно, lim	sin ----=0.			Если же х„ =			---------------, Tosin------—
Л -»~	хп						Я	хп
							2ли + —
							2

sin (2пп -f — ]= 1 , и, следовательно, lim sin—^—= 1. Это

означает,	что	lim sin — не существует.			Заметим,	что с
		х-М	X
помощью старого понятия предела				доказательство		этого
факта является		более трудным.
	1
	sin----
5. lim ----—=1.			Действительно,	какова бы ни		была
,ѵ-*0	. 1
	sin —
	X
последовательность			{хД, для которой		х ѣ=/=---- - (в этих
					пп

точках функциях, стоящая под знаком предела, не опре­

делена.	и, согласно	определению,			не должна рассматри­
ваться)	и 1 і т х „ = 0	имеем
	Л —* «о
			1
		sin -----
	П т ----- ^ — =			lim 1=1-
	n~*°° sjn----			п~*°°
Заметим, что предела			Хп '		функции с точки зрения
			данной
старого	определения	не	существует.

Рассмотренный пример показывает, что, хотя оба опре­ деления предела служат одной и той же цели, однако, не яв­ ляются равносильными. Различие состоит* в том, что для первого определения необходимо, чтобы функция f(x) была определена в некоторой окрестности точки Хо, а для второго

определения		этого не	требуется; требуется лишь,		чтобы
функция	была	определена на		бесконечном множестве	то$ек
в любой	окрестности		точки	х0.

153.

Примеры для упражнений

Исходя из второго определения предела функции в точке, вычислить следующие пределы: '

Б е р м а н №№ 269,			275, 284,		296,	311,	321, 331, 356,		363,
368,	373,	398.
Кроме		того, рекомендуем		определить,				существуют	или
нет	нижеперечисленные		пределы:
		і_				t g ~
		lim 2 Л' ; lim tg—- ;			lim ------ —			;
		x->0	2	X	*-*0	.	I

1

cos X—1

lim

cos

X — \

		1
		X
; lim	fl	4- л: sin — ) ?
x-A)	\	X I

Л И Т Е Р А Т У Р А

1.

Ф р о л о в

Н.

А.,

Краткий

курс высшей математики, часть

I,

МЭИ,

1962.

Б р и н

И.

А.

и др.,

Теория пределов и непрерывные функции,

МЭИ,

2.

1955.

Т о л с т

о<в Г. П.,

Курс математического анализа, т. I, ГИТТЛ,

1954.

3.

4.

П и с к у н о в

Н. С., Дифференциальное и интегральное исчисления

для

втузов,

Физматгиз,

1961.

математического анализа,

«Наука»,

5.

Ф и X т е и г о л ь ц Г. М., Основы

1964.

И л ь и н

В. А.,

П о з и я к

Э.

Г.,

Основы

математического

анализа,

6.

«Наука»,

1965.

Г.

Н.,

Сборник

задач

по курсу

математического

анализа,

7.

Б е р м а н

«Наука»,

1965.

Б.

П., Сборник задач и упражнений по математи­

8.

Д е м и д о в и ч

ческому

анализу,

ГИТТЛ,

1954.

Задачи и

упражнения по математи­

9.

Б а р а н е н к о в

Г.

С. и др.,

ческому анализу, Физматгиз, 1959.

10. Д ю б ю к

П.

Е. и др., Сборник задач по курсу высшей математи­

ки, «Высшая школа», 1965.

Введение в современную математику, изд-во

П.

Шн х а н о в и ч Ю.

А.,

«Наука»,

1965.

I

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Стр.

* 1.

Число.

Множество.Ф у н к ц и я ........................................................

5

2.

Предел

функции

в т о ч к е .....................................................................

пределов

алгебранческнх.

28

3.

Основные

приемы

вычисления

4

ф у н к ц и й .........................................................................................................

' 4

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Бесконеч­

52

ные п р е д е л ы .......................................................................................................

.5. Использование непрерывности функций при вычислении пре­

делов

Замена.......................

1....................................................................................

вычислении пределов

. . .

.

62

69

6.

переменнойпри

7. Вычисление пределов,, содержащих под своими знаками три­

75

гонометрические функции. Первый замечательныйпредел

.

. .

8. Второй замечательный предел. Раскрытие неопределенностей

вида

1 0 0 .......................................................................................

1п(І 4 х)

ел’— 1

I

v\a _I

79

9. Пределы

(1

и к

ним сво-

lim ------------, lim -------- ,

lim v

T

.._i--------

д я щ и е с я

х-»0

X

X—

X

.V—о

X

.........................

10. Односторонние пределы, односторонние бесконечно большие,

односторонняя

непрерывность.

Р а з р ы в ы ...................................

88

11.

Сравнение

бесконечно м а л ы х .............................................

94

12. Использование эквивалентных бесконечно малых при вычис­

лении

п р е д е л о в ..........................................................................................

.

96

13.

Пределы функций при л-*-±оо ?

. .................................. 104

14. Поведение функции при стремлении аргумента к точке раз­

114

рыва

и при х-> ±

с о . Классификация точек разрыва

.

.

. .

15.

Предел

последовательности.............................................

126

16.

Приемы

вычисления

пределов последовательностей .

. .

133

17. Признаки существования предела последовательности

. .

142

18.

Задача

о вычислении прибыли

по сложным

процентам

.•

146

19.

Второе

определение

предела

функции

вточке. . . .

150

Л и т е р а т у р а

..................................................................................

154

Автор П. А. Шмелев. Редактор А. В. Индионков,

Л 138538 24/ХІІ—1973 г. Объем 93/, п. л. Зак. 2518. Тир. 5000. Ц. 41 коп.

Типография МЭИ

Замеченны е опечатки

Стр.

6

9

19

20

22

30

41

46

66

69

71

81

88

90

100

101

103

111

117

119

123

137

140

149

151

Строка

Напечатано

Следует читать

12 сверху

0,12112111211112 и т. п.

0,12112111211112... и т. п.

Первые

рисунки на черт. 2 и 3 следует поменять местами

4

сверху

_

2~ іг (*3 + О

_

2~ 's (*° + О

1

снизу

100 -

д:2 <

0

О н«4Л 1о о

черт. 15

7

7

2

2

черт. 20

к + 5і

* 0 — 8,

16 снизу

строки

не должно быть

4 сверху

Xя — 5х — 4

X2 — 5х + 4

7

сверху

lim [f(x)]a = lim f/(x)]a

Нт [/(х)]а = [ Пт /(х)]а

3 сверху

X—*Xq

X—>Xq

Л'->Х,

Х ~ * Х д

1/(*,)

1-

1f(xi) 1 >

e

1f С*і) 1-

1/ (*а) 1 <

в

7

сверху

_

¥ * (* ) - !

.....

?*(*)-• i-

J

? ( x - l )

? (X) -

1

11

сверху

*

(*)

5

сверху

,

nv

C,e - f .

Ct« - T

1

снизу

lim

lim

,v-*0-0

9

снизу

На

стр. 9S

На

стр. 97

6

снизу

(4*’ -

V 1 -

2x-

(4*

— V \ -

2x2 )

пример 9)

lim

lim

12 сверху

И X -*■со,

у -» 0, TO

x-»0

и при X -*■oo, у

0,

TO

5

сверху

1,

если X Ф 0

1,

если X =

0

черт. 33

ne показана часть кривой,

приближающаяся справа

4

снизу

к прямой х = 3 и уходящая

вверх

8)

у = х - Е ( х )

18)

y — x — E (x)

12 снизу

1f (х)

■А 1 < г

1f (x) — А 1 < s

10 сверху

3

1

7

И /

3

7

11 z1

3

снизу

lim 1(х)

-

lim /(x)

1

снизу

lim С — С

lim C ■= C

П-*.\Гц

Л—+00

1

Д ен а 41 зиш.