книги из ГПНТБ / Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие

Пример 6. Доказать, что число В = 3 не является преде­ лом функции f(x) =2х— 1 в точке х=1.

Доказательство. Возьмем произвольное е>0 и попытаем­ ся для него найти б так, чтобы для всех х =/=1 и удовлетво­

ряющих неравенству \х—1|<Сб было справедливо неравен­ ство

	і (2х— 1)—3 |< е		(М)
(нам нужно доказать, что этого сделать не удастся!).
С этой целью разрёшим неравенства		\х—1|< б	и (М) от­
носительно х:
1 - 6 < х < 1 + б	(Н), ± ^ - < х < і ± і - ,		(Я)
	2	2

и заметим, что неравенство \х—1|< б обеспечит справедли­ вость неравенства (М), если неравенство (Н) обеспечит справедливость неравенства (П). Последнее возможно лишь тогда, когда интервал (П) целиком содержит в себе интер­ вал (Н), то есть, когда

^ - < 1- б < х < 1 + б < і ± ± .

Следовательно, искомое б должно удовлетворять системе не­ равенств:

	2	2	,
	, или
	\ + 8 < Л ± ±	б < ± ± 1
откуда	2	2	............. ■

б « £ 2^ .

Из последнего неравенства ясно, что при ег~^2 не найдется

ни одного б>0 такого, что интервал		(П)	целиком содержал
в себе интервал (Н).	Следовательно,	для	каждого из чисел
е, удовлетворяющих	неравенству 0<І[е<С2		не существует ни

одного б>0 такого, чтобы для всех х=г=1 и удовлетворяю­

щих	неравенству \х—1|< б было	справедливо	неравенство
(М).	Это и означает, что 1іт(2х— 1)=^3.
	jr-*l
Пример 7. Какие функции f(x),		определенные на		отрезке
[О, 1]. удовлетворяют следующим		условиям: а)	для	любого

40

6 ^ 0	существует			6>0	такое,		что	из	\х}—х2|< б	следует
I/ (-^і)'—/(*2) |< в ;				б) для любого е>0 существует б>0 такое,
что из Xi—xz< ö				следует |/(* i)—f (*2) | <е; в) для						любого
е>0	существует			6 > 0	такое,		что	из	|*і—х2|< б	следует
|/(*i)	я2|< е ?		Здесь Х\		и х2— любые				точки, принадлежа-'
щие	отрезку {0,			1].
Р е ш е н и е ,			а)	Так	как	для		любого еЗэО существует
б> 0	такое,	что	из | лгі—лг2| < 5				следует		|/(я,) —f(x2) | < е, то
и для е= 0		существует			б> 0	такое,		что	из |хі—х2| < 6 сле­
дует	|/(хі)—f(^2) | < 0. Последнее невозможно. Следователь­

но, не существует ни одной функции, удовлетворяющей пос­

тавленному		условию.
б)	Каковы бы ни были точки х\					е [0,	1]	и х2 £ і[0,		1], для
любого е> 0 найдется			6>0	такое,		что	из	х\—х2< б		будет
следовать		\f(x\)—/(х2) |< е .		Следовательно,					и для	точек
х\= х	S 10,	1] и х2=1	из X—1<б		будет		следовать |/ (д:)—
■ / 0)1 < е-		Так как е может		быть		произво.льно малым, то
последнее неравенство			имеет место лишь при f ( x) =f ( l ) . В
силу произвольности X заключаем,					что функция f(x) должна
быть	постоянной на отрезке			|0,	1].
в)	Каковы бы пи были точки х\					и х2 из [0,			1], для любого

8>0 найдется б>0 такое, что из		\хі—х2| < 6	будет	следо­
вать |/(хі) —х2\ <е. В частности,		при хг=х2= х	из \х—х |< б .
будет следовать |/(х )—х |< е .	Так как е может быть			произ­
вольно мало, то последнее	неравенство возможно			только
для функции f(x)=x.
предела функции в точке?
Вопросы для	самоконтроля		"ч-

1.Что называется пределом функции в точке х0?

2.Относится ли определение предела функции только к аналитически заданным функциям?

3.Действительная функция f(x) определена лишь в ра­ циональных точках. Что можно сказать о существовании ее

предела в точке х = 0,5?

4. Каков геометрический смысл понятия предела функ­ ции в точке?

5.Как геометрически по заданному е найти соответствую­ щее ему значение б, упомянутое в определении предела функции?

6.Всегда ли уменьшение числа е влечет за собой умень­

шение упомянутого в определении предела функции чис­ ла б?

41

7. Функция f(x) имеет в точке х0= 0		предел. Определена
ли она в точке л:= 0,0000000001 ?	{ха—бі; Хо + бг) имеет
8. Если для всех х из интервала
место неравенство |/(х) — Л |< е и	Л =	1іт /(х ), то каким

должно быть б, чтобы из IX —х0| < б следовало \[(х) — ѵ4|<^е?

9. е и	б — фиксированные		числа. Из |х—Х о | < б			следует
\f(x)—Л |< е . Можно ли утверждать, что Um f(x) =						А?
10. Где	ошибка	в следующем			Х—*Хо
				«определении» предела
функции:	«Число А называется			пределом	функции Дх) з
точке х0, если для некоторого			числа е> 0 существует число
б>0 такое, что для всех х			х0 и удовлетворяющих			нера­
венству \х—х0|< б		справедливо неравенство			|Д х)—Л |< е ?

11.Почему оговорка х ф х0 существенна для определения тредела функции?

12.Если функция f(x) не определена в точке х0, может ли она иметь предел в этой точке?

13.Функция f(x) не определена в точках х„ = — (/г— 1, 2,

3,...). Что можно сказать о существовании	ее предела:	а) в
2
точке х = 0, б) в точке х — — , в) в точке х —0,1?
5	графика	функ­
14. Если прямые у = А ± е не пересекают

ции, то как геометрически по заданному е найти упомяну­ тое в определении предела функции число б?

15. Единственным ли образом можно найти для каждого заданного числа е упомянутое в определёнии предела функ­

ции число б? Если не единственным, то сколькими?
16.	Доказать, что	если \imf(x) — А,		то 1іт|Дх) | = |А \.
Верно	ли обратное?		Х - * Х о	Х - * Х й
			f(x) иметь несколько		пределов	в
17.	Может ли функция
точке	х0?	f(x)	определена в точке х0, то нельзя
18.	Если функция
ли число А в определении			предела функции		заменить	на

fixоі?

19. Как доказать, что заданное число А является преде­ лом функции f(x) в точке х0? Опишите процесс доказатель­ ства.

20.Сформулировать на языке е—б утверждение: «число

Вне является пределом при х->х0 функции f(x), определен­ ной в некоторой окрестности точки х0». В чем состоит про­

цесс доказательства того, что lim Дх) ф В?

х - * х „

42

	21. Что означают			следующие		равенства:			а)	lim / (х) = 3;
б)	lim / (х) =	10;	в)	И т/(х) = 1;		г)			■У—» 2
							lim(.v-K*2—1) == 21/ 3;
д)	дг— ►— 4			х - *0			Х-+1		s—б.
	lim л:= 1 ? Ответ		сформулировать				на языке
	*-*1
	22. Существуют ли			а)	lim(x V х — 1);			б)	1іт(д: Ѵ Т Ш )\
					л г - > 0				, ѵ - « 0
				Г ------ —
				1 / Xs in —
в)	lim хУ~х;	г) Пт	—--------- -— ?
	*-о			. /	1
				V xsm~
	23. Имеет ли предел в точке х0—0 функция
	ң х^ = (	X, если X — рациональное число,
	I —X2, если X — иррациональное число.
	24. Дано равенство lim 5= 5. Что означает цифра 5, стоя-
				х - » 0					т	г
щая под знакам предела?
									cos ■
	25. Имеют	ли пределы			функции cos			— ,		X — 1

X — 1

cos

1

j----- в точке х= \? Дать объяснения.

cos------------

X — 1

'26. Является ли число 3 пределом функции f ( x)=x 2—Злг

вточке я=>1? Дать доказательство на языке е—б.

27.Какие функции /(*)> определенные на отрезке [0, 1], удовлетворяют следующим условиям: а) для любого е>0

существует

б< 0

такое,

что

из

\хх—*2|< б

следует

|f(x,) —

из

/№)|<Се; б) для любого

е> 0

существует

б> 0 такое,

что

\Хі

Х2 1< б следует

|/ (jcj)—/(*2)|> е ;

в)

для любого

е> 0

и любого

б> 0

из \хх—х2\<Ь

следует

|f (xx)—f (х2) | < б;

г)

для

любого е$г0 существует

б> 0 такое,

что из хх—х2< б

следует

Ңх х)—/(*2)< e;

д)

для

любого

е> 0

из |хі—х2|< е

следует

\f(xx)—f(x2)|< e ; е)

для любого

е существует б та­

кое,

что из

|л:і

х2|< б

следует

|/(х і)—f(x2\<Ce\ ж)

для

лю­

бого

е> 0 существует

б>е

такое, что из

хх—х2< б

следует

1/(^1)

f(x2) I ^ е ? Здесь хх и х2— любые точки, принадлежа­

щие

отрезку [0,

1].

43

			Примеры	для	упражнений
	Б е р м а н №№ 190, 192, 193, 213.
	Д е м и д о в и ч. № 401.
	Кроме того, рекомендуем
	I. Доказать равенства
а)	lim (х3 —4х+2) = — 1; б)			lim		'v —5		в) lim	-1
	ЛГ-1			.«-*3 X3 + 1				2 -V' •
. .. X*—Зле+2		=	— ; д)	lim		X s + 2 х 2		—2] е) Um 2* = 2 ;
г)	lim -------------						Зх —2
'	2• (ха —4)		8	-о 2.*3				х—*\
ж)	lim co sx = l;	з)	lim У х + 3		=2;		и) lim	X3 +4х Ч-З	13
	дг-0		д:—>1				._2	X3—5д:+ 5

II.Доказать, что а) число В=Ъ не является предело

функции f(x )= x + l в точке х = \\	б) число В = 0 не являет­
ся пределом функции <р(л:)=л:2 в	точке х=2.

3. Основные приемы вычисления пределов алгебраических функций

Наша задача теперь будет состоять в том, чтобы нау­ читься вычислять пределы функций. При этом мы будем опираться на следующие теоремы, доказательства которых читатель может найти в любом из перечисленных в конце книги пособий.

1. Предел постоянной функции у—С в любой точке .ѵ0 ра­

вен этой постоянной: Нт С=С.

►Jt'e

2.	lim л: =	х0.
	х - + х 9
3.	Если	lim f(x) = А,	Іітср ( х)= В,	1ітф (х ) = С,	mo
		Х - * Х 0	Х + Хщ	х - * х 9
	lim■[/ (л:) + ф (х) —ф(х)] = А +			В — С.	(А)
	Х -¥ Х ь

Разумеется, равенство (А) распространяется на любое чис­ ло слагаемых. Обратная теорема не имеет места, то есть из

существования предела	limi[/(x) ±<р(х)]	не	следует сущест-
	Х - * Х а	в точке		х0.
вования пределов функции f(x) и q>(x)
А. Если lim f1(x) = A1, lim f2(x) = A2, .		. ., lim /„ (x) = An,
X - * X 9	x - > x 0	.	X-+XQ	Обратная
то 1іт[Д (х )-/2(х) • . .	. ■fn(x)] = АхАг .		. An,

X - X o

теорема не имеет места.

44

С л е д с т в и е 1. Ёсли limf(x) = Â, то lim [/(x)j" = Ал

X >Xo Jf*+A'g

а при условии А >-0 и		lim А f(x)		= уСД .
С л е д с т в и е		Х -+ Хо
	2. Постоянный множитель можно вы­
носить за знак	предела-,		lim \C-f(x)\ = C-Iimf(x).
			X	X —*X q
5. Если lim Ңх) = А,		lim cp(x) = B ^Q, то l i m ^			— А .,
X -> X q		Л'->Л'о		X —>Xq Ф (-V)	В
Посмотрим	теперь	на	примерах, как применяются эти
теоремы.
I. Вычисление	пределов		целых	рациональных функций

	Напомним, что целой рациональной функцией назы­
вается функция у= Р п{х), где			Рп{ х )-а пхп~\-ап_1хп~1+ . . .
-\-ахх -f-a0.
	Пример 1. lim [апхп -f а ^ х “- 1 +			. .	. -{-apt + а0]
=	lima„xn +	Х -+ Х 0	. +	П т^л: + 1іт я 0 =
		lim а„_1л:п- 1 -f . .
=	x — X q	x -+ X q	. .	л:-* а'о	x - * x 0
	а,і • limx,'+ ап_1-1ітд:л- 1+			. -f- a1-limx +
+	х-*х0	x-tXa			X — Xo
	Пт а0 = апх0п -j- an_iX0n_1 + .		. . + aLx0-\-aa. В кратких

X -+ X q

обозначениях: lim Рп (х) = Рп (х0). Таким образом, предел

х->х0

целой рациональной функции Рп(х) в любой точке х0 всегда равен значению этой функции при х = х0.

II. Вычисление пределов дробно-рациональных функций

Р (X)
Функция — ' , [	1 где Рп (х) и Qm [х) — целые рациональ-
ные функции—называется		дробно-рациональной. Пусть
треоуется вычислить lim —			. Если Qm (х0) =£0, то,
	х-х0	Qm (А

после применения теорем о пределе частного и результа­ та, полученного в примере 1, получим

		lim - Рп(*)	_	J j lA L		.	(Б)
		Л->.Ѵ0 Qm (х)		Qm(.Vo)			,
Если	Pn(xo)~Qm(x0) = о, то,			как	это	следует из теоре­
мы Безу, многочлены Рп{х) и Qm(x)					содержат множитель
X— х0,	на	который следует	сократить			(сокращение воз­
можно	в	силу оговорки X Ф *о.		сделанной			в определении

45

предела функции), после чего, если это возможно, вос­

пользоваться	формулой		(Б).	Случай Рп (х0) Ф 0, rQm(x0)= О
будет рассмотрен ниже.				*3 _зѵ2	_2
Пример 2.
	Вычислить П т ------1-----:---- .
			а--*і	ж-—5-ѵ—4
Р е ш е н и е .		Так как	здесь предел		знаменателя равен
нулю при X	1,	то применение теоремы			о пределе частного

недопустимо.. Раскладывая числитель и знаменатель на мно­ жители, получим:

,.	х3 —Зх2 + 4 х —2				,.	(х3 — х2) — (2 х2 — 2х) 4 - (2 х —2) =
П т -------------------- =				Пт					—5-ѵ + 4
л - 1	X2 - 5 х +4				л - > 1
= Пт			-5л: +4		+		= 1 іт . (х —1)-(х2 —2х + 2 ) _
л - 1								Л-+1	(X— 1)-(х —4)
	= П т		X 2 —	2х + 2			1— 2+2		____ 1_
	л —> 1		X —		4		1—4		~	3
Пример 3.
		. . .		х* + 6 х 3 +			12 .+	+ 8.V
		Л— 2			х 3 + З х 2 - 4
		, .		X (X3 +		З х 5 -2 +		З х - 2 2 + 2 3)
	л	-	, - 2 (Xs +2х2) +				(X2+ 2.Ѵ) -		(2х + 4 )
	Н т		_________X (х + 2 ) 3___________ __
				(X +2) + X {X +2) —2 (X +2)
	_	2	Л-2
	=		Пт -----			X (х + 2 )3			_
			л - » —	2	(-Ѵ 2 +	X	-2) (.V +2)
	= П т		X(х+2)3				— П т ■ ■у(X+ 2)			= 0.
	Л— 2	(л: — 1)-(х + 2 )2					л- —2 х —1
III.	Вычисление пределов, сводящихся к пределам вида
					Н		т ^
					л->л„ Qm(x)

Если нужно вычислить предел рациональной функции, состоящей из алгебраической суммы нескольких дробей, то, если для каждой дроби неприменима теорема о пределе частного, все эти дроби следует привести к общему зна­ менателю, после чего останется лишь вычислить предел вида

lim Рп(х)

х-*х, Qm(x)

	д*2		Зх —4
---------f-
(	X—4	2	х2 — 3

46

Р е ш е н и е . Здесь можно не приводить дроби к общему знаменателю, а сразу воспользоваться сформулированными выше теоремами. Это приводит к результату:

lim	X2		З .ѵ — 4	\		+	1 ± ± . = _ 9 + _L= -			8A .
	ь -4	Ч~		)
х-*3			2 а-2 - 3		3 - 4	1	2 - 9 — 3		3 »	3
Пример 5.			Вычислить lim /—-----------V
	F	F			A - lU - l			а3 —1/
	Р е ш е н и е . Здесь				применение			теоремы о пределе част­
ного в каждом, слагаемом невозможно. Приведя									обе дроби
к общему знаменателю, получим
	Пт	2			=			---------- £ ------- ) =
	1 А — 1		А3 — 1 /		х-*1 \	А — 11-		((XА -—1 1)( А(А2 --f-- AА +- f1- 1) )

lim 2 а 2 + 2 а + 2 — 6 а а 3 — 1

= 2 Пт	2Нш	= 0.
- ЛГ-Й А3 — 1	х-~1 А2 4 - А + 1

	Рассмотрим теперь более сложные примеры.
	Пример 6.		Хп = Пт		Ап (хт~п —1)
	Пт Ат —
		XР — А®		X 1	хЯ (а р ~ч — 1)
	Н т	* ” •(* — i) - ( A '” - n - 1 +			Am - n - 2 +	■ ■ - - 1 - А + 1)
	* - й	А? ( А — 1) ( х Р - Я - 1 + х Р - 4 - г +				. . . + А + 1 )
	р — я ■; (т и п — целые				числа;	т^>п^>0; p^>q^>0).
	Пример 7.
П т	х + а2+ ■ •	• + * " - « _		1іт (^—О Ч- (-ѵа —1) + • • ■+ (*л-1) =
х->1	А — 1				.	А — 1
-	Пт (* ~ 1)[1+(* +1)+(*2+л'+ 1 ) + • ' • + (^П- Ч а”-2 + . .. +1)1 _
	Х -+ 1				X—1
	= 1 + 2 + 3 + .			. . + « = -iÉLtiL
	Пример 8.
	Пт / —----------- —		W	lim (--------------- ----------------
	* - і \ 1 - а л	1 — а " 1/		* - і \ ( 1 — а ) ( 1 + а + .			. . + а " - 1)
		___________		от________________\			__
		( 1 — А) (1 + А + . . . + хт~х) I ~
	~ l i m п ( 1 + д ; + - -		• + А т - 1) — ОТ (1 + А + ■ ■ ■ + А " - 1)
	А - 1 ( 1 - А ) ( 1 + А + .			. . + А « - 1 ) - ( 1 + А + . . . + А " * - 1) '
	V

47

lim ------------------------------------------------	X
а-->1 ( 1 + .V +	. . . + Л п - 1) ( 1 + . ѵ 4 - . . . X ” 1- 1 )
) ( 1 іш т ( 'Ѵ'П~1 + Л:П~!!+ •	• • +д-- + 1)-»(-ѵш-Ч--ѵт -2+ ■ ■ •+ * + !)
.ѵ->1	X— 1

		= —		X
		п ■т
X l i m	Іпі(х'‘- і + х п-*+ .-..+ х + 1)-т п ]-[п (хт-і+х">-* + ... + х +1)-т п )
*-»1			X—1
	1 . .	.ѵ " -1 + л -« -3 + . . . + . Ѵ + 1 — «
/	п X—>1		X — 1
	1	л-"*-1 + хт~2+ ■ ■ . + х + \ — т
	т а-->і		X— 1
— — ■[1+ 2+ . .		- + (п — 1)]------ [1+ 2+ . .			. +(ш —1)]
п				гп
_	[ 1 + ( д — 1)] ( я — 1)_________ [ 1 +		( т — 1)] (т — 1) _		п — т
	2 л			2 т	■2

При решении примера 8 мы воспользовались результатом, полученным в примере 7; числа т и п — натуральные.

IV. Вычисление пределов, содержащих иррациональности

Один из основных приемов, применяющихся при вычисле­ нии пределов, содержащих иррациональности (в том слу­ чае, когда неприменима теорема о пределе частного) состоит в перенесении иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот.

-/X_2_2 Пример 9. Вычислить 1im —-----------.

		А - 6	X	— 6
Р е ш е н и е . Здесь теорема			о	пределе частного	непри­
менима.	Умножим	числитель	и	знаменатель дроби		на
У х —2+ 2	(с целью	перенесения		иррациональности	в	зна­

менатель и для того, чтобы в дальнейшем произвести сок­ ращение дроби). Получим

Пт	VX—2 -2	Ііт	(Ух—2)2—23
*-*б	X — 6	ДГ-6	(X—6)(Ѵх^2 + 2)
= lim	____________ X — 6 _____________ = 1іт			1
> дт-*6	(х-6)(++=2 +2)		Л'—»6	Ѵх=2 4-2	4

48

\

i •	r>	\ -	V x+3 — У 5x—1
Пример ІО.	Вычислить	lim	---- .

х-*\ У IХ-\-2 — о

Ре ш е н и е . Здесь теорема о пределе частного также не­ применима, так как предел знаменателя равен нулю. Ум­

ножим

числитель

и знаменатель

дроби

на

множители

У х + Ъ + V 5х—1 и

V 7x4-2 + 3. Получим

..

,.

[(/^ Р з) 4 - ( К ^ ^ ) 21-(Кт^+2+з) 1

] I

—-------------------=11111----------------------------------------------- ---

*-*1

У

7 х + 2 — 3

-V—1

[(V^7 х + 2 ) 2 —Зг ] • (Ух + 3

+

У 5х— 1)

= Hm

-Ч * - 1 ) ( / т£Р2+3)

'

=

лг-і

7 ( х - І ) - ( / х + 3 + / 5 х - І )

__

4_

j.

У

7Х-І-2 + 3

________4_

3 + 3

=

_ _6_

7 ,*-й } 4 + 3 + У Ъх—1

7

з

2 + 2

7

„

..

г>

I-

з ,___ _

___

і/Зх —5 — У х —1

Пример 11.

Вычислить lim-1-

------—--------.

ДГ-. 2

Х— 2

Р е ш е н и е .

Умножим

числитель

и

знаменатель дроби

на выражение

Ѵ(3х—5 ) 2 + У ф х —5 ) ( х — 1) +

Получим

l i m

У З х — 5 —

У X — 1

х -> 2

lim --------- з

СУЗх-5 )3

— ()/4 Л )3

__

_____ ,

___________

.,->2

( J C - 2 ) . ( ,/-(Зхг—5 )2

+

/( З х - 5 ) (.к~ 1)

+

/ ( J C

- 1 )2)

=

l i m

___________

-2 -(х—2 )__________________

3

Х-+1

Ѵ (3 х -5 )(х -1 )

+

i/'t+T+p)

(х -2 ).( /( З х - 5 ) а +

—

2

_

JL

~

1+ 1+ 1

~

3

'

Пример 12-. Вычислить lim —

ту т - і

Р е ш е н и е .

Умножим числитель и знаменатель дроби на

выражения

Y хп 1

+

у хп~2 +

. .

. 4 -

у х

+ 1

и

у хіп 1 +

у х пі~2 +

5

Шу--------

1.

+ . .

. + у

у

+

4—2518

49