книги из ГПНТБ / Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие

Получим

)» —|И| ('')ЛЛ-"1-1+ "У.у'»-2_|- , . ,					+ т )Лу+ l)
= lim		Ѵ	^	+ . .	. + " К Г -і- О
■v-l 1("У.ѵ)"' і"г]
1- 1г	. . .	+і	=	J!L
1 1 -	. . .	-I 1		п
Пример 13. Вычислить lim /.ѵ-ті -				Ѵ2.Ѵ+1
Р е ш е н и е . Прибавим	и отнимем			в числителе дроби по

1 и затем разобьем предел, па сумму двух следующим об­ разом:

lim Ух - 1-1—Н 2.V- 1			— lim	Ѵх+1 -1	lim я/ 2 х + \ — 1
X —Ю	X		.V— (1	X	X —»О
= lim	-V	— Um		2.x
	-l)
*-o		_1	ТЛ x(dV(2x+l)2+V27TT +1)
			2_	___ 1_
		2	3 “	6
Пример	14Вычислить lim			—-----F	~ ' -
			Л-.2	'Y'h-.y - J)/nu--4

Р е ш е н и е . В числителе дроби прибавим и отнимем по единице (так как каждый корень стремится к единице). В знаменателе прибавим и отнимем по два (так как каждый корень стремится к двум); кроме того, числитель и знамена­ тель поделим на х—2. Получим

		у-'лПН-і		__ У ІС Т —1
Ѵх—І —У5~2х		..	.V—2	х—2
л -2 У б + х -	4/ i u x - 4	,ѵ->2 У в ч х - 2 _		У lOx—4 —2
			х— 2	х —2
	Ilm	*-»2 х —2
_ х-*і х—2
~	Um	- І Щ	V
	х— 2	х-*2	Х— 2

5Ö

Вычисляя каждый из полученных четырех пределов отдела по по уже известным правилам, найдем

lim— — ---------------

= -------------------

= 8.

6 16

З а м е ч а н и е . Строго говоря, разбиение предела на не­ сколько более простых (как, например, в примере 14) за­ конно лишь тогда, когда известно, что эти более простые пределы существуют. Однако это заранее не всегда бывает известно. Поэтому, если тот или иной прием показал, что хоть одни из простых пределов, на которые разбит более сложный предел, не существует, то .следует искать другие способы решения.

Пример 15.

Um —— :----■— -— —------=

Л'->0 X

— lim

У 1 + а,ѵ . 'У 1 ң-ßx — (1 4-ах)~1/ш

Х -+ 0

(Л/

1+ Р * - 1)+

( l -

= lim "']/ 1 -fax- lim ■

•V -0

Л.-—0

=

” v' 1 ! ßx — 1 . ..

" У Н - а х - І

hm ------—------- h lim — -— ■

,v-0

X

v- > 0

x - myr14 ax

lim

ßx

X ("l/(l4-fl.v)"_i -i- ' V (1+ß.v)'1- 2

nV 1T ßx + 1

.v->0

+

11 m

m’77rT-rz~

X

*-o

У

1 4-ax

V 1i m __________________________

_____________________

*~a

x ( ' " / (1 i-ax)m_1 +

" У (i+ ax )'» - 2 +

. . . +

my \ 4-ax + 1)

_ ß

j_

a

_

mß + иа

n

m

nm

Примеры

для

упражнений

Б е р м а н

№№

268,

269,

271—275,

277,

279,

280,

293,

295—297, 299—304.

№№

,

426,

427,

437—

Д е м и д о в и ч

412—414, 418—423,

452, 454—456, 460, 467.

4*

§1

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Бесконечные пределы

Функция [(X) называется бесконечно малой в точке л'0,

если lim f(x) = 0.

Функция f(x) называется бесконечно большой в точке х0, если для любого числа Л4>0 (хотя бы как угодно большого) найдется число 6>0 (зависящее от М) такое, что для всех л->-л'о и удовлетворяющих неравенству \ х—х0 | <6 будет справедливо неравенство \f(x) \ >Л1

Тот фак-г, что функция f(x) является бесконечно большой в'точке х0, коротко выражают записью lim f(*) = ѵ>, хотя,

• г - --Ѵ„

разумеется, бесконечно большая в точке х0 функция не имеет предела в этой точке. Иногда, вместо слов «функция f(x) является бесконечно большой в точке д'о» говорят: «функция f(x) имеет в точке Хо бесконечный предел», разумея под обеими фразами одно и то же.

Дадим геометрическую иллюстрацию бесконечно большой в точке х0 функции и покажем, что график функции y =f ( x ) при X -> х 0 неограниченно приближается к вертикальной пря­ мой (асимптоте) х = х0 (черт. 25). С этой целью зададимся как угодно большим числом М> 0 и проведем прямую у = М до пересечения с графиком функции f{x). Ближайшие к пря­

мой х = х 0 точки	пересечения графика	функции	с прямой
у = М (их м-ожет	быть несколько!), расположенные по обе
стороны от этой прямой, спроектируем		на ось лг-ов;	получим

52

точки В и С, абсциссы		которых обозначим соответственно
через х0—бі и хо+ бгТогда б| — ширина				вертикальной		поло­
сы х0—бі<д:<л:о;	62 — ширина		вертикальной		полосы	А'0<
<А<Хо + бг. Выберем б=тпіп(бі,			6 2 ). Тогда для всех х ф			х0 и
удовлетворяющих неравенству \х—а'0 |< 6				будет справедливо
неравенство |f(x)	|>М ,	геометрически означающее, что ор­
динаты точек графика		функции f(x) для х Ф Л'п из окрест­
ности А'о—б<х<*о + б превосходят число М. Это					и означает,
что по мере приближения х к а'0			график функции f(x)			«ухо­

дит» в бесконечность, приближаясь к вертикальной прямой

х= х0.

Обратим теперь внимание читателя на некоторые детали, относящиеся к определению бесконечно большой в точке х0 функции.

1. Определение предполагает, что функция f(x) определе­ на в некоторой окрестности точки Хо (то есть справа и сле­ ва от точки х0); за исключением, быть может, самой точки

Л'0. Так, например, функция //=1п|х| (черт. 26), определен­ ная по обе стороны от точки х= 0 (кроме самой точки Л'= 0) является бесконечно большой в точке х = 0, так как для лю­

бого М>0 существует	число 600,	например 6= e _if такое,
что из справедливости	неравенства	|х—0 |<(е_лг(х ФО) сл-е-

дует справедливость неравенства | ln | а'| | >М (действительно, если |.ѵ—0 |< е ~ Л|, то 1п | х | < —М, откуда 11п| х\ \ А функция г/=-1пх, в смысле сделанного выше определения,

не является бесконечно большой в точке х = 0, так как опре­ делена лишь справа от точки %=0 (для х>0). Однако в дальнейшем понятие, бесконечно большой в точке х0 функ­ ции будет распространено и на тот случай, когда функция определена лишь по одну сторону от точки .ѵ0.

2. Оговорка в определении хф-х$ существенна, ибо бес­ конечно большая в точке х0 функция может быть не опреде­

лена в	точке	д'о, или определена, но неравенству	\ f(x)\ >M
в этой	точке	может не удовлетворять (читатель	не должен

думать, что бесконечно большая в точке хп функция всегда

неопределеиа в этой точке; так,	например, функция
\
■является бесконечно большой в
точке а-	= 0, но АО) = 0).

3. Слова в определении «...любого М>0'...» существенны, ибо'если найдется хоть одно М > 0, для которого невозможно

53

найти, упомянутою в определении числа б, то функция f(x) не будет бесконечно большой.

4. Число 8 зависит от /И; поэтому			пишут 6= ср(М). Как
правило, увеличение М влечет за собой уменьшение б.
Пример 1. Доказать, что функция f(x) = (ѵ_1)=				является
бесконечно большой в точке .ѵ=1, то есть, что lim
Каким	должно быть		.ѵ-1 (.V	І ) а
		число б>0, чтобы значения		функции
превзошли число М= ІО6.
Доказательство. Зададимся произвольно большим числом
М>0 и	попытаемся	найти б такое,	чтобы неравенство

І * - І	< 6 (хуМ )	влекло за собой			справедливость перавен-
ства	(х-1) ^>М.	(А). С	этой	целью		решим	неравенство
(А)	относительно	х 11:			^ 1
	(ѵ — 1)2 <Г — ; I -V' — I
		м				Ум
Положим б= т		М Тогда,	для	всех .ѵ		и удовлетворяю­
щих	неравенству	\х —1| < б	будет		справедливо		неравенство
	~>М. Это	и означает,		что	lim	(.ѵг — I)=	: со. В част-
(*-!)*
				=0,001.

Черт. 26	Черт. 27
Бесконечно большие в точке х0 функции делятся на поло­
жительные бесконечно	большие, отрицательные		бесконечно
большие и просто бесконечно большие.		большой	неравенст-
Так, если в определении бесконечно
в° \ f ( x) \ >M заменить	на f(x)>M, то	мы получим опреде-

54

//

ление положительной бесконечно большой (и тогда пишут

1іт/С*) = + '"О; если вместо |/(.т)|>М написать —f(x)>M,

х-*лв

то получим определение отрицательной бесконечно большой (и тогда пишут lim/(дг) = —

X —М*0

Так,	например, функция f(x) = (л:-!)2 является положи­
тельной	бесконечно большой в точке х=1. Функция	f(x) =
= Inj л" I	является отрицательной бесконечно большой в точке
,ѵ = 0 (черт. 26). Функция f(x) = ------является просто		беско-
	.V -

ьечно большой в точке х=1 (черт. 27).

Бесконечно большие и бесконечно малые функции обла­ дают следующими свойствами.

1.Алгебраическая сумма любого конечного числа беско­ нечно малых в точке х0 функций есть функция бесконечно малая.

2.Произведение бесконечно малой в точке л"0 функции на постоянную, на ограниченную в окрестности точки ,ѵ0 функ­ цию или на другую бесконечно малую в точке х0 функцию есть функция бесконечно малая в точке х0.

3.Частное от деления бесконечно малой в точке х0 функ­ ции на функцию, имеющую не равный нулю предел в этой точке, или на, бесконечно большую в точке ха функцию есть

функция бесконечно малая в точке х0 (символически: — =0; ■ а456

X

4. Сумма любого конечного числа бесконечно больших в

точке х0 функций одного знака	есть функция бесконечно
большая в ТОЧКе Х0 ( х;-4_ >0 —	м:.. х;).

5. Произведение бесконечно большой в точке ха функции на постоянную, отличную от нуля; на функцию, имеющую в точке х0 отличный от нуля предел, или на другую бесконечно

большую в точке х0 функцию,	есть		функция		бесконечно
большая в точке х0 (символически:				х>- чз-=>о).
6. Частное от деления бесконечно			большой		в точке х0
функции на функцию, имеющую		предел в		точке х0 (в		том
числе и на бесконечно . малую	в	точке х0		функцию)		есть

функция бесконечно большая в точке х0 (символически — = а -

55

7. Если функция f(x) бесконечно мала в точке х0 и в не­ которой окрестности этой точки, за исключением, быть мо­

жет, самой точки х0, отлична от нуля, то функция <р(х) = -^— f(x)

является бесконечно большой в точке х0( — =

\ О

8. Если функция f(x) является бесконечно большой в точ­

ке л'о, то функция ф(л') =

бесконечно мала в точке х0

(символически— =0).

СО

9. Частное от деления функции, имеющей ненулевой пре дел в точке д-'о, на бесконечно малую в точке х0 функцию есть функция бесконечно большая в точке х0 (символически

а	- \
—	= 30 1.
0	!
	Все сформулированные свойства применяют при вычис­
лении пределов.		.у» - Зх -1- 2
	Пример 2. Вычислить lim
	х - М	(-*- I)1
	Р е ш е н и е . Применение	теоремы о пределе частного

здесь недопустимо, так как предел знаменателя равен				нулю.
После	сокращения дроби,	стоящей под знаком	предела, на
X —1,	получим дробь	, в числителе которой	стоит	функ­

ция, имеющая некулевой предел в точке х —1 (1іт(л: + 2) =3),

а в знаменателе — бесконечно малая	.t-i
	в точке x = l функция.
Эю означает, что частное 'ѵ— - есть	бесконечно большая в
х — 1
точке X — 1 функция. Поэтому

l i m

Х-И

Аа -ЗлҢ-2

= со.

(* -і)а

Пример 3.

1 і т	Л'2 —2х — 3	= 1 і т	( х - 3 ) ( х + 1 ) ( / * + Т + 2 ) » _
г-з	(X3- 2 7 ) (Ѵх+1 - 2 )3		(У-З) (.ѵ-Ч-З.ѵ+9) (-Ѵ—3)а
		(х+1) • іУх+1+2)3		,
	= 11ІП— 5——-——		—	—.4-00.
	х-з	(х-3)а-(*а+Зх+9)

	З а м е ч а н и е .	При вычислении пределов алгебраичес-
ких	**	lim	Р (А*)	могут встретиться следующие
	дробей вида		Q ( х )
		х - х а

56

случаи: 1) Q(x0) Ф 0; тогда lim	Р(х)	Р(ѣ (таи как
	Q(x)	Q(-vo)

limQ (x) =Q (xo)

и применима теорема

о пределе частного).

JC-Jto

Р(х)

2) Q (х0)—0; тогда при

подстановке числа хо в дробь

получается один из символов

или

~

t где а=Р(хо) ф0.

Первый из этих символов называют

неопределенностью,

а

вычисление соответствующего

предела — раскрытием

этой

неопределенности. Символ

означает

частное or

деления

функции,

имеющей ненулевой предел в точке хо(а = Р(хо) =

= 1ішР(х)

ФО),

на бесконечно

малую в этой точке

функ-

х-*х„

Q(x) —'Q(xq) = 0). Поэтому,

Р{х0)

ф 0,

цию lim

если

а

X - * х 9

Р (X)

Q(xо) =0, то lim

(см. свойство 9).

—----=оо

х~*х<> QМ

виды

неопределенностей;

вместе

с

Существуют

и другие

О

0

„

со,

О О

„

о

,

1

,

,

с

— их всего семь: — ,

оо— оо, 0 •

-----,

0

оо .

0

0

оо

Разъясним, что значит раскрыть каждую из этих неопреде­

ленностей.		С этой		целью положим		1іт/і(х)=0;			Ііітіфі (х) —
= со;	Птф(х) = 1;					а: - * „	со.	X — х 0
				1іт/2(л)=0; 1ііпф2(ж) =				Тогда вычис-
	Х ->Х 0			Х'-->Л'о	—ѵх„
ление	предела		~ h { x ) 1 О \		называют раскрытием неопре-
			п т —-----f — I
т		0	вычисление предела			фі (л)		называют рас-
деленности — ,						і т ------
		0			н	Х-+Х' фа (X)			И
крытием		неопределенности			---- ,	вычисление			предела
lim [фі (х) —-фг(х) ] называют					ОО		неопределенности
					раскрытием
х-^д:*-				предела	Нт[/|('л')-фі(х)}			называют рас-
со—со, вычисление
крышем		неопределенности			.х —х,	вычисление			предела
					0• со,

!іш[/'і (х)У,(*’ называіел раскрытием неопределенности 0°,

.Ѵ"*.Ѵо

вычисление предела 1іт[ф(х)]Т,и) называют раскрытием

X—^Xq

неопределенности 1"°, вычисление предела 1іт[фі (х)]^1w называют раскрытием неопределенности со°. х~~х«

Только отмеченные случаи требуют фактических преоб­ разовании выражения, стоящего под знаком предела. При

57

этом неопределенности вида х> — х->, 0• х-, - могут быть све-

ОО

деиы к виду (в примерах 5 и 8 | 3 неопределенности ви­

да х — X) после приведения дробей к общему знаменателю

преобразовались к виду-^-). Мы советуем читателю отныне,

прежде чем делать какие-либо выкладки для вычисления предела, устанавливать наличие пли отсутствие неопреде­ ленности. В первом случае нужны преобразования; во вто­ ром случае — чаще всего подстановка ,ѵ0 в выражение, стоя­ щее под знаком предела. Рассмотрим еще некоторые при­ меры.

Пример 4. Вычислить Пт (л2— 4.ѵ --5) | / ^ А-
Р е ш е н и е .	Здесь имеем неопределенность	вида 0-=о
(так как. первый	множитель стремится к нулю, а	второй —

к х. при л*-* —1). Вычисления проводим так:

=lim	(.V ^ 2 ) 2 / 3
	(х 4-1) (к —5) ■
•V— 1	( Х Т 1 )

—lim [(.v'-f I)1'3 (я—5)-(х -f-2)2,3| =0. Л'—>—1

Пример 5.	Вычислить			Пт			2
				Д.--.0
Р е ш е н и е . Здесь			мы имеем неопределенность					вида хз—
— X ■Для вычисления			предела			приводим дроби		к общему
зпаме пателю.	Получаем
lim ( 1	3 ,	2 \		= lim	.ѵ+ -3 .ѵ *+ 2
	.Ѵа	X * 1			-------;----- = +
,ѵ->0				.V-+Q		X 1
						3	2
	Вычислить			1 І Ш -	1 _	X я +	X *

л*-»0

58

Р е ш е н » е. Здесь имеем неопределенность вида ---- .

СО

Умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под зна­

ком предела,	на х4. Получим
lim	lim	3 x 2	= —2.

Х-*П

В заключение остановимся на некоторой взаимосвязи по­ нятий неограниченной и бесконечно большой функций.

Напомним, что функция f(x) называется ограниченной в некотором промежутке, если существует число УИ>0 такое, что для всех х этого промежутка справедливо неравенство jf(x) \ < М. График ограниченной функции целиком располо­

жен в горизонтальной полосе —				Так, например,
функции y = sinx,	y = cosx ограничены		на всей числовой оси
числом М —‘\. Их графики целиком			расположены в полосе
—1 < //< 1 . Функции г/= arcsin*,		у = arccos*		ограничены па
отрезке [—1, 1]	числом 7И = л.
Функция f(x),	определенная	или	нет в	точке х0, назы­

вается ограниченной в окрестности этой точки, если сущест­

вуют числа М^>0 и 6>0	такие, что для всех х == х		0 и удов­
летворяющих неравенству	| * — Х о | < 6	справедливо неравенст­
во |f ("*) | ^ М . Причем и	\f(x0) I s^M,	если функция	f(x) оп­
ределена в точке х0.

Функция / (х) называется неограниченной в окрестности точки *о. если каково бы ни было число М>0, в любой ок­ рестности точки х0 найдется, но крайней мере одна точка х, для которой I f(x) I >А1.

Справедливо утверждение. Если функция f(x) является бесконечно большой в точке х0, то она неограничена в лю­ бом интервале, содержащем эту точку. Обратное утвержде­ ние неверно. То есть, если функция f(x) неограничена в лю­ бой окрестности точки * о , то отсюда еще не следует, что она является бесконечно большой в точке *0.

' 1	если		- .	_
—			.г >• 0
Пример 7. Функция /(*) = X
0,	если		* <	0
является неограниченной в любой		окрестности точки * = 0.

59